二次函數(shù)“升級(jí)”

趙芬芬

中圖分類號(hào)：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

二次函數(shù)作為一種簡(jiǎn)單而基本的函數(shù)類型，不論在初中教學(xué)還是高中教學(xué)中，都是重點(diǎn)內(nèi)容，也是中考，高考的重要考點(diǎn)，同時(shí)也是初高中具體數(shù)學(xué)內(nèi)容中聯(lián)系最密切的內(nèi)容。

一、案例描述

在不同歷史階段，學(xué)習(xí)依然是學(xué)校教育的主旋律，也就是讓學(xué)生在學(xué)校中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，為了讓學(xué)生從初中階段順利進(jìn)入到高中階段學(xué)習(xí)，需要教師深入分析初高中教學(xué)銜接策略，為九年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)提供借鑒策略，為學(xué)生們進(jìn)入到高中學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，從而實(shí)現(xiàn)初高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接。在本文中則針對(duì)《二次函數(shù)》進(jìn)行詳細(xì)分析，深入探究初高中銜接教學(xué)策略，讓學(xué)生們理解二次函數(shù)的概念，掌握二次函數(shù)的形式，從而為高中函數(shù)相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

二、案例片斷

老師：同學(xué)們，老師知道大家非常喜歡打籃球，那么大家在投籃的時(shí)候，是否認(rèn)真觀察過(guò)籃球運(yùn)動(dòng)的路線呢，如果籃球運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)曲線，那么我們應(yīng)該如何計(jì)算籃球所達(dá)到的最高點(diǎn)的高度呢？其實(shí)老師所提出的問題可以利用我們今天要學(xué)習(xí)的二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解決，讓我們一起走進(jìn)二次函數(shù)，共同探索二次函數(shù)的概念以及形式吧。

【設(shè)計(jì)意圖】在本環(huán)節(jié)中，引出學(xué)生日常生活中常見的打籃球運(yùn)動(dòng)，吸引學(xué)生的興趣，之后順勢(shì)引出本節(jié)課主要教學(xué)內(nèi)容–––––二次函數(shù)。

老師：大家繼續(xù)觀看大屏幕，學(xué)會(huì)運(yùn)用適當(dāng)函數(shù)式表示x和y之間的關(guān)系式。

具體例題見教學(xué)設(shè)計(jì)：（1）（2）（3）

組織學(xué)生們以小組的形式進(jìn)行探討，并獲得了如下函數(shù)式：

1、y =πx2

2、y = 20000（1+x）2= 20000x2+40000x+20000

3、y= （60- x-4）（x-2）=-x2+58x-112

老師：大家共同分析一下，上述的三個(gè)函數(shù)式之間有著怎樣的相同點(diǎn)呢？

學(xué)生：每個(gè)函數(shù)中第一個(gè)x上面都有平方。

老師：上述三個(gè)函數(shù)式在經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)之后都會(huì)變成如下形式：y=ax2+bx+ c，其中（a，b，c都為常數(shù)而a≠0）這樣的函數(shù)式稱之為二次函數(shù)，其中a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)。

老師：大家結(jié)合老師所講解的函數(shù)概念，說(shuō)出上述三個(gè)函數(shù)式中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)。

學(xué)生1：第一個(gè)二次函數(shù)式子中，π為二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)均為0。

學(xué)生2：第二個(gè)二次函數(shù)式子中，20000為二次項(xiàng)系數(shù)，40000為一次項(xiàng)系數(shù)，20000為常數(shù)項(xiàng)。

學(xué)生3：第三個(gè)二次函數(shù)式子中，-1為二次項(xiàng)系數(shù)，58為一次項(xiàng)系數(shù)，112為常數(shù)項(xiàng)。

【設(shè)計(jì)意圖】在本環(huán)節(jié)中，主要圍繞二次函數(shù)概念以及特征展開詳細(xì)分析，幫助學(xué)生們理解二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)，為學(xué)生后續(xù)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)做好鋪墊。

三、教學(xué)反思

1、懸疑導(dǎo)入數(shù)學(xué)新知識(shí)，落實(shí)初高中銜接關(guān)鍵點(diǎn)

當(dāng)學(xué)生們對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生疑問的時(shí)候，便會(huì)產(chǎn)生學(xué)習(xí)動(dòng)力，同時(shí)對(duì)于新問題的好奇心，則會(huì)伴隨學(xué)生們進(jìn)入到課堂學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中，引領(lǐng)學(xué)生們帶著問題進(jìn)行深入學(xué)習(xí)與探究，并始終專注于課堂學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中，比如在二次函數(shù)教學(xué)導(dǎo)入環(huán)節(jié)中，老師為學(xué)生們呈現(xiàn)打籃球的生活場(chǎng)景，并提出問題，如何才能計(jì)算籃球的最高點(diǎn)，鼓勵(lì)學(xué)生們針對(duì)問題進(jìn)行思考，并順勢(shì)引出二次函數(shù)的概念，在具體參與性學(xué)習(xí)中，積極深入二次函數(shù)學(xué)習(xí)中去。

2、教學(xué)環(huán)節(jié)關(guān)注師生互動(dòng)，踐行初高中銜接環(huán)節(jié)

