基于知識關聯，體現思維脈絡

蔣安娜 劉洋

摘要：數學教學可以基于知識關聯設計體現思維脈絡的問題鏈，驅動學生自主探究、有序思考，建立知識體系，學會思維方法。教學《分式》一課，基于分式與分數及整式的關聯，設計體現類比思想以及一類代數對象研究基本路徑的問題鏈。這樣的問題鏈設計還體現了“關注學生的數學現實，以更好地促進學生對數學本質的理解”“立足感性經驗的積累，逐步建立抽象概念”的立意。

關鍵詞：《分式》;問題鏈;知識關聯;思維脈絡;類比

數學學科以邏輯嚴謹、結構清晰等特點著稱，數學結構所體現的數學對象之間的內在關聯反映了數學學科的基本思維方法——從喻平教授提出的CPFS結構理論的角度看，就是網絡中知識點之間的“連線集”是一個“方法系統”。因此，數學教學可以基于知識關聯設計體現思維脈絡的問題鏈（序列），驅動學生自主探究、有序思考，建立知識體系，學會思維方法。教學浙教版初中數學七年級下冊《分式》一課時，筆者便嘗試運用了這一思路。

一、教學內容分析

從算術到代數，從數及其運算到式及其運算，研究對象更具有一般性了，但其本質并沒有變，因此，兩者之間有很多相同和相似之處。就像分數是整數基礎上數系的一次擴充，因不夠分（除不盡）而產生一樣，分式是整式基礎上代數式的一次擴充，也因無法整除而產生。“類比思維是指，在A、B兩個或兩類對象之間存在某種相同或相似的屬性或特征，由已知的A及其相關的屬性推出未知的B需要研究的問題以及可能具有的屬性。”因此，我們可以基于分式與分數及整式的關聯，設計體現類比思想以及一類代數對象研究基本路徑的問題鏈，引導學生學習。

二、問題鏈設計

問題1過去我們學過整式概念以及整式運算等知識，你能寫出一些整式，然后用整式運算編一些題嗎？同桌之間把編好的題交換著做，比一比誰對得多。

這是一個起點性問題，目的在于利用已知的整式引出分式的形式，體現了對分數產生過程的類比。讓學生自己舉出整式的例子，編題給同桌做并與同桌比賽，能較好地激發他們的學習熱情，使他們快速地投入學習。這中間肯定會出現兩個整式除不盡的情況，便會引起學生的認知沖突，甚至有些學生還會抱怨同桌編了一道無法除盡的題，這就為引出分式的形式提供了契機。具體來說，當學生發現兩個整式除不盡時，教師可以先將這樣的式子全都抄寫在黑板上，如實際教學中給出了b÷a、7÷p、（2x-3）÷4x、x÷（2y-1）等式子，再引導學生回憶之前的學習經驗，這便自然地產生了問題2（含問題21和問題22）。

問題2在過去的學習中是否也碰到過除不盡的情況？是怎么處理的？

問題21在數的除法的學習中是否也出現過除不盡的情況？能舉例說一說嗎？

問題22為了解決這種除不盡的問題，是如何處理的？

問題2的主要目的在于激活學生已有的分數學習經驗，從而為通過類比引入分式概念提供思路與方法。問題21和問題22是問題2的輔助問題（子問題），提供了一些分步的、具體的提示。具體地，學生在小學學習自然數的除法時，面臨過兩個自然數除不盡的情況，其中一種處理方法就是引入分數概念。這最終導致了數系的進一步擴充。而進一步的事實是，為了追求運算的完備性，數學中經常會拓展數系。學生通過回憶上述學習經驗，能自然地聯想到，面對整式除不盡的情況，也可以進一步拓展“代數式”的概念。

問題3根據問題2激活的經驗，你會如何處理問題1解決過程中出現的除不盡的情況？能試一試嗎？

問題3試圖讓學生將通過引入新數解決自然數除不盡問題的方法遷移到整式除不盡的情況中，并仿造分數的表示方法表示整式除不盡的結果，如ba、7p、2x-34x、x2y-1等。在此基礎上，讓學生琢磨“自然數除不盡后引入分數”這句話，說出“整式除不盡后引入分式”，使得“分式”這一數學“名字”自然產生。

