“螺旋上升”豈能“旋而不升”

顧秋丹 陳算榮

摘要：初中階段“正數和負數”的教學是小學階段負數概念教學的拓展與延伸，而非簡單的重復。這是數學課程教材內容編排“螺旋上升”理念的體現。然而，很多初中教師把負數的概念當作全新的內容進行教學，無視學生在小學已經有了負數概念的學習基礎。對此，結合課標要求的差異以及歷史發展的過程，對小學階段負數概念教學和初中階段“正數和負數”的教學作出不同的認知定位。由此，針對初中階段“正數和負數”教學的“明晰正負符號與加減符號的聯系”“理解負數的出現滿足了數系對加減法運算的封閉性”兩個認知定位進行活動設計。

關鍵詞：正數和負數;螺旋上升;認知定位;活動設計

基于基礎教育階段課程的學科性以及學生認知發展的階段性，我國中小學數學課程教材的編排秉承“螺旋式上升，波浪式前進”的原則，將某些相同主題的內容安排在不同的學段中反復出現。然而，一些教師會因為不能很好地把握這一編排意圖，不去深入剖析“升”在何處，而導致在高學段的教學中對內容的認知定位停留在低學段的水平，即出現“旋而不升”的現象。“正數和負數”的教學就容易出現這樣的狀況。

一、“旋而不升”：初中“正數和負數”教學存在的現象及其根源

“正數和負數”這一內容在初中數學教學中占據重要地位，人教版和蘇科版教材都將這一內容安排為第一個正式章《有理數》的第一節。初中階段“正數和負數”的教學是小學階段負數概念教學的拓展與延伸，而非簡單的重復。

然而，在現實觀課中我們發現，很多初中教師把負數的概念當作全新的內容進行教學，無視學生在小學已經有了負數概念的學習基礎。此外，在“中國知網”中以主題詞“負數教學”與“正數和（與）負數” 搜索期刊文章，經過粗略統計，得到2011年以后有關“‘正數和負數教學”的期刊文章一共101篇（其中關于“初中階段‘正數和負數教學”的文章僅有17篇）。仔細閱讀這些文章，不難發現，這一主題的教學在小學與初中階段沒有明顯的區分，對學生的認知要求幾乎沒有差異：不少初中階段“正數和負數”的教學花費大量時間在“負數的表示與讀寫”上，而這本該是小學階段完成的教學任務。另有一些初中階段“正數和負數”的教學，為了增加內容的深度與廣度，而將“有理數的分類”“數軸的表示”等后續知識前置。可見，文獻研究與現實觀課中存在的現象具有高度的一致性。

造成這一現象的根源在于，教師對初中“正數和負數”教學的認知定位有偏差，不能從知識本質和知識體系的角度深度解析教學內容并創造性地重構教材內容。

二、“升”在何處：初中“正數和負數”教學的認知定位

在小學階段負數概念教學的基礎上，初中“正數和負數”的教學應該如何進行合理的認知定位，從而真正體現課程內容編排的“螺旋上升”理論？

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）中，第二學段與第三學段的“課程目標”與“課程內容”均涉及負數概念，但不同學段對學生學習有不同的要求。第二學段的“知識技能”目標要求為“了解負數的意義”，內容要求為“在熟悉的生活情境中，了解負數的意義，會用負數表示日常生活中的一些量”;而第三學段的“知識技能”目標要求為“理解有理數”，內容要求為“理解有理數的意義，能用數軸上的點表示有理數，能比較有理數的大小”。

可見，《課標》在小學階段對負數概念的能力要求較低，主要要求學生能在日常生活中利用負數表示具有實際（相反）意義的量，并能在生活情境中正確地寫和讀出負數，而不需要深層次地剖析負數的實質與數學意義;在初中階段對負數概念的能力要求明顯提升，不再限定于生活情境中的負數，而更關注負數的實質與數學意義。兩個學段要求的逐級遞增充分體現了課程內容編排的“螺旋上升”特點。

