基于“拋-析-探-煉-解-拓”六位一體的 計算方法課程教學改革

郝輝　李雪瑞　李亞雄

摘? 要：針對“計算方法”課程內容抽象、公式繁多、理論實踐并重等特點，本文基于教師多年的教學經驗，提出了“拋-析-探-煉-解-拓”六位一體的教學方法，以“二分法”為例，詳細說明了該方法的具體實施過程。實踐證明，該方法以學生為主體，改變了傳統的教師主導教學模式，激發了學生的學習熱情和課程參與度，有助于內容知識的傳授和科研精神的培養。

關鍵詞：計算方法;教學改革;六位一體;二分法

中圖分類號：G642.3? ? 文獻標識碼：A? ? 文章編號：1673-7164（2021）19-0025-07

計算方法課程是高等院校諸多理工類專業、數學類專業的基礎課程，也是火箭軍工程大學火力指揮與控制工程專業的基礎課程之一。該課程目標主要是使學生熟悉掌握數值科學計算的基本思想、主要內容和實現過程，逐步培養學生獨立思考、分析問題、編程實踐的能力，能夠將數值方法與實際問題相結合以求取其數值近似解，為后續專業課程的學習奠定基礎，并為其將來走上科研崗位進行科學實驗與計算提供有力支撐[1-2]。

計算方法課程涵蓋數學知識多、公式復雜，傳統教學中單一的理論傳授式講課，學生極易出現枯燥乏味的感覺，也會產生難于理解、困于應用的現象[3]。知識源于生活并服務于生活，教師應從日常生活中發現學生的興趣點，挖掘生活中的知識點，帶領學生對問題進行探討，運用趣味式的互動方式，并借助現代教學手段，適當調整教學方法，以達到師生協同探索、合作共進的教學目的[4]。為此，本文提出了“拋-析-探-煉-解-拓”六位一體的教學方法。

一、課程特點及教學問題剖析

作為一門專業基礎課程，計算方法課程主要為學科研究過程中一些無法解決的數學問題提供數值近似解的方法。該課程既呈現出數學基礎課程的特點，又具有廣泛的應用領域。其主要特點如下：一是知識面廣，理論性強，既涉及高等數學的泰勒級數、常微分方程求解等，又涉及線性代數的線性方程組求解、矩陣特征值計算等相關理論知識;二是應用面廣，實踐性強，目前，業界對于數值計算在氣象、地震、核能技術、石油勘探、航天工程、密碼解譯等領域有著重要的地位已達成共識[1]。

為此，課程教學中除了介紹各種數值算法的基本原理和數學基礎，更應該強調算法的實現和應用，要求學生利用相關工具，對所處理的問題構造合理的計算方法，同時研究算法的有效性、收斂性及穩定性等。

基于計算方法課程特點，老師在授課過程中經常會存在些許困難或局限性，主要體現在以下幾個方面[5]：

一是重傳授，輕互動。課程內容多、學時少，是授課老師面臨的最大困難。教師迫于完成教學任務，如果采用傳統的滿堂灌授課方式，課堂上缺乏互動或互動極少，無暇顧及學生對知識的掌握情況，這樣容易導致學生學習狀況的兩極分化。

二是重理論，輕實踐[6]。教材原理多、應用少，是一些計算方法教材的不足之處。由于教學經驗的匱乏，一些老師只注重講授書本上的理論知識，花大量時間去進行煩瑣的定理證明和公式推導，而忽略實踐環節的教學，致使學生雖掌握了書本上的理論知識，但對實踐環節了解甚少，這樣，極易出現高分低能的現象。

三是重驗證，輕探索。課程算例多、案例少，是授課過程中的常見問題。疏于對專業知識的理解，諸多老師課堂上僅僅局限于書本上的算例，缺乏對日常生活的留意觀察，因而實踐環節只是安排少數的或者傳統的算例，對貼切生活實例和典型的專業案例介紹得少之又少，從而導致學生探索能力的不足和創新精神的欠缺。

二、學生特點及存在問題分析

通常情況下，計算方法課程開設在大學二年級的第二學期。此時，學生通過前期高等數學、工程數學、計算機軟件基礎等課程儲備了該課程相關的基礎知識。研究發現，大二年級中的大部分學生學習積極、思維活躍、互動參與期待高，具有突出優勢和明顯不足。

（一）愛探索、愛合作、愛專業

大二年級的學生飽含對大學學習的新奇和熱情，開始進入對學科領域的探索階段，積極參與學校組織的一些俱樂部活動，也勇于承擔學科專業的創新課題，同學之間也愿意合作去完成對未知問題的探討和研究。

