數學史與中學平面解析幾何教學的融合

梅雨 白玉梅

摘 要：現如今在數學教學中數學史的教育價值越來越受到重視，在教學過程中將數學史與數學教育的融合可以說是教育新形勢的順應產物，也是必然的趨勢。在《普通高中數學課程標準（2017年版）》中也強調了教師應該由注重學生能力的發展轉變為注重學生核心素養的培養，而學科的歷史知識是學科素養的必要組成部分，可見將數學史知識融入數學教學的重要性。本文結合中學解析幾何的教學，從引入情境、引起興趣;幫助學生掌握概念、法則和定理;引經據典、以史為鑒;傳遞數學思想和方法;培養數學審美五個方面，探討數學史與中學平面解析幾何教學的融合，也從側面表明了數學史在數學教學中的意義所在。

關鍵詞：數學史;解析幾何史;HPM;解析幾何教學

中圖分類號：G642 ?文獻標識碼：A ?文章編號：1673-260X（2021）07-0097-04

在如今的大數據時代背景下，數學以其精確、抽象、嚴格等特點在科學和經濟生活中越來越顯示出其重要性和無法忽視的地位。數學幾乎滲透于其他任何一門學科當中，作為它們的基石更是最為重要的探索工具，就以相對論的產生和發展來說，就是在數學的助力下不斷進步。正如高斯曾說：“數學是科學的女王”。同時，在社會的發展進程中，數學也總是能為人們解決一些生產生活中的困難。例如糧食產量的預結算問題，關乎全國人民的肚子能否填飽，也正如M-克萊茵說過的那樣，數學能夠對因社會需要而提出的各類問題給予最完美的解決。所以，在全世界大數據化這樣一個時代背景下的數學教育自然也就至關重要，數學教育也要日新月異，跟上時代發展的步伐來適應大環境的變化。因而數學史作為數學文化的有機組成部分漸漸顯現出其重要性，走進許多教育工作者的眼中，進而進入數學課堂中。

教育部2003年頒布的《普通高中數學課程標準（實驗）》中，在數學教材選修系列3中加入了《數學史選講》，并且排在第一位，足見數學史的教育意義。而且我國在新頒布的《普通高中數學課程標準（2017年版）》中新增了學科核心素養、學業質量、課程結構三個重要的部分，并且在其中還著重強調教師應該由注重學生能力的發展轉變為注重學生核心素養的培養。課程目標由原來的“雙基”轉變為“四基”，即數學基礎知識，基本技能，基本思想，基本活動經驗，以及“四能”，即從數學角度發現和提出問題的能力，分析和解決問題的能力。而數學史對學生素質能力的培養，提高學生學科熱情，加深對數學的理解都有相當積極的促進作用，更是提升了學生眼中數學的學科魅力，彰顯了數學這門學科悠久的文化底蘊，讓這門古老的學科散發無限光彩。

正如代欽[1]所言，今天數學教育的所有成果都是古代數學教育的積淀，都是在前人工作的基礎上取得的。數學教育雖然取得了舉世矚目的發展，但這是多少代人艱辛耕耘的結果。中國數學教育亦走過了曲折而坎坷的道路，積累豐富經驗的同時也經歷了深刻的教訓。由此我們可以深刻地領會“由古知今”“以史為鑒”的真正含義。美國Jesse L.M.Wilkins[2]也認為一個人的數學素養的內容應包括：掌握數學中的實用性知識;具備數學推理能力;認識到數學的社會影響和效用;理解數學的現狀和歷史;對數學持有積極的態度。將數學史加入數學課程中正是為了讓學生從歷史的角度來認識數學，理解數學知識和其現實意義。

數學史融入教學具有諸多的優點，汪曉勤[3]已經對教師的價值以及對學生的價值兩方面做出了總結：對教師來說，可以進一步了解數學和數學教學并充實自身教學材料增加教學趣味性，同時幫助教師更加了解學生，從而改進教學;對于學生來說，可以增加學習興趣并幫助思考，同時拓寬知識面并深入了解數學。

如果被忽視自然不利于學生對數學的學習以及數學教育工作更完善的展開，而位居數學教學一線的各位數學教師也都開始關注課堂上數學史知識的滲透。而如何融入，怎樣讓數學史的加入使學生的數學學習達到最理想的效果，也是所有教師一直以來不斷探索的內容之一，以下就數學史融入高中平面解析幾何教學列出幾點作用以供參考。

