做足模型建構的“功”，化解簡便運算的“難”

周小蘇

【摘要】簡便運算在人們日常生活中應用廣泛，也是小學數學運算教學的重中之重，但是由于運算方法的多樣化和題型的千變萬化導致教學時困難重重。本文以“乘法分配律”為例，從模型建構的角度探討如何化解教學中的難點問題，希望以此為突破口，找到簡便運算教學的基本方法模型。

【關鍵詞】乘法分配律 模型建構 簡便運算

簡算在人們日常生活中應用非常廣泛，也是整個小學運算教學的重中之重。新課標要求學生面對數學問題時，要能夠從不同的角度利用掌握的知識和方法靈活解決問題，而簡便運算就是運算策略多樣化和最優化的集中體現，它要求學生能綜合應用各項運算技巧，是計算題中最能夠培養學生思維能力的一類題型。同時，由于簡便運算的方法多樣，題目類型千變萬化，時常導致學生暈頭轉向、張冠李戴，簡便運算的教學也往往成為運算教學中的老大難。學生弄不清到底什么樣的題目該用簡便方法，用怎樣的簡便方法。所以，每當在教學簡便運算這部分內容的時候，學生和教師往往叫苦不迭，問題頻出。而乘法分配律與其他的運算律相比，由于涉及兩種不同的運算，所以更是成為整個簡便運算教學中最難的部分。因此，如何科學有效地進行乘法分配律的教學，便成為教師們最迫切需要解決的問題。

新課標指出，模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑，有助于提高學生學習數學的興趣和應用意識，而乘法分配律本身就是一種重要的數學模型，本文試圖從模型建構的角度探討如何化解乘法分配律教學中的難點問題。期待以此為突破口，找到簡便運算教學的基本方法模型。

一、抓住生活之“形”

數學來源于生活，抽象的模型建構更要以豐富的生活背景為基礎，讓學生經歷從具體到抽象的完整過程。

1.在問題情境中建模

數學課程標準強調要從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型，并解釋與應用的過程。因此，如何在乘法分配律的教學中，讓學生充分經歷模型建構的過程至關重要。創設問題情境能引導學生感知問題解決過程中的普遍規律，親身經歷將具有相同結構的現象不斷數學化的過程，筆者分析了幾套教材對乘法分配律的編排，發現都是從學生熟知的生活情境中提出數學問題，并通過解決實際問題，對算式進行觀察、比較、分析，進而為抽象出乘法分配律的數學模型創造條件。

以“蘇教版”的“領跳繩”情境為例：

學生在求“四年級有6個班，五年級有4個班，每個班領24根跳繩，四五年級一共要領多少根跳繩？”時得出以下兩種計算方法：

（1）先用（6+4）算出一共的班級數，再乘24就可以算出兩個年級一共要領多少根跳繩，列式為（6+4）×24。

（2）先算四年級的跳繩根數，再算五年級的跳繩根數，然后把兩個年級的跳繩根數合起來，列式為6×24+4×24。

學生發現無論是哪一種算法都能解決這個問題，進而發現兩個算式的結果相等，中間可以用等號連接。通過這個實際問題的解決，教師可以借“領跳繩”的問題情境幫助學生建立乘法分配律的情境模型，即無論是兩個年級一起領還是分開領，其計算結果是相等的。回歸生活世界的問題情境能幫助學生理解乘法分配律的生活原理，加深對簡算算理的理解，使新知的建構自然而有溫度。

2.在數形結合中建模

在具體情境中解決數學問題是一種生活化的模型建構。然而，我們最終必將引導學生通過數學符號來建構數學模型，根據小學生的思維特點，從具體到抽象需要有一個逐步提升的過程，在乘法分配律的教學中用好“數形結合”可以幫助學生在數學模型建構之前首先建立一個清晰的幾何模型輪廓，起到循序漸進的作用。例如，上述內容在北師大版例題情境下，教師可以適當加以引導和轉化，將生活中的貼瓷磚問題轉化成數學中的長方形的面積計算問題。

●貼了多少塊瓷磚？說說你是怎樣算的。

教師可以結合抽象的長方形圖形，引導學生分別說一說“（4+6）×8、4×8+6×8、（5+3）×10、5×10+3×10”四道算式表示的具體意義，從而，又可以讓學生在頭腦中建立起“直接計算大長方形的面積和先分別計算兩個小長方形的面積再相加，其結果是相等的”幾何直觀模型。

二、緊扣意義之“神”

無論是情境中建模時生活經驗的激活，還是數形結合時幾何直觀的建立，其顯著的特點都是在學生的頭腦中建立形象、直觀的模型，可謂抓住了生活的“形”。但數學的學習光有表面的直觀是遠遠不夠的，還需著眼意義上的建構，緊扣意義之“神”，讓學生“知其然”更“知其所以然”。因此，在教學中，教師還要引導學生從“乘法意義”的角度來理解乘法分配律，如結合等式（6+4）×24=6×24+4×24可以引導學生理解：等號左邊表示有“（6+4）個24的和，即10個24的和”，等號右邊表示“6個24的和加上4個24的和，也是10個24的和”，所以左邊和右邊相等。意義上的建構讓學生既在形式上把握了乘法分配律的特點，又深層次地理解了本質意義。

而且，深層次意義的建構能較好地幫助學生化解易錯題的困難，如學生經常把“98×25”這樣的題算成“（98+2）×25”，“101×64”算成“100×64+1”，這樣的錯例在乘法分配律的學習過程中是很常見的，教師們也常常一籌莫展。其實，針對這樣的錯例，只要注重從乘法的意義來理解算式，問題就可以迎刃而解。如98×25，從意義上來理解可以先算100個25，再減去2個25，所以正確的計算應該是100×25-2×25，而101/64也就不難理解成應該將100個64的和與1個64合起來，所以應該寫成100×64+64×1或100×64+64。