問題4結合黑板上的例子，這些被我們稱為“分式”的代數式有什么共同的特點？

問題4的目的是引導學生結合例子，進一步歸納“分式”的本質屬性，從而由對“名字+例子”的理解進一步上升到對內涵的把握。

問題5下列代數式中，哪些是整式，哪些是分式？觀察這些式子，你認為分式和整式最主要的區別是什么？32、b-32a+1、m（n+p）7、45b+c、m7、x2-xy+y22x-1、3π。

問題5的目的既是對分式概念的鞏固與應用，也是通過比較、辨別使得分式概念與整式概念得到更精細的區分。這對學生知識結構的形成是極為必要的。

問題6 既然分式與分數有著一定的相似性，那么，分數的學習主要包括了哪些內容？你覺得分式的學習應該包括哪些內容呢？

問題6的目的在于為分式學習建立一個基本框架，一方面使后續的學習目標更為明確，另一方面也是為后面的學習提供思維方法的啟發。面對這一問題，學生會提出如分數中分母的限制、分數大小的比較、分數的運算等內容，并認為這些方面也是分式學習的內容。當然，有些內容并不需要在本節課研究，由此可以提出問題7—問題9，引導學生研究。

問題7分式中分母上的字母有怎樣的限制？請結合之前的例子說一說。

問題8分式1-x4x-8、3x-9x-2什么時候有意義？什么時候等于0？

問題9若當x=2時，分式x-ax+b沒有意義，你能獲得什么結論？

問題7—問題9通過與分數概念的比較，引導學生發現分式概念中伴隨著用字母表示數而來的新問題，從而自然引出分式有無意義、分式什么時候值為零的相關知識，給學生提供了縱向深化的視角，讓學生提升對分式概念的理解。而問題8和問題9也注意有機地植入對學生理解分式概念的評價，體現問題鏈教學“評價的伴隨性”特點。

問題10這節課學習了哪些內容？是如何得到這些內容的？你覺得我們還將學習分式的什么知識？

問題10除了引導學生回顧本節課的核心內容之外，還重視對數學對象探究過程以及方法的回顧，試圖為學生建立探索問題的框架與脈絡。具體地，希望學生類比整式學習所涉及的方面，為分式的學習建立一個整體性的框架與脈絡，理解分式的學習要包括分式的概念、分式的性質、分式的運算等內容。

三、進一步的立意

上述基于知識關聯、體現思維脈絡的問題鏈設計還體現出以下兩點立意：

一是中學數學教學中，問題鏈的設計要關注學生的數學現實，以更好地促進學生對數學本質的理解。強調聯系學生的生活現實（相當于弗賴登塔爾所說的“橫向數學化”），是我國當前數學教學改革的一個重點。但是，數學教學除了聯系學生的生活現實之外，還要聯系學生的數學現實（相當于弗賴登塔爾所說的“縱向數學化”）。雖然聯系學生的生活現實，有效地加強了數學的具體性和直觀性以及學習的體驗性和趣味性，但是隨著數學學習的深入，知識的密集性和關聯性不斷加強，不斷積累的數學現實能給學生的“前概念”“前經驗”提供更大的發揮空間。因此，中學數學教學中，教師要特別注意選擇從學生已有的數學現實出發，通過滲透類比、歸納、演繹等數學思維方法，設計飽含“數學味”的問題鏈。比如，雖然分式與整式一樣，也是表示現實情境中數量關系的常見數學模型，但是為了突出數學的知識結構、思想方法，上述問題鏈設計選擇從整式、分數、除法運算等學生的數學現實出發。

二是受初中學生認知水平的限制，數學問題鏈的設計要立足感性經驗的積累，逐步建立抽象概念。變式是數學問題鏈設計的一種重要方式，即通過變換數學對象的非本質特征來突出數學對象的本質特征。上述問題鏈設計始終貫徹這一思想。比如，問題1—問題4的研究，讓學生先通過整式運算的舉例得到分式的一些例子，再結合這些例子提煉出分式的內涵。再如，問題7—問題9的研究，讓學生借助所舉的具體例子分析，深化對分式概念的理解，慢慢建立起感性經驗與抽象概念之間的聯系。

總之，數學問題鏈就像一條紐帶，將數學知識體系中的關鍵要素和思想方法有序地連接起來，充分地體現出來。在具體設計時，需要注意數學關聯的分析與數學思維的滲透，并根據不同的教學功能呈現多樣的問題鏈，從而促進學生自然、深入地探究學習。

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