平面解析幾何是高中重要的內容之一，理科教材是在必修2和選修2-1中，而文科教材在必修2和選修1-1當中，同時平面解析幾何史也是高中數學選修3-1第四講的內容。平面解析幾何史料主要可以包括與其相關的所有：人物事件、數學問題、概念術語、公式定理、數學思想、工具符號，這些都可以融入數學課堂教學中，汪曉勤[4]教授提出了數學史融入教學的五種方式，點綴式、附加式、復制式、順應式、重構式，以由淺入深的不同方式將數學歷史知識應用到教學中，所以根據這四種方式，我們可以將一些數學史內容融入平面解析幾何的教學中，從而對學生的學習起到一定的積極作用。

1 融入數學史 引入情境、引起興趣

以必修2的第二章，平面解析幾何的第一節——直線的傾斜角和斜率為例，就可以結合數學史對直線與圓等內容的討論，幫助學生體會解析幾何的基本思想的同時切入主題。

老師可以結合多媒體中的圖片以及動態模型進行情境導入：“16世紀以來，社會生產力和科學技術以飛速發展，幾何學的發展需要與人文、地理的多方面的發展相適應，例如開普勒研究發現了行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運行，伽利略發現將物體投擲出去的運動軌跡是拋物線，可見這些重大發現都與圓錐曲線有關，而解析幾何則應運而生。解析幾何的鼻祖，笛卡爾透徹地看到代數方法的力量，出于一種對方法論的強烈興趣，他想到了把一切問題變為數學問題，再把一切數學問題變為代數問題進行解決。因此，他把代數應用到了幾何當中，并且引入了“坐標”這一概念，利用“坐標法”，提出方程表示曲線的思想，最終以“坐標”這一媒介實現了幾何問題的代數化，建立了解析幾何。那么，從這節課開始我們學習第二章，解析幾何初步的第一節——直線的傾斜角和斜率。”

這樣的引入非常順暢，多媒體展示的天體運行圖片以及拋物線圖片，一方面利用數學史實引起學生的興趣，另一方面說明數學來源于生活且服務于生活，切合學生的實際，同時對解析幾何的簡單介紹，引導學生對解析幾何產生初步的思考，讓學生也明確了本章的目標，能夠總覽全章。

接下來進入新課——直線的傾斜角和斜率，在學習本章節之前，學生們已經了解了直線方程的斜截式、點斜式以及兩點式等表達式，并且知道了直線的斜截式方程y=ax+b中x的系數a是“直線與x軸所成角”的正切。于是，用傾斜角的正切來定義斜率，成了人們唯一的選擇。據此，我們在教學中主要采用重構式來融入數學史，讓學生在認知上有一個過渡：從直線方程入手，引導學生探索斜率的幾何意義;在此基礎之上，再定義傾斜角與斜率[5]。

2 讓學生掌握概念、法則和定理

教師以為學生重現知識點的概念、公式、定理的發現和演變過程的方式，幫助學生理解新知，同時也能加深學生對各種數學公式和定理的理解和記憶，而前人的探索過程也會讓學生拉近與數學的距離，讓學生們感受到數學是真實的、有溫度的、有靈魂的。

阿波羅尼斯用平面切割圓錐的方法來研究曲線。例如：用垂直于錐軸的平面去截圓錐能夠得到圓;而把平面逐漸的傾斜，則可以得到橢圓;接下來平面傾斜到（當且僅當）與圓錐的一條母線平行時，就得到了拋物線;用平行于圓錐的軸的平面截取，就可以得到雙曲線的一支。這些都是前人孜孜不倦探索的結果，教師可以利用多媒體將這些曲線的發現過程動態展示出來，或者也可以讓學生通過觀摩手動截圓錐，親身來體驗圓錐曲線的形成。還有例如蘇教版數學教材采用了旦德林雙球模型，將其動態演示出來也是同樣的道理。這樣既增加了課堂的趣味性引起學生興趣，同時可以加深學生對不同曲線概念的理解。這里采用的是HPM中的附加式和復制式。

