理論力學中二力桿的教學探討

◇安徽理工大學力學與光電物理學院 盧小雨 董春亮

二力桿為靜力學中的常見構件之一，受力比較簡單，但仍有一些學生對其認識不足，常把它兩端的約束力想當然的畫成正交力。本文首先從約束性質、平衡等方面證明二力構件的約束力必然沿著受力兩點的連線方向；然后利用一個具體算例分析桿件自重對約束力大小及其合力方向的影響，計算結果表明當桿件自重不超過外荷載的10%，才可以忽略其自重而按二力桿進行分析。

1 引言

二力桿即為忽略自重的情況下，受到兩個力作用而平衡的構件[1]，如果構件是直桿則稱其為二力桿，也可以稱為二力構件或者連桿。二力構件的受力特點是：這兩個力大小相等、方向相反且沿著這兩個力作用點的連線方向[2]。二力桿常見于輸線塔、屋架等桁架結構之中，見圖1。二力構件是理論力學中最簡單的受力構件，它的定義也是非常的簡單、明確，但是仍然有好多學生一做就錯[3，4]。下面就從幾個方面來證明二力構件的作用力必須沿著兩個力作用點的方向。

圖1 工程實例

2 二力桿受力方向的推導

首先，從約束性質方面來看，二力構件約束與柔性體約束不同，它不是單面約束，桿件兩端的約束一般均為光滑圓柱鉸鏈。以圖2（a）為例，它所能約束的位移是沿兩作用點連線方向的徑向位移，切向位移不受限制，見圖2（b），因此其約束力也必定是沿兩作用點連線方向（見圖2（c）），根據二力平衡公理可知，這兩個力應大小相等、方向相反。

圖2 二力桿舉例

其次，從二力平衡公理來看，對于圖3（a）所示的結構，不考慮重力，對BC桿受力分析，B處為固定鉸鏈支座，C處為中間鉸鏈，則B、C兩處均為光滑圓柱鉸鏈，因此它們的約束力均為任意方向的集中力（見圖3（b）），而根據二力平衡公理，這兩個力必須大小相等、方向相反且沿著兩點的連線方向（見圖3（c））。

圖3 二力桿舉例

圖4 正交力

3 探討重量對二力桿的影響

桿件一般都有一定的重量，因此下面通過一個例子來探討桿件重量對二力桿受力方向的影響，以圖5（a）為例，結構的整體受力圖和CD桿受力圖如圖5（b）和圖5（c）所示。

圖5 考慮構件的重量

由圖6可知，CD桿C點合力FC與 水平方向的夾角θ隨著桿件重量增加而幾乎線性增大；當W=0時，也就是不考慮重量影響時，夾角θ0=36.87°；當W=15kN（為外荷載的十分之一）時，合力夾角約增加0.7°；當W=22kN時，合力夾角約增加1°；當W=50kN（為外荷載的三分之一）時，合力夾角約增加2°；當W=75kN（為外荷載的二分之一）時，合力夾角約增加3°。

圖6 夾角θ與桿件重量之間的關系

考慮到工程中不同的結構形式，可以認為當桿件自重不超外荷載的10%時，可以忽略桿件的重量將其看成二力桿，約束反力大小和合力角度的精度都滿足工程要求。

4 結語

綜上，本文從多個方面證明了二力構件的受力特點，即二力構件的約束力必然沿著其兩點的連線方向，且大小相等、方向相反。通過一個實例計算發現：桿件自重對約束力大小及合力方向有一定的影響，合力方向隨著桿件重量增加而逐漸偏離桿件受力點連線方向，計算結果表明當桿件自重不超外荷載的10%時，約束反力大小和合力角度的精度都滿足工程要求。這有利于學生加深理解二力構件的受力特點，也有助于學生對靜力學一些內容融會貫通，提高理論力學課程的教學效果。