以 “不變”應 “變化”，構建模型解決問題

徐婉婷

摘 要：在小學階段，解決問題能體現學生綜合運用知識和技能的能力，體現學生應用意識。本文以人教版五年級下冊《排水法解決體積問題2》為課例研究，探索抽出問題本質構建解題模型在實際教學中的應用與實踐。通過提煉不同問題中蘊含的模型，在練習中夯實模型思想，最后再拓展深化模型思想。

關鍵詞：排水法;體積問題;解決問題;構建模型

在小學數學新課標中明確寫出：要求學生具有解決問題的能力，能綜合運用所學的知識和技能解決問題，發展應用意識，形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性。而在實際教學中發現，解決問題一直是學生的難點，也是老師們的心頭之癢——明明覺得自己講得很清楚，怎么學生就不會做呢？筆者認為，出現這樣的情況很大原因是因為學生只是做一題會一題，不理解問題之間“不變”的實質，因此老師應該引導學生發現問題的本質，構建模型，夯實模型。現以人教版五年級下冊《排水法解決體積問題2》為課例展開研討。

一、以“多變”問題提煉“不變”模型

《排水法解決體積問題2》課例是“求不規則物體的體積”中的一種有效方法，是學生在學習了長方體、正方體這兩種規則的立體圖形的體積計算方法后的學習，其核心思想是將不規則物體轉化為規則物體后再求體積。這一內容注重培養學生對知識的遷移能力，運用“轉化”的數學思想方法。排水法解決體積問題變化方式非常多，但都離不開三種情況：水體上升、水體下降、水體溢出。

利用電腦動畫分別演示三種情況，引導學生觀察，不管是水體上升、下降還是溢出，浸沒物的體積其實就是水體變化的體積，再變化情況，引入干擾項，幫助學生進一步明確“浸沒物”和“水體變化”的意思，讓學生初步構建解題模型。

當學生經過“多變”情況后，對排水法解決體積問題中的核心規律已經有了初步認識，這時需要老師進一步引導學生，以構建模型。利用情況三中鐵球的不同情況引導學生明確：物體必須是浸沒在水中的才需要考慮。再歸納：不管是水面上升、下降還是溢出，其實都是水體發生了變化。從而得出“不變”的規律：浸沒物體的體積=水體變化部分的體積。再利用以下步驟進行解題，這一類問題就能迎刃而解了。

①浸沒物體是（ ? ? ? ? ? ? ?），水體變化部分是（ ? ? ? ? ? ?）;

②能直接求出（ ? ? ? ? ? ? ?）的體積;

③問題解決了嗎？

二、以“變化”問題夯實“不變”模型

當學生理解了這一問題的不變規律后，還需要在“千變萬化”的問題中運用，以夯實初成的模型。因此我順勢提供部分數據，讓學生在應用中進一步感悟模型的魅力。

我根據情況一給出相關數據，讓學生根據圖示，提煉成問題后，引導他們先準確判斷浸沒物體和水體變化分別是什么，再根據已知條件求出直接體積，從而解決問題。同時給出干擾條件：整個水面高度，讓學生在思辨中更明確解決問題的核心是水體變化的部分，而不是整個水體。

而情況二中，我變化了問題，學生能直接求的是小方塊的體積，從而得知水面下降部分的體積，但問題并沒有解決，還需要利用體積、長、寬，求出下降的高度。只要緊抓浸沒物體體積=水體變化部分體積這一不變規律，再根據三部解題模型，不管是多么變化多端的問題都能解決。

當學生嘗到模型解題條理性帶來的便捷，正興致高漲時，我馬上又呈現變形題，引導學生根據不變規律，利用模型進行解題。

【例題1】在一個長20dm，寬10dm，高5dm的水池中注入水，水高4dm，然后把一條石柱橫臥完全浸入池中，水池溢出了40L水。石柱的體積是多少？

在學生們判斷浸沒物體和水體變化部分時發生了小分歧，因此我組織了同桌討論。隨著匯報分享，大家都逐漸明晰了本題中水體變化的部分包括水上升部分+水溢出部分，這時浸沒物體的體積應等于水上升部分+水溢出部分，進一步理解了水體變化部分的意義。適時引導學生應根據題目準確找到浸沒物體和水體變化部分（即不變規律），才能正確解題。

在解決問題中，只要我們指引著學生在各種繁雜的問題中抓好不變的規律，構建解題模型，學生解起題來就能水到渠成了。

三、以“改變”問題拓展“不變”模型

在試教過程中，筆者發現，隨著學生掌握了解題模型，其做題速度明顯提高了，于是我設置了兩道改變較大、難度更大的題目，以提高學生對解題思路的理解。

在例題2中我設置了物體并沒有完全浸沒的情況，讓學生展開討論，浸沒物體和水體變化部分分別是什么。經過前面的學習，學生們很快得到了一致的結論——浸沒在水中的兩根石柱才能算浸沒物體，露在水面上的部分不算，幫助學生進一步理解浸沒物體的意義。

【例題2】在一個長12dm，寬10dm，高5dm的水池中注滿水，然后把兩條長4dm，寬2dm，高8dm的石柱立著放入池中，水池溢出水的體積是多少？

到此，學生們對于用排水法解決體積問題已經有了較深的認識了，于是我讓學生嘗試做例題3，作為拓寬學生思維的提升題。

【例題3】在一個高6dm的長方體水池中注入3dm高的水，然后把一條高15dm，底面積是4dm2的石柱立著放入池中，這時水面高5dm。求長方體水池的底面積。

學生在讀題后很自然的去尋找浸沒物體和水體變化部分分別是什么，他們很快就準確找到水體變化部分（水面上升部分），但對于浸沒物體部分產生了非常激烈的討論，一部分同學認為應該是長方體原浸沒的部分，另一部分同學則認為應該包括水面上升后浸沒的部分。老師讓同學們暢所欲言，最終同學們根據他們對“浸沒物體”的理解，同意第二種想法：從黃線到藍線的部分也是被水浸沒的，也應該屬于浸沒物體，因此本題中的浸沒物體應該是藍線以下的部分。

通過多變的題目，改變不同的條件，形成多樣的問題，讓學生們理解并深刻認識到，只要抓緊不變的規律，構建模型就能順利解決問題。解決問題的本質是萬變不離其宗的，只要我們帶領著學生抓緊不變規律的這條線，同學們就一定能釣到解決問題這條大魚的。

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準【M】北京：北京師范大學出版社，2012.