畫數：基于思維可視化的分數教學

林曉

【摘要】數學是思維的體操。發展思維是核心素養背景下數學教育的關鍵訴求，將思維可視化運用到數學教學中，可以實現零散知識系統化、隱性思維顯性化、知識建構模型化。將大腦中的思維“畫”出來（“畫數”），可以讓數學知識更容易被理解、被記憶，也可以發展學生的數學思維，提升數學學習的能動性。

【關鍵詞】思維可視化 畫數 圖示及圖示組合 分數教學

數學是思維的體操，發展思維是核心素養背景下數學教育的關鍵訴求。教師應調動學生的多重感知，讓學生參與思維發生、發展與表達的全過程，讓思維“看得見”。思維可視化是指以圖示或圖示組合的方式，把原本不可見的思維結構、思考路徑及方法呈現出來，使其清晰可見的過程。將思維可視化運用到數學教學中，可以實現零散知識系統化、隱性思維顯性化、知識建構模型化。數學學習中，將大腦中的思維“畫”出來（“畫數”），可以讓數學知識更容易被理解、被記憶，也可以發展學生的數學思維，提升數學學習的能動性。

《認識一個整體的幾分之一》是蘇教版小學數學三年級下冊《認識分數》單元中的一課。之前學生已經積累了一個物體的幾分之一的分數知識，后續還將學習分數的意義等知識，從而構建完整的分數知識體系。在兩次執教的過程中，筆者改變設計初衷，利用思維可視化的理念，將關注點從“知識層”邁入到“思維層”，教與學的目標從“學會”升華到“會學”。

【第一次試教】

（一）教學例題1

提問：把一個桃平均分給2只小猴，每只小猴分得這個桃的幾分之幾？猴媽媽帶來一盤桃，平均分給2只小猴呢？

追問：如果這盤桃有6個桃子，怎樣表示這盤桃的二分之一呢？有4個桃呢？8個桃呢？

比較：每盤桃的個數不同，為什么都可以用二分之一來表示？

小結：雖然每盤桃個數不同，但只要把一盤桃看作一個整體，平均分成2份，每份就是這盤桃的二分之一。

（二）教學例題2

提問：猴媽媽帶來的這盤桃有6個，平均分給3只小猴，每只小猴分得這盤桃的幾分之幾？

指出：把6個桃看成一個整體，平均分成3份，每份是這盤桃的三分之一。

與例1比較：都是把6個桃平均分，為什么前面每份用二分之一表示，這里用三分之一表示？

說明：一盤桃，平均分成2份，每份是它的二分之一;平均分成3份，每份就是它的三分之一。平均分的份數不同，得到的分數也不同。

（三）教學“試一試”

提問：這里有一盤桃12個，你能平均分成幾份？每份是它的幾分之一？

比較：都是把12個桃平均分，為什么表示每一份的分數不同？

觀察：平均分的份數和表示每份的分數，你有什么發現？

小結：把一盤桃看成一個整體，平均分成幾份，每份就是它的幾分之一。

【問題發現】

第一次試教，教師試圖通過動手操作、觀察比較等方式幫助學生認識一個整體的幾分之一，學生在精準引導之下逐步掌握知識，一切顯得順理成章。然而，“為什么要把這些物體看成一個整體平均分”的認知需要，“怎樣用簡潔的數學語言來描述平均分的過程”的學習重點沒有突破。

