一道“零點”習題的探究教學

龍明旺 王芳

摘 要：探究式教學容易激起學生的好奇心，并使學生發揮創造力，讓學生用自己的思考方式和方法解決問題，切實體會探究帶來的成長與進步，有利于學生必備品格和關鍵能力的培養.本文以一道“零點”習題的教學為例，對探究式教學作了有益嘗試，學生達到的高度讓人驚嘆.

關鍵詞：零點;探究;核心素養

傳統的講授式教學是通過大量的習題講解，教學生模仿、套用，卻不利于培養學生自主發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，不利于學生核心素養的培養，不利于學生的長遠發展.筆者經常會借助一些典型的問題情境，開展探究課堂，激發學生的好奇心，引導學生自主發現，深入思考，積極探究，并總結反思，創新命題，學生能達到的高度讓人驚嘆，現舉一例如下.

1.問題提出

學生已經學習了零點的概念和二次函數根的分布的基礎知識，于是，筆者提出了一道思考題：關于x的方程在上有唯一實根，求實數k的取值范圍.

這道思考題留給學生回家做一做，第二天課堂一起探究.

2.探究過程

老師先是詢問學生，經過昨天的思考和討論，大家有哪些切入點和轉化方向.

生1（方向一）：可以用二次函數根的分布.展示過程：

記，則

①解得

②，解得

（課堂上有學生討論了，有不同的看法）

生2：做的不完整，你怎么知道一定是二次函數？萬一怎么辦？所以應該分情況討論.接著，陳述過程：

當時，，解得，不合要求;當時，為二次函數，才是生1所說的情況.

（課堂上還是有部分同學討論，感覺有不同的理解.）

生3：老師，生2沒有考慮邊界，因為或也有可能，應該把改成.（課堂有學生說有點道理，但是也有學生感覺不對，提出了異議.）

生4：如圖1，這樣也滿足，但是不符合題目唯一實根的條件.

（課堂上有學生討論說，生4說的是對的，那怎么處理呢？學生陷入沉思，但是臉上的表情反映內心的迷茫，看來還需要一些點撥）

師：剛才幾位同學提出和發現問題，表現得很好.現在這里碰到了難度，

還是討論不清楚.難在端點怎么處理？那同學們想一想，把和

合在一起討論，有困難，怎么辦？

生5：可以把單獨討論！

師：生5說的非常好.逆向思維，退一步，海闊天空.接下來，如何討論呢？

生5：可以把或1代入方程，求出另一個根，看是否符合要求.過程如下：

當x=0時，帶入方程得，原方程化為，即，解得另一個根，符合要求.

當x=1時，帶入方程有，解得，原方程化為，即，解得另一個根，符合要求.

師：生5解得很好.在求另一個根時，除了把k帶入原方程，解出另一個根之外，還有沒有求另一個根的更簡便方法？

生6：（反應很快）可以用韋達定理，過程如下：

①當x=0時，帶入方程得，設的另一個根為，由韋達定理有，解得，符合題目要求

②當x=1時，帶入方程得即時，設的另一個根為，則由韋達定理可知，解得，符合題目要求.

師：時的情形，為什么不用？

生6：如果用用，這樣要么無解或有無數個解，還得通過來確定，這樣麻煩多了.

師：生6說的太好了，選擇有講究，細節處理非常到位. （生6喜悅之情溢于言表）本題的答案應該為四大類情況的并集，即.本題如果把閉區間改成是開區間，又如何做？答案還是一樣的嗎？

（接著學生看前面的討論過程）

生6：只需在前面的討論過程稍作修改就可以了.時的情形，把對稱軸改成.另外，把當和時的情形，符合題目要求改成不合題目要求就可以了.

畫成圖形為圖2，

故答案應該為

師：生6講的完全正確，非常好.我們把剛剛幾位同學的發言和探究成果做一個總結：

若二次函數在區間上有唯一實根，則分哪些情況討論？

生7：分三大類討論：

（1） ? ?（2）

（3）由或求出對應的參數，結合韋達定理求出另一個根，看是否符合要求.最后（1）（2）（3）求并集得到最終的答案.（教師黑板上板書成果）

師：生7歸納的很好.當然，開區間也是類似的處理.如果沒有告知是二次函數，還要對二次項系數為0時，單獨進行討論.回到原題，除了用根的分布這種代數方法求解，還有什么方法可解？或什么方向可以切入？

生8：可以用幾何方法，畫圖象來求解.具體為：

由得，問題轉化為左邊的函數與一次函數的交點問題.

