于“再創造”過程中提升數學抽象素養

吳厚儀

【摘 要】數學抽象素養作為數學學科核心素養之一，其形成和發展具有連續性和階段性，貫穿學生數學學習的始終。如何從初中階段開始逐步發展學生的數學抽象素養，使學生逐漸學會運用數學抽象思維去發現、分析和解決問題，為高中階段數學學習奠定基礎，這是一個值得深思的問題。本文以一節“全等三角形”習題課的教學設計為例，探討探討如何在初中幾何課堂教學中更好地發展學生的數學抽象素養。

【關鍵詞】初中數學;平面幾何;數學抽象素養

數學是客觀現象抽象概括而逐漸形成的科學語言與工具，抽象性是數學的本質屬性之一。因而，《義務教育數學課程標準（2011年版）》中明確規定，義務教育階段的數學課堂要培養學生的抽象思維。同樣地，最新頒布的《普通高中數學課程標準（2017版）》提出，要發展學生的數學學科核心素養，其中就包括數學抽象。數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養。主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用數學語言予以表征。

由此可見，數學抽象素養的形成和發展具有連續性和階段性，貫穿其數學學習過程的始終。數學抽象素養是適應學生終身發展和社會發展需要的與數學有關的關鍵能力和思維品質之一，能使學生養成在日常生活和實踐中運用數學抽象的思維方式思考并解決問題，學會把握事物的本質，以簡馭繁。本文從一節“全等三角形”習題課出發，探討如何在初中幾何課堂教學中更好地發展學生的數學抽象素養。

一、經歷“再創造”過程，提升數學抽象素養

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》提倡反映數學知識應用的過程應該是“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程。本課例中，筆者將從“提出問題—歸納猜想—證明猜想—得出結論—應用模型—推廣延伸”六個環節開展數學活動。

（一）提出問題

例1：如圖1，∠A=∠B=∠DEC =60°，求證：∠1=∠C，∠D=∠2。

變式1：如圖2， AB⊥BC，AB⊥AD，DE⊥EC，求證：∠1=∠C，∠D=∠2。

（二）歸納猜想

思考1：觀察圖1和圖2，它們有什么共同點？從中你能發現什么規律？

猜想1：如圖3，在△ADE和△BEC中，如果∠A=∠B=∠DEC ，那么∠1=∠C，∠D=∠2。

（三）證明猜想

證明猜想1（學生獨立完成證明）

（四）得出結論

結論：如圖3，在△ADE和△BEC中，如果∠A=∠B=∠DEC ，那么∠1=∠C，∠D=∠2。

師：你能給這一新發現的幾何模型取名嗎？給大家半分鐘進行小組討論，為模型取個好名字。

生：這兩個三角形連在一起像兩座山峰，不如就叫“雙峰模型”吧！

師：非常形象的名字！大家喜歡這個名字嗎？好的，那么我們就給這一模型取名為“雙峰模型”。

【設計意圖】在“提出問題—歸納猜想—證明猜想—得出結論”的數學活動過程中，教師首先通過對比例1及變式1，引導學生觀察、發現、分析和歸納圖形的特征，從中歸納并形成簡單的數學猜想，然后幫助學生對所得猜想進行嚴格證明，最后得出結論。在數學活動中提高合情推理和演繹推理的能力的同時，學生逐步學會清晰地用數學語言歸納概括自己的想法;在嘗試數學抽象的初步過程有深刻體會的同時，學生逐漸學會從特殊到一般、從具體到抽象的思維方式，在潛移默化中不斷提升數學抽象素養。另外，讓學生給所發現證明的幾何模型命名，學生能從數學學習中獲得極大的成就感，提高學生數學學習的自我效能感，激發學生學習數學的積極性。

（五）應用模型

練習1：如圖4，在△ABC中，∠B=∠C，點D、E、F分別在AB、BC、AC上，且BD=CE，∠DEF=∠B，圖中是否存在和△BDE全等的三角形？說明理由。

練習2：如圖5，MN∥PQ，AB⊥MN，∠DEA=∠ECB，求證：DE⊥EC.

（六）推廣延伸

思考2：如果把猜想1的條件和結論互換，你能得到怎樣的命題？

猜想2：如圖3，如果∠1=∠C，∠D=∠2 ，那么∠A=∠B=∠DEC.

證明猜想2（學生獨立完成證明）

應用模型2

練習：如圖6，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分別是PA，PB，AB上的點，且AM=BK， BN=AK，若∠MKN=44°，則∠P的度數為？

思考3：如果把圖3的△ADE和△BCE沿直線AB分別向左右兩邊平移一定距離，如圖4所示，此時結論是否依舊成立？

猜想3：如圖7，在△ADE和△BCF中，∠A=∠B=∠EGF.求證：∠1=∠C，∠2=∠D.

