分類討論思想在初中數學解題教學中的應用要點

摘 要：伴隨著教育界新課改的持續展開，培養學生的創新思維能力與多角度考慮問題的能力慢慢成為教學重點.如今，用分類討論的思想來解決初中數學難題已經成為教師在課堂上常用的教學方式，通過對分類討論思想在解決數學難題中的應用，幫助學生解決問題的同時提升學生的分析能力與概括能力.本文將結合初中數學中的具體案例分析分類討論思想是如何在初中數學教學中發揮作用的.

關鍵詞：分類討論;初中數學;應用

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2021）20-0028-02

作者簡介：紀載華（1970.9-），男，甘肅省定西人，本科，高級教師，從事初中數學教學研究.

一、分類討論思想對于初中數學教學的意義

人們對于現實世界中的數量關系和模式結構的研究都可以映射到數學思維上，反之，對于數學的系統學習和對數學思維的訓練可以幫助人們在現實生活中獲得幫助.數學思維幫助人們從宏觀上掌握思維結構，提供解決問題的最優方案.人們要想做好一件事，僅僅用一個方法或者一種思維方式是不會成功的，同理，學生要想做對一道相對復雜的數學題，有時候僅僅用一種解題方式也是解不出來的.對于初中數學的數學難題，往往需要將問題進行劃分，形成一個個的小問題來逐個解決.

分類討論思想從根本上講，就是一種將復雜問題分割化，對邏輯進行劃分的思維模式.初中數學中“化零為整”的解題方式對應的就是我們今天所討論的分類討論思想.分類討論的思維方式與解題策略可以幫助學生對數學知識進行歸納與總結，提高學生的解題能力，提高學習效率，提高學生的自信心.學生分類討論思維的養成還有利于對學生創新意識的培養，可以提高學生的學習興趣，實現新課改的目標.

二、初中數學中分類討論思想運用的注意事項

在對分類討論思想進行運用時，首先需要明確研究對象，一道數學題中有很多對象可以進行討論，我們只需要確定一個即可，確定討論對象后要對擬定的討論對象進行分類，分類標準要保證一致性.在解題過程中，如果出現需要多次分類的情況，要注意對問題進行分層，即通過兩分法將互相矛盾的概念進行分層，確保分類的科學性.

三、初中數學中分類討論思想的應用步驟

首先，學生需要仔細閱讀題目，對題目要考察的知識點做到心里有數，這一步是成功解題的前提;其次，學生進行規范答題，規范答題體現的是學生的學習態度，端正的學習態度有利于學生的長遠發展.不僅如此，答題格式不正確還會讓學生丟失一部分分值，所以要重視答題格式.最后，學生根據教師的解題思維根據知識儲備進行解題.

四、初中數學中分類討論思想的應用策略

1.分類討論與直線型習題

直線型習題中主要是對線段和三角形的分類討論，特別是對三角形高的問題的討論.

例如，已知一等腰三角形的兩邊邊長分別為3cm和6cm，求這個三角形的周長.相信這道題曾經難倒過很多學生，絕大部分學生見到這道題第一眼時往往覺得很簡單，三兩下解決問題后一對照答案，發現錯了才恍然大悟，大多數學生見到題目后急于解題，而忽略了解題的第二種方案，導致得出的答案片面而不完整.這是學生對于分類討論思想掌握得不夠透徹的體現，教師一定要在教學過程中將分類討論思想慢慢滲透給學生.

在這一個問題當中，學生往往單純認3cm或6cm是三角形的腰長，而沒有運用分類討論的思維，考慮到3cm和6cm都可能是腰長.在這道題公布答案以后，老師要著重向學生介紹分類討論思想并強調分類討論思想的重要性，給學生留下深刻的印象.

2.分類討論與圓

根據圓心到直線的距離與半徑的數量關系將其劃分為： 直線與圓相離、相切、 相交這三種位置關系 . 這就是使用分類討論思想進行幾何知識教學最常見的例子，通過分類討論，可以較容易的解答與圓相關的數學題.

例如，在直角坐標系中，直線y=（3/3）x上有一個圓，半徑為1，圓心P的坐標為（23，m），然后，讓圓P沿著直線向斜下方移動，速度為每秒1個單位，問經過多少秒后圓P與x軸相切.