師：切入點很好.那左邊函數，，還是呢？如何處理？

生8：分情況討論，畫圖象，如圖3，

由圖可知，，k = 0兩種情形，兩個圖像均沒有交點，所以k<0

師：生8數形結合得到k<0，做得很好，思路也很自然.同學們還有沒有別的方法，能直接看出k<0？

生9：可從函數值域上考慮.由于，所以，，故.

師：生9從代數上來看問題，非常好.兩位同學都講得很對，接下來請生8繼續講一講的情形又如何處理？

生8：還是畫圖象.如圖4，記，則由圖可知，只需滿足且，解得.

圖4

師：生8的幾何方法很直觀，也非常簡潔，解得很漂亮.掌聲鼓勵一下.本題是否還有別的解法或切入方向？

生10：能不能參變分離做？由得，已知，故參變分離得：，但到這一步，右邊的圖象不會畫，我做不下去了.

師：同學們考慮右邊函數能不能整式部分離？

生10：分母比分子次數高，沒辦法分離整式部分.

師：生10一語中的，那能不能化歸為分母比分子次數高呢？

生10：（反應很快）可以取倒數.

（有同學靈機一動開始動筆嘗試，有同學陷入沉思）

生10：，右邊的圖象還是不會畫？

師：當我們遇到困難時，憑空跨越是不現實的，應該努力思考，看是否見過形式類似的問題？如果與某一熟知的問題類似，我們如何利用以前的方法來解決眼前的問題？

生6：可類比以前求過的函數的值域的方法，換元，令x+1=t，則1≤t≤2，x=t-1，于是，把右邊函數的圖象畫出來，數形結合就很好做了.

生10：生6的做法只是求出常數函數與關于t的函數交點個數問題，并不是與關于x的函數y=的交點個數問題？

生6：x+1=t，這說明x與t是一一對應的關系，一個x對應著一個t，反過來，一個t對應著一個x.所以關于t的方程：有多少個解，原方程就有多少個解.

生10：（豁然開朗）有道理.

生9：老師，取倒數后，為什么不直接換元呢？直接換元，跟前面求函數值域一樣，乞不是更簡單嗎？（學生一下子進入興奮狀態）

生9：令x+1=t，則，x=t-1，.

師：剛才幾位同學經過思維的碰撞與討論，把問題討論的很透，很了不起.接著請同學們畫圖，看不能把答案做出來？

（學生動筆很快，也有同學好像有所頓悟，似乎在思考能不能更簡單一點）

生9：（幾分鐘后黑板展示解答）由圖5可知，，畫圖6解得.

師：（沿教室查看一圈）我發現只有一半的同學正確畫出了圖象，很多同學平移時畫錯了，也有少數幾個同學沒有畫漸進線.能不能避開平移這個步驟，減少平移帶來的畫圖錯誤？關鍵是表達式中的減2如何處理？

生：（反應很快）很多學生齊聲說：移到等式的左邊去.

師：同學們說的非常好，這樣，等式就變成，右邊變成了雙曲函數.

生8：老師，還可以再簡單一點，把等式分母中的2也可以去掉，左右兩邊同乘法以2，從而等式化為.其實，在這里里，就可以把2去分母處理掉，然后換元，更簡單.

師：很好的發現，了不起.（班里同學對生8投來欽佩的目光）請同學們再畫圖，能不能快速做出來？

生8：（黑板上解答）如圖7，由得，解得

圖7

（教師環顧一周，發現學生基本上都做出來了）

師：同學們基本上都做對了.總結一下，通過本題，利用參變分離來處理函數零點問題，函數通過代數變形如取倒數、換元等方法化歸到什么程度會比較理想？有沒有什么標準？

生11：參數和常數放一邊，另外一邊化歸為熟悉簡單的函數，就可以了.

師：生11歸納得非常好，簡單通俗易懂.所謂熟悉簡單的函數就是我們教材上出現的基本函數如冪函數、指數函數、對數函數等，講過的基本函數如雙曲函數等.陌生的函數通過代數變形如取倒數、換元等，化歸為簡單的函數，實現復雜問題簡單化，簡單問題通俗化，數學道理至精至簡，體現數學的簡約之美.

