關聯速度和關聯加速度的深度分析與教學建議

黃基松

摘要：通過繩、桿連接的兩個物體之間的速度關聯性是高中物理的一個教學難點。筆者將從數學的求導角度和速度瞬心法對速度和加速度關聯問題進行分析，并且根據分析結果給出不同的教學方法和策略;同時，對于關聯加速度提供了特殊狀態下的例題供教學參考。

關鍵詞：關聯速度? 關聯加速度? 數學求導? 速度瞬心

在高中物理運動的合成與分解的教學實踐中，關于連接體之間速度關聯問題，一直是個難點。好在已經有很多老師在教學實踐中對其進行了思考和總結。那么連接體間的速度到底滿足什么樣的數學關系？它的物理本質是什么？端點間的加速度沿著繩和桿方向的關系是怎樣的，對我們的日常教學中有什么樣的啟發呢？筆者將一一提出自己的觀點。

一、速度關聯的介紹和教學現狀

例題：如圖1所示，在不同高度的兩個水平面上分別放著物體甲和乙，且甲、乙兩個物體間用一根不可伸長的輕繩連接。當繩子與水平方向成夾角為θ時，物體甲的速度v甲與物體乙的速度v乙滿足什么關系呢？

在圖1中，兩個物體的速度v甲和v乙分別代表著繩的兩個端點的速度。這兩個物體通過一根繩子相關聯，可以通過速度關系式，由一個物體（端點）的速度求另一個物體（端點）的速度，這兩個端點的速度關系，就是所謂運動物體的關聯速度問題。

但是在高中物理教學中關于兩者速度之間的關系有兩種表達方式：一種認為兩個物體的速度關系滿足v乙=v甲sinθ（如圖2），給出的理由是繩端的速度在乙物體處可以沿著水平方向和豎直方向進行分解，水平方向的分速度等于乙物體的真實速度。另一種觀點認為物體甲和物體乙的速度滿足v甲=v乙sinθ（如圖3），給出的理由是沿著輕繩方向的速度是相等的，否則繩子要么被拉長（不符合高中物理對輕繩的定義），要么被拉斷，要么處于松弛狀態（則兩個端點就是孤立的，失去了關聯）。

那么到底輕繩端點的速度會滿足什么關系呢？人教版高中物理教材也沒有相關的介紹，近些年的高考也很少考查這個知識點。因為這類問題實際上是剛體的平面運動問題。由于高中物理課程標準的限制，因此對于剛體問題討論較少，但是不少輔導教材卻出現了類似的題目，也有的老師對速度關系做了簡單的介紹，可是對于加速度關系的介紹幾乎沒有。本文我們將從數學解析法和剛體運動速度瞬心法來討論端點的速度關系，也從解析法和速度瞬心法來進一步討論端點加速度的關系。

二、關聯速度推導

（一）數學推導

可以將滑輪和滑輪在水平面的投影及物體乙的位置構建成一個三角形△OAB，如圖4，AB的長度為h（為兩個水平面的高度差且為固定值），BO的長度為L，AO的長度為x，在△OAB中，邊長關系滿足x=Lsinθ，此關系式中的x變化則L和角度θ也都跟著變化，所以此關系式對時間進行偏微分得到：dxdt=dLdtsinθ+Lcosθdθdt，式中dLdt=vL為繩端A點沿AO方向的速度，dθdt=w繩AO繞A點轉動的角速度;dxdt=vx為繩端O點沿BO方向的速度，所以得到vx=vLsinθ+Lwcosθ，從表達式和圖5可以看出O點的速度vx除了有沿AO方向的分速度vL，還有切線方向的分速度Lw，所以由幾何關系可得：vL=vxsinθ。

（二）速度瞬心法推導

關于關聯速度實際可以看作平面剛體的運動，利用速度瞬心法解決問題，在瞬間時可把它們看作剛體處理時，如圖6所示，O′為剛體的瞬時轉動中心，O′A=L1和OO′=L2為A點和O點繞O′點轉動的瞬時半徑，具有相同的角速度w，且w=vLL1=vxL2，sinθ=L1L2;所以也是：vL=vxsinθ。

其實，除了解析法和速度瞬心法，還有速度投影法，即輕桿或輕繩的端點的速度沿著輕桿和繩的方向的速度投影是相等的，如果不相等，要么輕桿和輕繩被拉斷，要么輕桿被擠壓變形，輕繩處于松弛狀態，兩個端點也就各自孤立，即vLcos0°=vxsinθ也能得到vL=vxsinθ。

（三）關聯速度的教學建議

由于高一年級的學生還沒有學習數學的求導知識，不會運用偏微分。但是這樣的知識卻在曲線運動的教學中出現了，怎樣講解才能讓學生理解這樣的速度關系呢？在具體教學中，我提供兩種方案。

方案一：如圖7所示，物體乙先繞A點轉動到物體的虛線位置Q，再沿著輕繩AQ的方向運動到水平位置S處。

方案二：如圖8所示，可以認為物體乙先沿繩的方向運動到虛線位置R，再繞A點轉動到右邊水平位置S處。

由于高中學生沒有接受剛體知識的教育，因此讓他們用速度瞬心法尋找關聯速度的關系是比較困難的，但是對理解能力強一點的學生，可以讓他們利用速度投影定理尋找關系，學生會更容易接受。

三、端點加速度關系的推導

那么兩個端點A、O的加速度又有什么關系呢？這在高中物理中討論得很少，在相關的教學論文中也是鮮有提及的。接下來我們也將從解析法和加速度瞬心方面進行討論。

（一）數學求導

如圖5，對關系式vL=vxsinθ的兩邊分別對時間進行求導：dvLdt=dvxdtsinθ+wvxcosθ：式中dvLdt=aL端點A沿AO方向加速度，dvxdt=ax端點O沿BO方向加速度，又因為vx=hwcos2θ，從而得到兩個繩端點沿著切線方向的加速度關系：aL=axsinθ+v2xcos3θh。

（二）加速度瞬心法

由于AO可看作是剛體，當剛體運動到如圖9所示的位置時，端點O點的速度Vx方向沿著BO方向，端點A的速度VL方向沿著AO方向。過A點和O點分別作AO方向和BO方向的垂線，兩垂線的交點為O′，即為剛體AO的運動瞬心，圖中L1和L2則分別為A點和O點繞著O′轉動的瞬時半徑。兩點沿著各自的瞬時半徑方向的瞬時加速度叫作法向加速度分別為aLn=v2LL1和axn=v2xL2;A點和O點的切向加速度分別為：aLτ和axτ。由于法向加速度沿著A方向的分量產生的相對加速度和切向相對加速度是相等的，即：aLτ-axτsinθ=aLncos90°-（l-axncosθ）;由圖中的幾何關系可知：L2cos2θ=Lcosθ=h;整理可得：aLτ=axτsinθ+axncosθ;aLτ=axτsinθ+v2xcos3θh此式中aLτ與解析法中aL是等價的，axτ與ax也是等價的，至此可以發現利用速度瞬心法也可以求出兩個端點沿著速度方向的加速度關系。下面就運用速度關系式vL=vxsinθ來討論加速度的關系。