三、提煉數學之“魂”

生活中的充分感知和模型建構以及深層意義的理解為提煉乘法分配律的數學模型奠定了堅實的基礎，若在此基礎上能更好地組織學生進行等式特征的觀察、符號模型的抽象和整理，則乘法分配律數學模型之“魂”呼之欲出，簡便運算的教學之“難”便不攻自破。

1.觀察等式特征

學生在解決實際問題的過程中，能初步感知到等式的特征，如果進一步觀察對比就能發現等式的規律，再通過大量的舉例驗證，將會使學生更加熟悉乘法分配律的模型結構，也能幫助學生在理解乘法分配律的同時積累數學活動經驗。

例如，在蘇教版的例題教學后，教師就引導學生觀察等式“（6+4）×24=6×24+4×24”，并說一說自己的發現，學生會從左右兩邊算式中數據、符號等特點進行表述：

生1：我發現這兩道算式都是用同樣的三個數寫成的。

生2：左邊的算式中“24”用了一次，右邊的算式中“24”用了兩次。

生3：左邊是把6加4的和與24相乘，右邊是把6和4分別與24相乘。

生4：我發現了左邊是兩個數的和與一個數相乘，右邊是兩個數分別與這個數相乘，再把積相加。

從上面可以看出，學生在觀察、對比的基礎上可以找到或接近等式最本質的特征。此時，關于乘法分配律的等式模型在交流的過程中已初見雛形，也為后面學生的自主舉例驗證做好鋪墊。教師可適時啟發：剛才大家的發現是不是一種巧合？你能不能再舉一些例子來進行驗證呢？通過對大量例子的再觀察，學生建構的等式模型將更為清晰。

2.抽象符號模型

（1）個性化的語言表述

語言是思維的外衣，在學生認識了乘法分配律等式特征之后，教師要讓學生充分、自由地用自己的語言試著表述“乘法分配律”，通過語言的表述能讓學生加深對模型結構的理解，也能更好地發展學生的思維能力。人教版和蘇教版的教材上都有語言闡述乘法運算律的完整表達，這也充分說明語言表述的重要性。

事實上，只要在課堂上充分放開，學生的表達是多元而生動的，如：“先算出兩個數的和，再和另一個數相乘，就等于這兩個數分別和另一個數相乘，再相加。”“括號中的兩個數先加起來再乘一個數，等于將括號里的每一個數都去乘括號外面的這個數，再加起來。”值得注意的是，在鼓勵個性化的語言表述的基礎上教師也要關注表述的科學、規范、完整、簡潔，真正幫助學生實現知識的內化。

（2）結構化的模型整理

建構符號模型是在學生對乘法分配律本質特征有了準確、充分認識的基礎上進行的，它將使得前面具體形象的模型建構完整，這是建立乘法分配律數學模型的重要階段，也是學生順利建立符號模型，提升思維品質的過程。由于學生已經經歷了加法運算律及乘法交換律的符號模型建構，并且對乘法分配律也已經有了充分的認識，所以其符號模型“（a+b）×c=a×c+b×c”的建構是順理成章、呼之欲出的。此時，需要將乘法分配律放到整個運算律教學結構中，引導學生對所學的運算律進行適當的結構化的分類整理，明晰其中的聯系和區別，形成完整的知識結構網絡。

在學生自主整理后，會產生如下幾種分類方法：

①a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）;a×b=b×a，（a×b）×c=a×（b×c），（a+b）×c=a×c+b×c（按加法運算律、乘法運算律分類）。

②a+b=b+a，a×b=b×a;（a+b）+c=a+（b+c），（a×b）×c=ax（b×c）;（a+b）×c=a×c+b×c（按交換律、結合律、分配律分類）。

③a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c），a×b=b×a，（a×b），c=ax（b×c）;（a+b）×c=a×c+b×c（按同級運算、兩級運算分類）……

從學生對運算律的整理來看，雖然方法不同，但大家都能根據特征有條理地整理，也提高了學生對運算律的認識水平。

四、夯實應用之“根”

學以致用，用所學知識解決實際問題是學習的根本目的。因此，在成功構建了乘法分配律的數學模型之后，教師要引導學生應用模型，在應用的過程中不僅能讓學生體會到數學學習的意義，更能提高學生思維的靈活性、深刻性和創造性，強化已有的知識結構，真正夯實數學模型的應用根基。

在本節課的學習后，可以從模型的基礎應用、變式應用、對比應用等角度來設計相應的練習：

1.基礎應用：填一填。

（1）（25+3）×4=D×D+D×□。

（2）8×（125+7）=□×□+□×□。

（3）7×59+3×59=（□+□）×□。

（4）15×6+6×5=（□+□）×□。

2.變式應用：算一算。

99×19+19 65×101

3.對比應用：想—想（用兩種不同的簡算方法計算下題）。

25×24

通過填一填、算一算、想一想的練習設計讓學生靈活應用乘法分配律的數學模型，掌握模型的正、逆向的運用，對比乘法結合律和分配律在解決同一個問題時的解題過程，能更有效地促進知識的內化，同時也讓學生體會到數學知識的應用價值。

乘法分配律是應用最廣泛、最核心，學習難度最大的運算律，這就決定了數學教師要充分認識其本質特征，牢牢抓住教學要點，讓模型思想深深扎根學生頭腦之中。當然，任何事物都不是一成不變的，運算律的教學也隨著時代的發展而要求我們不斷創新教學思維和教學方法，但萬變不離其宗，做足模型建構之“功”必定是運算律教學的根本。