巧手折數(shù)學(xué)有趣又有用

呂紅范

摘 要：折紙，是需要在有限的一個(gè)單位大的紙上進(jìn)行科學(xué)的、近乎極致地分配，才能呈現(xiàn)出美麗的作品.越是復(fù)雜的成品，越需要進(jìn)行精密的計(jì)算，里面蘊(yùn)含了很多數(shù)學(xué)的知識(shí).尤其是設(shè)計(jì)一個(gè)作品的時(shí)候，甚至還會(huì)用到大學(xué)微積分的概念.現(xiàn)代折紙與數(shù)學(xué)的完美結(jié)合，為折紙?zhí)峁┝藷o(wú)限可能，也將折紙與數(shù)學(xué)這兩門(mén)看似毫不相干的學(xué)科聯(lián)系了起來(lái)，使我們感受折紙當(dāng)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)美與數(shù)學(xué)文化。

關(guān)鍵詞：巧手折數(shù)學(xué);有趣又有用;高中"數(shù)學(xué)折紙"課程;開(kāi)發(fā)與實(shí)踐

引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提到學(xué)生通過(guò)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，達(dá)成“會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”的教學(xué)目標(biāo).教師在教學(xué)過(guò)程中需要完成這樣的的目標(biāo)需要利用好教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)意識(shí).讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在身邊，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能夠解決許多的生活問(wèn)題，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.在教學(xué)的過(guò)程中，為了提高教學(xué)效果，教師會(huì)想各種辦法開(kāi)發(fā)教學(xué)資源，滲透相關(guān)的教學(xué)意識(shí)，完成相關(guān)的教學(xué)目標(biāo)，比如利用學(xué)生身邊的教學(xué)資源“紙”，課堂上教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容把紙折成不同的形狀，讓學(xué)生去觀察、分析、總結(jié)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，在教學(xué)目標(biāo)得到完成的同時(shí)讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的奇妙，以達(dá)到教育教學(xué)的目的。

一、利用折紙引入教學(xué)內(nèi)容

在數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，教師需要利用與課題密切相關(guān)的教學(xué)情境引入教學(xué)內(nèi)容.在一節(jié)課或者一章內(nèi)容的開(kāi)始，利用新穎的方式引入教學(xué)內(nèi)容，會(huì)使學(xué)生對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)或者相關(guān)教學(xué)章節(jié)留下較深的教學(xué)印象，從而對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生積極影響.例如在講解《指數(shù)函數(shù)》新授課時(shí)，可以讓學(xué)生拿出一張紙，進(jìn)行對(duì)折，折五至六次，讓學(xué)生在折疊的過(guò)程中仔細(xì)觀察認(rèn)真思考，從不同的角度把自己的發(fā)現(xiàn)表達(dá)出來(lái).有些學(xué)生在折疊的過(guò)程中會(huì)發(fā)現(xiàn)紙的厚度以2倍的形式增加，紙的面積以二分之一的關(guān)系減少.從而抓住學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，引入指數(shù)函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容.在整個(gè)教學(xué)的過(guò)程中，利用折紙進(jìn)行教學(xué).學(xué)生學(xué)的很輕松，教師教的也很輕松.例如在講《圓錐曲線》這一章內(nèi)容時(shí)，首先讓學(xué)生拿出一張圓形紙片，在圓內(nèi)任取不同于圓心的一點(diǎn)F，將紙片折起，使圓周過(guò)點(diǎn)F，然后將紙片展開(kāi)，就得到一條折痕l（為了看清楚，可把直線l畫(huà)出來(lái)），這樣繼續(xù)折下去，得到若干折痕.觀察這些折痕圍成的輪廓，它們形成什么曲線？其次讓學(xué)生在紙上畫(huà)一個(gè)圓O，在圓外任取一定點(diǎn)F，將紙片折起，使圓周通過(guò)F然后展開(kāi)紙片，得到一條折痕l.這樣繼續(xù)下去得到若干折痕，觀察這些折痕圍成的輪廓，它是什么曲線？最后讓學(xué)生拿出一張長(zhǎng)方形ABCD紙片的一個(gè)角斜折，使點(diǎn)D總是在對(duì)邊AB上，然后展開(kāi)紙片，就得到一條折痕l這樣繼續(xù)下去得到若干折痕，觀察這些折痕圍成的輪廓，它是什么曲線？通過(guò)學(xué)生的操作，學(xué)生得到了橢圓、雙曲線、拋物線，針對(duì)學(xué)生的操作，告訴學(xué)生學(xué)習(xí)的主題，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣迅速得到激發(fā)，為后面的教學(xué)做好鋪墊.從折紙出發(fā)，引出操作過(guò)程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極的思考，從而點(diǎn)出教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生對(duì)自己的操作能夠由表入里進(jìn)行研究，以達(dá)到激發(fā)學(xué)生對(duì)所學(xué)習(xí)內(nèi)容產(chǎn)生濃厚的興趣，迅速喚起學(xué)生相關(guān)數(shù)學(xué)認(rèn)知行為，促使學(xué)生積極主動(dòng)探究思考，提高課堂效率的效果。