事實上，從數系發展的歷史看，人們接受負數并不容易，認識負數也有一個不斷深入的過程。以“得到的錢數是正數，失去的錢數是負數”為例，拒絕接受負數的人會認為失去的錢數在實體對應原則下仍然是一個正數。而數學家們普遍承認負數主要是基于算法的合理性（加減法運算的封閉性）——算法的合理性也是其他一些“新數”獲得承認的主要原因。

因此，在小學階段，強調負數在生活情境中的意義（作用），將負數的教學置于多樣化的生活情境中，這樣的教學要求其實是基于小學生認知特點和學習興趣的考慮。而在中學階段，若仍停留在正數和負數的實際意義與符號表示的討論上，那便成了小學階段教學內容的回顧，教學價值將大打折扣。結合課標要求的差異以及歷史發展的過程，初中階段“正數和負數”的教學，不應該停留于描述性定義的表述形式，而應該進一步形成正數和負數的抽象化定義，并將其置于整個“有理數”知識體系中，將正負符號與加減符號進行有意義的關聯，讓負數對保持加減法運算封閉性的重要意義得到凸顯，為后面有理數運算的教學做好鋪墊。

綜上，可對小學階段負數概念教學和初中階段“正數和負數”的教學作出如下不同的認知定位：

【小學階段】

（1）知道負數的存在，了解正數和負數在實際生活中的意義，即能夠表示具有相反意義的量;

（2）了解正數和負數的描述性定義及表示方法，會讀會寫，能夠在生活中恰當地使用正數和負數來表示具有相反意義的量。

【初中階段】

（1）明晰正負符號與加減符號的聯系，理解正數和負數的抽象化定義;

（2）理解負數存在的豐富意義，即除了與正數一起表示具有相反意義的量之外，另一個重要的意義是滿足數系對加減法運算的封閉性，使數系得以擴充。

三、怎樣去“升”：初中“正數和負數”教學的活動設計

如何在初中階段“正數和負數”的教學中達成上述認知定位？下面分別針對“明晰正負符號與加減符號的聯系”以及“理解負數的出現滿足了數系對加減法運算的封閉性”進行活動設計。

（一）正負符號與加減符號的聯系

在小學階段“正數和負數”的認知基礎上，教師引導學生進一步認識生活中各種類型的正數和負數，接著引導思考：為什么正數和負數前面的“+”和“-”與加減運算中的“+”和“-”是同樣的符號，但讀法不同？它們之間有什么內在的聯系？然后提出如下情境問題（活動任務）：

假設湖的水面位置為0，湖中有一直立的桿子。

（1）桿子的頂部比水面高2米，如何用算式表達桿子頂部離水面的高度？請寫出算式及計算結果。

（2）桿子的底部比水面低4米，如何用算式表達桿子底部離水面的高度？請寫出算式及計算結果。

學生不難得出第（1）問的算式為“0+2”，第（2）問的算式為“0-4”。對于“0+2”，學生能夠根據小學知識順利得出結果2，但是，對于“0-4”，學生難以得出結果。這時，教師可以追問：根據正數2可以寫成“+2”的知識，可得0+2=+2，你能依據小學學過的0的意義解釋這個算式的結果嗎？學生能夠解釋：依據0表示“沒有”，可得結果就是+2。這時，教師可以進一步說明：既然0表示“沒有”，那就相當于擦除左式中的0得到右式的結果;同是“+”，在左邊是運算，念“加”，在右邊是數值符號，念“正”。有了這個認知基礎，教師可以再次追問：類比0+2=+2中對0的處理，你可以得出0-4的結果并作出解釋嗎？由此，學生能夠明白：加減符號與正負符號雖然讀法和性質不同，但是意義是緊密關聯的，而且數值前的“+”表示比0多，“-”表示比0少;上面兩個算式中，右邊的結果可以看作左邊的式子隱去“0”而得到的數值。借此，可以引入正數和負數的抽象化定義：大于0的數是正數，小于0的數是負數;0既不是正數，也不是負數。