（二）重知識、重考試、重運用

首先，知識是學生時期重要的收獲，對知識的理解和掌握程度是以后走上工作崗位的有效支撐。大學期間學生需要完成諸多基礎課程和專業課程的學習，課程考核的成績直接關乎每位學生的切身利益。其次，如何有效運用所學知識解決實際問題？所學知識在未來工作崗位中發揮的作用又如何？諸如這一系列現實問題都是他們所關心的話題。

（三）怵公式、怵推導、怵應用[7]

計算方法課程與數學知識緊密相連，教材里涉及數學公式繁多，公式推導證明復雜，學生極易產生畏難情緒和恐懼心理，尤其是一些數學基礎偏弱的學生。教師在授課過程中若只介紹一些經典理論和算法，實例演示和案例探討偏少，會使得學生對課程的理解和應用知之甚少，也會盲目地去學習。

三、課程設計及教學方法改革

（一）課程設計

根據本校人才培養方案要求和課程標準規定，計算方法課程學時數為40學時，其中包含6學時的課程實踐。考慮課程學時數量，結合專業需要和學生特點，將課程教學內容分為六大模塊：“方程的近似解法”“線性方程組的解法”“插值法”“最小二乘法與曲線擬合”“數值微積分”和“常微分方程解法”。教師應將課程的重點放在算法模型的建立、構造與試驗，核心集中在相關專業領域的應用建模。整個教學過程中，從計算方法的一般原則出發，針對不同類型的數學問題，分別展開探討各數值計算方法;課程內容設計方面，應緊密貼合日常生活和實際應用，加強理論知識和實踐應用的融合，注重培養學員分析問題、解決問題的能力，全面提高學生的科研精神和創新能力。

（二）教學方法改革

針對課程特點和學生狀況，計算方法課程需注重傳統與現代相結合，課內與課外相結合，融理論與實踐于一體，對復雜的算法思想進行探索提煉，抽象的理論知識采用趣味生動的方式進行講解闡述，通過現代信息技術實時掌握學生的學習情況，并及時調整教學進度和授課方式，從而全方位地提高課堂授課質量，增強學生學習效果[8-9]。為此，本文提出了以“學員討論為主、教員教學為輔”的教學策略，集“拋-析-探-煉-解-拓”六位一體的教學方法。教學實施過程中，借助現代信息技術手段，采用“逐步探究、層層剖析”的教學方式，引導學生一起去探索知識，發現知識中存在的問題，同時結合實例展開教學。

下面就以“二分法”為例，詳細說明六位一體教學方法的具體實施過程和講解方法。

四、六位一體教學方法

“二分法”是一元函數方程近似解法中最基礎的一種方法，也是講解后續內容的基礎和對比對象。該教學內容要求學生了解求根問題的基本原理，熟悉求根問題策略選擇，掌握二分法的算法步驟，熟悉二分法的收斂準則和使用方法。其中，重點要求學生掌握其算法步驟和程序設計方法，難點則是問題的收斂準則推導及對比。

（一）拋——激發興趣

《購物街》是一套大眾娛樂節目，深受大眾喜愛。為此，教學中從《購物街》實例出發，讓學生分別扮演主持人和觀眾角色，現場模擬競猜“微波爐”價格，引出競猜價格這一問題，模擬完畢后老師對該問題進行分析，將價格競猜轉化為數學問題，進而引出“根”“隔根區間”的概念。以輕松的游戲方式，打消了學生對課程難的顧慮，激發了學生的學習興趣，活躍了課堂氛圍。

（二）析——討論辨析

將競猜價格策略分為：A. 依據經驗估計價格，并實時調整;B. 每次猜中間數;C. 依據偏好方向選擇黃金分割點;D. 通過現場互動實時調整。教師課前通過微信群投票軟件將上述策略發到課程群里，讓全體學生參與投票，課堂上引導學生對問題進行討論，辨析各種猜測策略的優劣所在，繼而引出“二分法”常用策略的分類，即按有無先驗信息分為兩大類。

（三）探——探索比較

針對策略中無先驗信息的分類情況，教師組織學生從最少次數、最多次數和平均次數三個方面，探索比較對分策略和黃金分割策略，從中得出一些基本規律，最終體現出對分策略的優勢，由此順利引出“二分法”的概念。如此，學生不僅掌握了基本概念，還了解了其在生活中的應用。