證明猜想3（學生獨立完成證明）

應用模型3

練習：如圖8，∠A=∠ABC=90°，CE=BD，過點C作CF⊥BD，垂足為點F，延長CF交AB于E.試證明：BE=AD。

【設計意圖】首先，通過將猜想1的條件和結論互換，得出猜想2這一逆命題并證明，不僅是對“雙峰模型”再建和完善的過程，更是對學生數學抽象素養形成的鞏固過程。然后，在學生能從圖3直接抽象出數學命題并證明其正確性的基礎上，通過對圖3進行平移變換得到更復雜的關聯圖形圖4，引導學生從關聯圖形中抽象出數學命題并證明，將已知數學命題推廣延伸至更一般的情形，這不僅是對“雙峰模型”拓展和豐富的過程，更是對學生數學抽象素養形成的深化過程?？偠灾?，在“推廣延伸”環節中，學生再度經歷“提出問題—歸納猜想—證明猜想—得出結論”的活動過程，加深了學生對數學知識生成的體會，有助于數學抽象素養的培養和提升。

二、總結

（一）精心設計變式，激活學生數學抽象思維

在初中數學幾何課程中，相關平面圖形往往有多種位置與形狀，圖形變化的復雜性、多樣性和抽象性大大增加了學生學習幾何的難度。因此在幾何內容教學中采取變式教學顯得尤為重要。高質量的變式設計是在初中數學幾何課堂中進一步完善幾何知識體系建構、培養學生數學抽象素養的基礎和保證。教師要從圖形的特征和數學命題的內容出發，充分體現“觀察—思考—猜想—證明—應用”這一數學知識的再創造、理解和應用過程，展現圖形的變換過程和命題證明的思考過程。這一過程的展現可以通過教師在貫徹螺旋上升原則和化隱為顯原則的前提下，變換問題中的條件或結論，精心設計一系列由淺入深、環環相扣的變式，不斷地給學生提供比較、分析、歸納、綜合的機會，啟發引導學生在不同的幾何問題情境中抽象概括出幾何對象的內在聯系特征，將具體的幾何對象和內容進行歸類和“濃縮”，通過反復的體驗實踐，保持學生積極有效的思維活動，深化學生對幾何知識的認識和理解，使學生養成運用數學抽象思維方式解決問題的習慣，學生的抽象思維能力在遞進問題的探索中得到了發展。

（二）展開“再創造”過程，引導學生主動進行數學抽象

著名教育家蘇霍姆林斯基曾說：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個探索者、發現者、研究者，而在兒童的精神世界中，這種需要特別強烈。”正如學生發現“雙峰模型”時內心頗具成就感一樣，在數學學習的過程中，發現是一種樂趣，通過“再創造”過程展現習題的精彩，能夠激發學生主動去發現去探究，享受探究學習的樂趣。而且，學生對通過自身抽象思維活動自主獲得的知識比由旁人“填鴨式”硬塞的知識理解得更透徹，掌握得更迅速。因此，在幾何課堂中，教師要努力營造輕松、愉悅的探究學習氛圍，充分發揮學生的主觀能動性，激起學生強烈的求知欲和表達欲，讓學生主動經歷數學知識的再創造過程，搞清楚知識的來龍去脈。在這一過程中，學生能夠親身體驗過去的數學家們從特殊到一般的數學抽象思維過程，對數學的抽象本質和通過數學抽象形成數學知識的過程有更深刻的理解，促進學生數學抽象素養的形成和發展。

（三）把握抽象程度，教學設計符合學生認知規律

初中生的認知發展正處于具體運算階段向形式運算階段過渡的關鍵期，這時學生的數學認知結構中的抽象思維、逆向思維等開始發展，并能進行簡單的演繹推理。因此，初中幾何教學要符合初中生的認知規律，把握一個適當的“度”，本著嚴密性和量力性原則，以適合初中生的接受能力為宜，不應為了發展學生的數學抽象素養而過多研究復雜圖形問題。

數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿在數學產生、發展、應用的過程中。數學抽象使得數學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的系統。數學抽象的重要性地位可見一斑。教師要充分挖掘教學資源，在初中數學幾何課堂上讓學生經歷探索知識的過程，產生數學思考的欲望，在實踐中體驗知識形成的過程和內在聯系，體會獲得知識的喜悅，在提高學生推理論證能力的同時，不斷潛移默化地提升學生的數學抽象素養，真正學會用數學抽象思維去發現、分析和解決問題。

【參考文獻】

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（責任編輯：周瑋凌）