還比如，點到線的距離公式推導過程有很多種，可以從眾多的前人采用的方法中選取一個學生比較容易接受的方法為主線——交點法，采用開放式教學，拋出“交點法”作為橄欖枝后，不再進行提示，讓學生自由探索，主導課堂[6]。這里采用的是HPM中的重構式。

3 引經據典 以史為鑒

數學史融入高中數學解題教學中的各個環節中，讓學生看到所有的數學家在探尋數學真理時所經歷的數不清的困難、挫折，再到他們經過不懈的努力最終迎來勝利的曙光。了解到數學知識的形成過程中種種艱辛是數學史的又一個重要作用——以史育人。在教學過程中，教師要積極主動地倡導學生以史為鑒，形成正確的數學觀，正確認識數學、積極主動地探索問題解決的方法，享受學習過程中的樂趣，培養學生的學習興趣，樹立自信心，形成健全人格[7]。

以史為鑒，其實也是向前人學習，在前人的經驗中吸取經驗或者是教訓，少走彎路，縮短知識的探索時間。又或者是在前人留下的問題中受到啟發，從而將思路引向更深奧的數學海洋，探索、發現更加深刻的學問。笛卡爾認為希臘人留給后人的幾何方法過于抽象和特殊，是“笨拙和不必要的”，他清楚地看到代數方法的無限潛力，出于一種對方法論的強烈興趣，笛卡爾著手把代數應用于幾何中。他引入了“坐標”的概念，利用“坐標法”，提出了方程表示曲線這一思想，最終以“坐標”這一媒介，實現了幾何問題的代數化[8]。

古希臘數學家在研究圓錐曲線各種性質時，提出了“三線軌跡”和“四線軌跡”問題。亞里斯塔歐和歐幾里得都未能完全解決這兩個軌跡問題，后來經過阿波羅尼斯堅持不懈的努力才讓兩種軌跡大白于天下。希臘數學家們又繼續問：五線和五線以上的情形又如何呢（帕普斯問題）？[9]再到后來的笛卡爾、費馬，解析幾何的歷史長河就是在一代又一代人共同的探索中發展、成熟。

4 傳遞數學思想和方法

數學史研究數學概念、數學思想與數學方法的起源與發展，可以毫不夸張地說，數學的歷史就是數學思想方法的發展史[10]。回顧數學史的長河，就可以發現這句話的意義。每一次數學史的變革，每一次偉大的數學發現都伴隨著新的數學概念、數學思想、數學方法的涌現。我們更重要的工作應該是把這些學術成就中所蘊含的數學思想開發性地展示出來，使學生得到這些數學思想的陶冶，從中得到有益的啟迪[11]。

數學思想方法是數學的靈魂，數學思想方法是數學活動實踐經驗的概括，是一種文化傳承和發展[12]。解析幾何包含了許多的數學思想方法。

4.1 化歸思想

化歸思想在解析幾何課程中可以說是隨處可見，比如：在對空間曲面的研究中，像橢球面、拋物面等，利用平行截面法將復雜空間圖形的研究化歸為比較熟悉的平面曲線的研究;對平面與空間有線相關位置的判定轉化為相關的法矢量及方向矢量垂直與否的判定等[13]。

4.2 數形結合思想

解析幾何中包含的數學思想方法之一就是數形結合思想，解析幾何其實就是把幾何問題轉化為代數形式，就是尋求方法去把空間或平面的幾何結構系統進行數量化和代數化，即建立坐標系，使得有序的實數組或實數對與空間或平面的點一一對應[8]，這里面坐標系是作為數形結合的一個橋梁再在此基礎上，建立作為動點軌跡的曲線、曲面的方程，最終實現由數到形的轉化。

4.3 函數與方程思想

列方程和函數式是幾何求解問題的主要策略，而這里面蘊含的主要數學思想便是函數與方程思想。這點從求解曲線方程時所應用的待定系數法，以及點、直線、曲線的方程的表達形式就可以看出。同時，直線、橢圓、雙曲線等的方程式并不是唯一的，可以根據問題的不同情況選取不同的表達式進行解答，從而大大減少了運算量，也節省了時間。