在數(shù)學(xué)課堂上學(xué)生是學(xué)習(xí)活動(dòng)的主體，教師在課堂中起到引導(dǎo)性作用，同時(shí)學(xué)會(huì)關(guān)注數(shù)學(xué)課堂環(huán)節(jié)中的預(yù)設(shè)生成，預(yù)設(shè)實(shí)際上是數(shù)學(xué)教師對(duì)于一節(jié)課學(xué)習(xí)活動(dòng)的預(yù)設(shè)環(huán)節(jié)，是進(jìn)行的預(yù)想，而生成則是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實(shí)際環(huán)節(jié)，也就是要求數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中學(xué)會(huì)正確處理兩者之間的關(guān)系，在具體生成環(huán)節(jié)中，關(guān)注新的數(shù)學(xué)教學(xué)資源的出現(xiàn)，并對(duì)學(xué)生進(jìn)行合理性引導(dǎo)，有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力。

本節(jié)課完整的教學(xué)設(shè)計(jì)：

1、教學(xué)目標(biāo)

（1）注重情景創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生們經(jīng)歷探索以及分析獲得兩個(gè)變量之間二次函數(shù)基本過(guò)程，學(xué)會(huì)利用兩個(gè)不同變量描述具體數(shù)量關(guān)系。

（2）理解與掌握二次函數(shù)的概念，初步了解二次函數(shù)的形式。

（3）學(xué)會(huì)建立二次函數(shù)簡(jiǎn)單模型，善于結(jié)合實(shí)際情況求出二次函數(shù)取值范圍。

2、教學(xué)重難點(diǎn)

（1）重點(diǎn)：掌握二次函數(shù)基本概念。

（2）難點(diǎn)：學(xué)會(huì)建立二次函數(shù)簡(jiǎn)單模型，求出二次函數(shù)取值范圍。

3、教學(xué)過(guò)程

（1）情景導(dǎo)入

老師：關(guān)于投籃動(dòng)作，相信每一位同學(xué)都非常激動(dòng)吧，那么投籃的運(yùn)動(dòng)曲線是怎樣的呢，我們?nèi)绾尾拍軌蛴?jì)算出投籃最高的高度呢？

【設(shè)計(jì)意圖】在導(dǎo)入環(huán)節(jié)中，為學(xué)生們呈現(xiàn)生活中常見的投籃運(yùn)動(dòng)，并引領(lǐng)學(xué)生們思考投籃運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)計(jì)算方法，從而順利引出二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)。

（2）具體探究

老師借助大屏幕為學(xué)生們呈現(xiàn)具體數(shù)學(xué)例題，讓學(xué)生們?cè)谟?jì)算中學(xué)會(huì)利用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式具體體現(xiàn)例題中所出現(xiàn)的兩個(gè)變量之間的關(guān)系。

例題具體如下：

（1）面積y （cm）與圓的半徑x （cm）.

（2）王先生存入銀行2萬(wàn)元，先存一個(gè)一年定期，一年后銀行將本息自動(dòng)轉(zhuǎn)存為又一個(gè)一年定期，設(shè)一年定期的年存款利率為x，兩年后王先生共得本息 y元.

（3）擬建中的一個(gè)溫室的平面圖如圖，如果溫室外圍是一個(gè)矩形，周長(zhǎng)為 12Om，室內(nèi)通道的尺寸如圖，設(shè)一條邊長(zhǎng)為x （m）種植面積為y （m2）.

鼓勵(lì)學(xué)生們針對(duì)上述例題發(fā)表自己的想法。

老師：同學(xué)們，我們將y=ax2+bx+c 這樣的函數(shù)稱之為二次函數(shù)，其中a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)。

老師：大家共同做一做，結(jié)合上述例題中的函數(shù)式進(jìn)行分析，并說(shuō)出二次函數(shù)中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)。

【設(shè)計(jì)意圖】詳細(xì)講解二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)，幫助學(xué)生們明確二次函數(shù)概念。

（3）例題解析

老師：對(duì)于二次函數(shù)相信大家已經(jīng)了解的差不多了，那么接下來(lái)，我們一起探究下列相關(guān)例題吧。例題呈現(xiàn)如下：

例1、已知二次函數(shù)y=x2+ px +q當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)值是4﹔當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)值是-5.求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

例2、如圖，一張正方形紙板的邊長(zhǎng)為2cm，將它剪去4個(gè)全等的直角三角形（圖中陰影部分）.設(shè)AE=BF=CG=DH=x（cm），四邊形EFGH的面積為y（cm2），求：

（1）y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式和自變量x的取值范圍.

（2）當(dāng)x分別為0.25，0.5，1.5，1.75時(shí)，對(duì)應(yīng)的四邊形EFGH的面積，并列表表示.

老師：第一個(gè)例題反映了我們求二次函數(shù)解析式的一般方法，相信大家已經(jīng)了解了其計(jì)算方法，老師為大家寫出具體解析過(guò)程。

老師：第二個(gè)例題中的第一小問，則具體采取求差法以及直接法，第二小問中，我們?cè)谟^察表格中的數(shù)據(jù)，可以了解所對(duì)應(yīng)的x和y的數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系式以及內(nèi)在規(guī)律性。大家猜想一下它們存在怎樣的規(guī)律呢？

【設(shè)計(jì)意圖】

在講解完成二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)之后，讓學(xué)生們進(jìn)行探索，在實(shí)際問題中提升學(xué)生們數(shù)學(xué)思維能力，為學(xué)生們進(jìn)入到高中繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)做好鋪墊。