二、利用折紙?zhí)骄繑?shù)學(xué)知識(shí)

數(shù)學(xué)中折紙問(wèn)題，學(xué)生比較容易動(dòng)手進(jìn)行操作，操作的過(guò)程中紙的變化具有很強(qiáng)的直觀感，也使得折紙具有很強(qiáng)的趣味性.折紙能培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力以及發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力，是開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)的理想的素材.下面是一道蘊(yùn)含趣味性的折紙問(wèn)題的探討。

蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-1有一道習(xí)題：如圖2，一張長(zhǎng)方形ABCD紙片的一個(gè)角斜折，使點(diǎn)D總是在對(duì)邊AB上，然后展開(kāi)紙片，就得到一條折痕（為了看清楚，可把直線畫(huà)出來(lái)）這樣繼續(xù)下去得到若干折痕，觀察這些折痕圍成的輪廓，它是什么曲線？在此題的基礎(chǔ)上，通過(guò)變換相應(yīng)的條件和問(wèn)題，讓學(xué)生進(jìn)行探究.探究的問(wèn)題如下：

探究1：如圖3，一張長(zhǎng)方形ABCD紙片，點(diǎn)E為AD上的動(dòng)點(diǎn)，沿著CE對(duì)折，試探求點(diǎn)D折后所形成的點(diǎn)F的軌跡是什么曲線？并求AF的最小值.

探究2：如圖4，一張長(zhǎng)方形ABCD紙片，點(diǎn)E為AD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為CD上的動(dòng)點(diǎn)，沿著EF對(duì)折，試探求點(diǎn)D折后所形成的點(diǎn)G的軌跡？并求AF的最小值。

探究3：如圖5，點(diǎn)E為AD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為CD上的動(dòng)點(diǎn)，沿著EF對(duì)折，并且EF為定長(zhǎng)，試探求點(diǎn)D折后所形成的點(diǎn)G的軌跡？

探究4：如圖6，一張長(zhǎng)方形ABCD紙片，AD=a，將矩形紙片的右下角折起，使得該角的頂點(diǎn)落在矩形的左邊上，那么折痕EF長(zhǎng)度l取決于角的大小.探求l，θ之間的關(guān)系式，并求l的取值范圍。

在此探究的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)根據(jù)條件和問(wèn)題去選擇合適的解決問(wèn)題的方法，在解決問(wèn)題的過(guò)程中學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)得到培養(yǎng)，學(xué)生的思維得到鍛煉.學(xué)生探究問(wèn)題的過(guò)程，即是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，也是創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程。

三、復(fù)習(xí)鞏固回顧

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，讓我們的課堂可以不再“一支筆一張紙打天下”，同時(shí)讓知識(shí)的傳輸由單方向向多方向發(fā)展。它提高了學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中的參與度，當(dāng)學(xué)生全身心地融入實(shí)驗(yàn)中時(shí)，他們的主觀能動(dòng)性會(huì)得到充分的發(fā)揮。教材中有許多的實(shí)驗(yàn)題，或者說(shuō)是動(dòng)手操作題，被許多教師忽略，其實(shí)，這些實(shí)驗(yàn)題是學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)生成的絕佳材料。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生初步實(shí)踐數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，以及利用數(shù)學(xué)與知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的全過(guò)程，而實(shí)驗(yàn)的結(jié)果不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)和推導(dǎo)，它還反映了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)方法的掌握程度和數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力，因此數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)世界的認(rèn)知能力和知識(shí)應(yīng)用能力。

結(jié)束語(yǔ)

在教學(xué)過(guò)程中，教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生從教學(xué)情境出發(fā)，通過(guò)情境演示、仔細(xì)觀察、操作與實(shí)驗(yàn)，思考總結(jié)，獲得對(duì)數(shù)學(xué)相關(guān)問(wèn)題和知識(shí)的感性認(rèn)識(shí)，然后通過(guò)對(duì)相關(guān)問(wèn)題和知識(shí)的歸納、猜想與類比的加工，使獲得的感性知識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí).教師的啟發(fā)和引導(dǎo)在教學(xué)過(guò)程中是必要的，動(dòng)手操作的過(guò)程不僅能加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程的感悟與體驗(yàn)，而且能培養(yǎng)學(xué)生相應(yīng)的數(shù)學(xué)能力。折紙是教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生“會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”的一個(gè)素材，在學(xué)生的身邊很多類似這樣的素材，需要教師在教學(xué)過(guò)程中去用心挖掘。

參考文獻(xiàn)：

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