我們已經知道什么是相切了，即直線與圓有且僅有唯一的一個公共點.題目說到讓圓P向斜下方移動，那么圓P經過移動后，會同x軸相切，此時圓P在第一象限，這是第一種情況，大多數學生都能考慮到，但是還有第二種情況，即圓P同x軸相交后，還可以接著向斜下方移動，移動到第三象限時同樣會同x軸相切，以上是教師通過運用分類討論思維對題目進行的一個綜合分析，接下來就可以給學生講解具體的解題步驟.題干已經給了我們坐標和解析式，下一步應該將坐標代入到解析式中，這樣就得到了m的數值為2，接下來過點P做一條垂直于x軸的線段，設這條線段與x軸的焦點為D，那么線段PD的數值就是m的數值，為2.將原點O，圓心P以及垂足D相連，我們得到的是一個直角三角形，根據勾股定理，可以得出線段OP的數值，角POD為30度，根據這些信息，可以依次算出兩種情況下的答案，即2秒或者6秒.由于本文并非為習題參考答案且篇幅有限，具體解題步驟就不再一一贅述.

在解決初中數學中的幾何問題時，教師還可以在分類討論的基礎上，疊加數形結合的教學方式來進行教學，這樣就可以將抽象的數學理論具象化，增加學生對知識的理解，提高學生的學習效率.

3.角的分類討論

角的計算問題與線段的計算方式類似，角的計算會涉及到射線的位置，而射線的位置具有不確定性，即射線既可以在角的內部也可能在角的外部，既可以在一條邊的上面也可以在下面;角的旋轉方向同樣具有不確定性，既可以沿順時針旋轉也可以沿逆時針旋轉.因此對于角的計算，要充分使用分類討論思想.對于沒有圖的題目，要利用好已知條件并找出關鍵點，學生也可以根據題目自己畫出圖，在解題過程中，要先復制圖，再分情況進行畫圖討論，使自己對于問題有更直觀的理解.

例如，已知角BOC為30度，角AOB等于三倍的角BOC，那么角AOC是多少度 .

根據題干，可以將給出的已知角畫出來，在畫圖時，盡量使用直尺和量角器來保證圖的準確性，根據已知條件，下一步就可以將角AOB畫出來，重點在于線段OA的方向是不確定的，它既可以在線段OB的上方也可以在線段OB的下方，這里就是在這道題中需要進行分類討論的地方.

4.分類討論與絕對值

初中數學中的絕對值問題同樣包含了分類討論思想.下面我們來看一道例題.

已知m的絕對值為3，n的絕對值為2，且m大于n的值，那么求n的m次方的值.根據題目我們可以得到這樣的信息：m的值既可能是3也有可能是負3，n的值既可以是2也可以是負2，所以這道題，我們需要對m和n的值分別進行分類討論.因為m是大于n的，所以當m的值為3時，n的值為2，這道題的答案為8;當m的值為3時，n的值也可以為負2，這時這道題的答案為負8.綜上，這道題的答案為8或者負8.

分類討論的思維模式與解題策略體現在數學課程的各個環節與各個知識點，是我們必須掌握的一項技能，學生要習慣于用這種思維來解決問題，使分類討論的思維模式變成一種本能.綜上所述，分類討論就是要考慮一道題中每一個條件下產生的不同結果，要根據題目信息經過排查后，留下符合條件的答案，舍棄不符合條件的答案，從而得出全面而正確的答案.分類討論的內涵在于將復雜的數學題通過分類討論將其劃分為若干個局部問題來解決，也就是將復雜的問題進行簡單化處理.教師將分類思考的理論通過數學習題傳授給學生，學生通過數學習題的練習培養分類討論的思維模式，最后再將這種思維模式應用到習題練習中去，這就形成了一種良性循環，分類討論對于初中數學教學具有重要意義.

參考文獻：

[1]唐婷穎.分類討論思想在初中數學解題教學中的運用探究[J].中學課程輔導：教師教育，2019（1）：87.

[2]陳大兵.初中數學分類討論思想在解題中的應用探索[J].試題與研究：教學論壇，2018（21）：38.

[3]章祥軍.淺談分類討論思想在初中數學解題教學中的運用[J].數理化解題研究，2018（23）：3-4.

[責任編輯：李 璟]