（四）煉——提煉步驟[10]

基于前面的競猜游戲環節，教師啟發學生深入分析二分法的算法步驟。再現競猜情景，但此次對所猜價格給出“高了”“低了”的提示信息，對照之前“隔根區間”的劃分概念，從中提煉二分法的算法步驟，并給出誤差要求的概念。將隔根區間變化規律圖示化，并將二分法算法步驟用流程圖顯示，從而解決學生“怵公式”的問題，使其在感性上認知并掌握二分法的算法步驟。

（五）解——演示總結

二分法的收斂準則是學生需要熟練掌握的教學內容之一，但其抽象難以理解。教師可以根據不同類型的數學函數，利用線圖演示的方式，引導學生一起討論“二分法”對于各類函數的適應性。在此基礎上，總結出“二分法”的收斂條件，期間避免了煩瑣的公式推導過程，并解決了學生“怵推導”的問題。

（六）拓——反面啟發

為了學生能夠掌握二分法的應用，教師在課堂上除講解純理論應用題之外，需列舉日常生活實例進行拓展，如高壓直流輸電系統的可靠性評估、多雷達信號分選、裝備故障快速診斷等等。除此之外，還采用反面啟發的方式，給出不適合使用二分法求解的問題，如：有九枚金幣中存在一枚假幣（比真幣輕），怎樣利用天平找出假幣？引導學生利用所學知識進行分析探討，最后得出采用三分法求解要比二分法更快。熟知算法的應用是課程的核心，列舉經典例題、生活實例以及專業問題，并采用正反實例結合比較的方式，可以讓學生全方位理解和掌握算法，從而有效地解決學生“怵應用”的問題。

教師采用“拋-析-探-煉-解-拓”六位一體的教學方法，帶領學生一起將“二分法”進行透徹剖析，顯著提高了授課質量，同時也讓學生體會了提出問題、分析問題和解決問題的基本過程，極大地鼓舞了他們的學習興趣和自信心。對于計算方法課程，該方法還可以用于方程的近似解法、插值法、數值積分等章節的教學內容，具有一定的通用性，各算法的具體教學實例如表1所示。

表1? 教學內容與教學實例對照表

五、小結

計算方法課程知識抽象，理論實踐并重，難講亦難學，本文提出的“拋-析-探-煉-解-拓”六位一體教學方法，按照對事物的認知規律，對各類算法進行逐步分析和深層凝練，可以有效地解決各類算法講解過程中存在的難點問題。同時，教師在授課過程中引導學生親身體驗不同算法求解同一問題或同一算法求解不同問題的區別，促進學生掌握知識的同時，培養了學生循序漸進、舉一反三的科學研究精神。該方法在進行授課實踐的過程中，學生反饋效果較好，學習成績顯著提高，同時也得到了學校專家的一致認可。

參考文獻：

[1] 汪海鷹，易發勝，張君雁. “數值計算方法”課程教學探索——以軟件工程專業為例[J]. 教育與教學研究，2017，31（02）：111-114+129.

[2] 張建華. 應用型人才培養中數值計算方法課程教學改革與實踐[J]. 大學教育，2013（08）：51-52.

[3] 孫國芹，劉小冬，許東來. 機械工程專業計算方法課程教學改革與實踐[J]. 教育教學論壇，2020（09）：121-122.

[4] 王班，周傳平，周茂瑛. 《數值計算方法》課程教學改革探索[J]. 教育教學論壇，2020（08）：222-223.

[5] 陳麗娟，李明珠，張蕾，等. 新工科背景下計算方法課程實踐——融入數學建模思想[J]. 高教學刊，2020（18）：74-76.

[6] 張國勇，毛欲民. 計算方法課程教學中計算思維培養研究[J]. 湖北師范大學學報（自然科學版），2018，38（04）：98-102.

[7] 趙麗萍，舒期梁. 關于《數值計算方法》課程教學改革的探討[J]. 辦公自動化，2018，23（15）：37-38+36.

[8] 耿愛成，史書慧. 工程碩士課程“數值分析”教學改革研究[J]. 沈陽師范大學學報（自然科學版），2017，35（04）：494-497.

[9] 胡雙年，馬戈. 基于程序設計的計算方法課程教學改革與實踐[J]. 高教學刊，2018（13）：76-77+82.

[10] 黃曉林，陳嘉艷，徐駿. 以《計算方法》為例的經典課程課堂教學改革探索與實踐[J]. 教育教學論壇，2019（16）：136-138.

（責任編輯：汪旦旦）