3.創新命題

學生通過探究上述的思考題，掌握了函數零點常用的方法：代數方法、幾何方法和數形結合方法.教師提問：能不能根據本題，自己命出新的函數零點試題？哪位同學能夠拋磚引玉一下？

生9：系數變一變，由，其中，代入得：

，化簡得.故命出新題為：

已知關于x的方程在上有唯一實根，求實數k的取值范圍.

生8：能不能把中的t換成別的函數呢？

師：兩位同學的思維都非常好，切入點也做得不錯.請同學們自己嘗試當一次命題人，題目命好后可按生9這樣，把命題的過程寫在黑板上.

（學生都躍躍欲試，在課堂練習本上開始命題.）

接著黑板上學生成果展示如下：

生12：由，其中，代入化簡得.

新題為：已知關于x的方程在上有唯一實根，求實數k的取值范圍.

生13：由，其中，代入化簡得

.于是，新題呈現為：

已知關于x的方程在上有唯一實根，求實數k的取值范圍.

生8：由，其中，代入化簡得.故新題為：已知關于x的方程在上有唯一實根，求實數k的取值范圍.

生6：將改成，其中，代入化簡得

.于是，新題為：已知關于x的方程

在上有唯一實根，求實數k的取值范圍.

師：同學們太厲害了，命題有寬度，都成 “命題專家”了.現在站在如此高度回頭俯視前面的思考題，應該看得更加透徹.請同學們同桌相互檢查命出的新題，然后做對方的新題，并請對方批改指正.

4.總結反思

在整個討論、探究過程中，學生注意力專注，配合積極，探究的興趣也比較濃厚，臉上洋溢著對知識和探究的渴望，也有獲得的喜悅與自豪.

整個探究過程按照學生先行、交流呈現、教師斷后的步驟在進行，教師只是引導與協助，把課堂還給學生，讓學生自主發現與探究，找到解決問題的方向與步驟，最后，教師協助學生進行歸納總結與評價反思.

思考題的探究方法有三種，方法一常規，最容易想到，能培養學生嚴密的邏輯推理能力，但學生容易錯解或漏解，通過探究，學生能深刻的感受思維的嚴謹性，有助于好的思維習慣和品質的培養。方法二利用幾何直觀，借助形象思維獲得出奇制勝的精巧解法，感受函數的幾何之美，利于激發學生的創造性思維. 華羅庚教授說得好，“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數缺形時少直觀，形少數時難入微.數形結合百般好，隔離分家萬事休.切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離.”華老這些話對我們的數學解題具有極深刻的啟示.數形結合解題常使我們的思維豁然開朗，視野格外開闊.方法三正是數形相輔相成的產物.但是，方法三中最難的是代數變形與化歸. 美籍匈牙利著名數學家波利亞說：“不斷地變換你的問題.”他認為，解題過程主要是問題的變換過程，“我們必須一再地變換她，重新敘述她，變換她，直到最后成功的找到某些有用的東西為止.” 化歸的實質是把所需要解決的問題轉化為已經解決的問題，或容易解決的問題.同原問題相比，化歸后的新問題必須是已經解決或較為熟悉、簡單的問題，它是數學最重要、最基本的思想之一. 化歸的原則是以已知的、簡單的、具體的、特殊的、基本的知識為基礎，將未知的化為已知的，復雜的化為簡單的，抽象的化為具體的，一般的化為特殊的，非基本的化為基本的，從而得出正確的答案.方法三中，學生歸納總結得到：通過取倒數、換元和移項的代數變形，最終化歸為簡單熟悉的雙曲函數，而且化歸的目標就是簡單熟悉的函數，大道至簡，十分難得.通過方法三，可讓學生理解題目解答的動機和步驟，并需要學生嘗試去主動探索這些動機和步驟，從而理解和品味數學.最后命制新題，可進一步激發學生的好奇心，高屋建瓴的看待函數零點問題，也有利于學生創造性思維的培養.

課堂教學中，數學題目只是學習的載體，題目可能本身很平常，但是若它能激起學生的好奇心，并使學生發揮創造力，而且讓學生用自己的思考方式和方法解決了問題，那么學生就能切實體會到一些進步和成長，而且享受發現的喜悅又會促進學生探究和思考的熱情與興趣，這樣的經歷過程有利于培養學生對智力思考的愛好和習慣，對學生的思想和品格也會留下深刻的影響，終身受益，從而提升學生的數學核心素養，實現數學的育人價值.