（一）學生被動地思考，思維未真正發生

無論是把6個桃看作一個整體平均分，還是把4個桃、8個桃看作一個整體平均分，都是既定的教學內容，學生被動地思考、被動地接受，生成性資源較少，思維未得到真正的發生。

（二）學生低階地思考，更何談高階思維

學生尚未對“一個整體的幾分之一”這一知識進行結構化的梳理，知識呈散點狀，知識間的聯系未形成。學生為了學習而學習，為了思考而思考，思維含量不高，思維效能不明顯。

【第二次試教】

（一）問題引領，引發思考

出示：1/2。提問：誰來介紹這個數？

提問：1/2是分數，是在平均分的過程中得到的。我們可以把什么平均分得到1/2呢？

生1：把一個蘋果平均分成2份，每份是這個蘋果的二分之一。

生2：把一個長方形平均分成2份，每份是這個長方形的二分之一。

生3：把一根1米長的彩帶平均分成2份，每份是這根彩帶的二分之一。

指出：把一個物體、一個圖形平均分成2份，每份就是它的二分之一。

（二）主動探究，自主建構

1.首次建構

（1）直觀感受

引導：猴媽媽上山摘桃子。這籃桃子（用布蒙住）要分給2只小猴，每個小猴分得多少？誰來猜一猜，這籃桃子有幾個？

生1：4個。

生2：10個。

生3：雙數個。

出示：6個桃。提問：籃子里有6個桃，把這籃桃平均分給2只小猴，每人分得幾個，是這籃桃的幾分之幾呢？

用“○”代替桃子圈一圈、分一分。

說明：把6個桃看作一個整體，平均分成2份，每份是這籃桃的二分之一。

……

（2）舉一反三

提問：猴媽媽繼續摘桃子。這籃桃子（用布蒙住）還是平均分給2只小猴。這籃桃還可能有幾個？每只小猴分得幾分之幾呢？請你動手試一試。

呈現學生思考結果并形成思維圖（見圖1）。

第一次比較：每籃桃子的個數不同，為什么都可以用二分之一來表示？

指出：每籃桃的個數不同，只要把它看作一個整體，平均分成2份，每份都是這籃桃的二分之一。

2.再次建構

（1）積累表象

引導：還是這籃桃子（用布蒙住）我們還能平均分給幾只小猴，每只小猴分得這籃桃的幾分之一呢？

呈現學生交流結果并形成魚骨圖（見圖2）。

（2）分析抽象

觀察并討論（第二次比較）：

①都是把6個桃看作一個整體平均分，為什么有時用1/2表示，有時又用1/3表示？

②都是12個桃，表示每一份的分數為什么不同？

交流得出結論：平均分的份數不同，得到的分數也不同。

（3）演繹深化

引導：把12個桃看作一個整體平均分成4份，每份是1/4;平均分成6份，每份是1/6。12個桃你還可以平均分成幾份？又能得到什么分數呢？

生1：把12個桃看作一個整體平均分成3份，每份是這個整體的1/3。

生2：把12個桃看作一個整體平均分成12份，每份是這個整體的1/12。

……

呈現樹狀圖（圖3），第三次比較：觀察平均分的過程，你有什么發現？

小結：把一籃桃看成一個整體，平均分成幾份，每份是它的幾分之一。

追問：我們還可以把什么看作一個整體平均分？

（三）回顧反思，小結學法（略）

【教學反思】

學生所需要的不是定義的分數，而是“行為的分數”，即通過大量的操作活動如分一分、畫一畫、說一說等，幫助學生深入理解一個整體的幾分之一。“畫數”，用直觀的圖示表征抽象的思維，在動手操作、合作交流中展現思維發生、發展的過程，在語言表達中外化數學思維。“畫數”，成為學生理解數學、表達數學的“錨”。

（一）以“發展思維”為深層目標，讓學生“畫”出學習過程

思維是人類所具有的高級認識活動。如何讓內隱的思維過程外顯化，畫數是簡潔、易行的方法之一，有助于學生表征思維、教師“觀察”思維。教學時，首先給出已識的1/2，用畫數的方式表示一個整體的1/2，讓學生明確2個桃、4個桃、6個桃……都可以看成一個整體平均分成2份，每一份就是這個整體的1/2。接著，給出一個“蒙著布”的籃子，讓學生充分想象具體表征，用畫數的方式表示不同的整體平均分后得到的不同的幾分之一，了解“平均分的份數不同，得到的分數也不同”。最后，利用生成性資源繼續思考“12個桃看作一個整體平均分后還能得到幾分之一”這一問題，用畫數的方式表示出12個桃1/2、1/3、1/4……讓學生明確“把一籃桃看成一個整體，平均分成幾份，每份就是它的幾分之一”。

（二）以“設計圖示”為效能手段，讓學生“畫”懂學習重點

圖示是學生思維的窗口。圖示的直觀性與思維的結構性、嚴密性、概括性結合起來，就能讓抽象復雜的思維過程一目了然，同時給簡明直觀的圖示賦予豐富的思維與靈魂。教學時，結合三個核心問題的教學，充分利用學生的生成性資源，呈現了三張圖示及圖示組合（思維導圖、魚骨圖、樹狀圖），讓學生經歷了知識從具體到抽象、從一般到特殊的過程，從而促進知識的網絡化形成、思維的結構化推進。

（三）以“合作探究”為課堂形式，讓學生“畫”清學習方法

合作是學生學習的重要方式。基于思維可視化的“畫數”，還能為合作探究提供有效支持：師生、生生、小組內、小組間都可以借助圖示進行思維交流與思維碰撞。教學中，結合三個核心問題的教學，設計以獨立思考、畫數為前提的交流活動，讓學生完整建構“一個整體的幾分之一”這一知識，同時合作探究也超越了數學學科本位，能讓這種有效的學習策略，經過多次強化（實踐運用），成為可被內化的自主學習的能力。

“頭腦不是一個要被填滿的容器，而是一把需要被點燃的火把。”學與教的思維可視化策略，是能夠實現思維發展的重要途徑。在思維可視化的過程中，學生的學習情感走向積極、學習方式走向合作探究、圖示能力走向創造，思維方法也從單向走向多元，從而使思維能力有效發展、思維品質有效提升、思維力體系逐步完善。