這一教學活動不僅能讓學生經歷從具象到抽象的數學理解過程，有效地落實數學抽象和邏輯推理素養的培養，而且能讓學生真正理解正數和負數前面的正號和負號的含義，為后面有理數運算中兩個符號“身份”的靈活轉換奠定基礎。

（二）負數的出現滿足了數系對加減法運算的封閉性

在上述活動的基礎上，教師利用“幾何畫板”軟件模擬圓柱形儲水器水面上升或下降的過程，組織實驗探究：

制作兩個形狀和大小一樣的圓柱形儲水器，加入等量的水。將兩個儲水器的水面位置做上記號并規定為0，將水面上升記為正，將水面下降記為負。

（1）在一個儲水器中，先加水讓水面升高3個單位，再取水讓水面下降2個單位，問：水面的高度變化如何用算式表示？觀察得到的結果是什么？

（2）在另一個儲水器中，先加水讓水面升高2個單位，再取水讓水面下降3個單位，問：水面的高度變化如何用算式表示？觀察得到的結果是什么？

組織這個實驗探究的目的不是教學有理數的加法和減法法則，而是借助“幾何畫板”軟件的形象演示，讓學生通過直觀感知和類比推理發現負數的出現使小數減大數成為可能。學生根據要求和操作可以分別得出算式“0+3-2”和“0+2-3”，依據之前活動的認知和經驗，隱去“0”后即得算式“3-2”和“2-3”，根據觀察的結果可以得出“3-2=+1”和“2-3=-1”。這有效解決了在正數體系中無法解決的小數減大數問題，自然引出了負數在數系發展中的重大作用：保持加減法運算的封閉性。由此幫助學生進一步理解負數引入的必要性，即解決數學問題的內部需要。

教師可以借機普及負數發展的歷史：“中國是最早認識和使用負數的國家。早在兩千多年前，中國就有了負數的概念;三國時期的學者劉徽對建立負數的概念有重大的貢獻。而在很大程度上，西方數學家直到17世紀才真正接受負數的概念，并最終建立了負數理論。”

四、結束語

隨著基礎教育改革的不斷深化，遵循學生認知規律的“螺旋上升”課程設計理念已經得到教育工作者的廣泛認同。在這一理念的指導下，中小學數學教材的編排采用“分步到位，螺旋上升”方式，使相同主題的內容在不同的學段中多次出現，讓學生分步完成知識學習的深化。故而，準確定位同一主題內容在不同學段的認知要求并設計相應的活動任務，是真正實現“螺旋上升”理念的關鍵。為此，教師需要不斷豐富自己的“內容和課程知識”，立足課程標準，深度解析教材，挖掘相關數學知識發展的教育價值。

參考文獻：

[1] 陸玲，黃芳.“負數的初步認識”教材解讀與教學建議[J].小學數學教育，2017（7/8）.

[2] 陳金紅.初中數學教材解讀兩例[J].教育研究與評論（中學教育教學），2021（3）.

[3] 張奠宙，張廣祥.中學代數研究[M].北京：高等教育出版社，2006.

[4] 曾榮.螺旋式上升背景下教學內容呈現方式的研究——基于蘇教版高中數學教材必修1、必修4函數圖像變換編寫的比較[J].教學與管理，2012（22）.

[5] 孔凡哲.基礎教育新課程中“螺旋式上升”的課程設計和教材編排問題探究[J].教育研究，2007（5）.

[6] D.L.Ball， M.H.Thames， G.Phelps.Content knowledge for teaching：What makes it special？ ＼[J＼].Journal of Teacher Education，2008（5）.

*本文系國家社科基金教育學一般項目“40年我國數學教育課堂變革的中國經驗研究（1978—2018）”（編號：BHA180134）的階段性研究成果。