4.4 向量思想

向量法是高中數學的重要內容之一，也是一種典型的數學思想方法，向量在將幾何問題代數化中起著橋梁的作用。通過向量的坐標可以把解析幾何的很多問題數量化，從而將推理轉化成運算，可以起到避免討論、化繁為簡、降低難度等效果。向量坐標的代數運算，開辟了幾何代數化的新路，成為解決解析幾何問題的一把利劍[14]。

4.5 類比思想

圓錐曲線的定義具有一定的相似性，例如橢圓與雙曲線之間，從表達式、交點、漸近線、離心率等這些內容都有一定的相似性，所以它們之間可類比的案例比較多，因此，在教學時可以融會貫通，舉一反三，通過對橢圓的學習過程的回顧，在學生學習下一部分雙曲線的內容時引導學生利用類比等方法進行簡單的推理，從而融會貫通，舉一反三地學習新知。同時，這樣也有利于促進學生自主思考，培養學生的主動性。

5 培養數學審美

數學史證明，審美追求是數學發展的動力之一;數學教育的實踐也證明，審美追求也對學好數學有重要作用[15]。對數學的完美不懈的探索，這種美就是單純不含雜質地對數學之美的追求。縱觀解析幾何的發展歷程，從古希臘數學家提出的三線軌跡和四線軌跡問題，到費馬、笛卡爾的解析幾何，一直到現在為止，解析幾何可以說是代數與幾何的完美統一，解析幾何知識體系也一直在不斷地被數學家們注入新鮮血液。

解析幾何本身是數學的重要組成部分之一，其本身也處處體現著數學之美，解析幾何中的研究對象直線、平面、圓錐曲線、圓錐曲面等等，從它們的代數方程到圖像都給世人展示著數學的對稱美、和諧美。笛卡爾坐標系的提出達成了代數與幾何的統一，同時一條直線或者曲線有不同的表達式，可以根據情況選擇用哪種方程來表達，這也使得解析幾何變得更加容易被學習者理解和學習，這也體現出解析幾何的靈活多變和簡潔美。還有邏輯美、嚴謹美……這些數學知識的固有特性也在解析幾何中都有體現。

最后，以美育人是數學教育又一個內在。數學課程的德育，是指在學習和掌握數學科學知識的過程中，對發展人的道德認知、道德行動、道德態度所具有的教育作用和意義。數學課程不僅傳遞著數學認知信息，同時也發揮著德育和教化的作用。對數學課程的德育進行數學心理學上的分析，有助于更好地發揮數學課程的德育功能[16]，其中數學史更是具有德育價值。數學史是一部愛國主義教育的好教材;數學史處處閃耀辯證唯物主義的光環;數學史教育對學生科學人生觀、價值觀的形成，有著深遠的意義[17]。解析幾何發展的漫漫長路中涌現出了許多優秀的數學家，歐幾里得和他的《幾何原本》、阿波羅尼斯及其《圓錐曲線》、笛卡爾和他的《幾何學》、費馬與他的解析幾何，等等，這些數學大家對數學的炙熱，對目標、對夢想的不懈追求，值得每個人尊重和敬佩。當然，解析幾何史上也有中國濃墨重彩的一筆，公元前十五世紀，已用甲骨文記錄了“規”和“矩”，“規”是用來畫圓的“矩”是用來畫方的。比歐幾里得還早一百多年的墨子給出了圓的定義：“圓，一中同長也”、漢代石刻中有類似直角三角形的圖形;大約在公元前二世紀左右，中國已記載了著名的勾股定理;祖沖之和趙友欽的圓周率計算;我國數學家項名達（1789-1850）用割圓連比例求出橢圓周長[18]，這些也值得每一個學生為中國的解析幾何探究史感到驕傲，受到鼓舞，感受到中華文化的博大精深，感受中華民族文化長河的光輝燦爛。

當今的數學教育強調創新、因材施教，最終目的也是為了學生更“明白”地學習，數學史與數學教育的融合是教育新形勢下的必然結果，而且根據種種反饋可以看出，這種方式確實有利于學生學習數學。解析幾何作為數學的重要分支，學生學好解析幾何當然也是非常有必要的，與數學史的融合可以幫助學生更容易、更主動接收解析幾何知識，也為許多數學教師提供了教學新思路，值得各位數學教師認真思索。

參考文獻：

〔1〕代欽.中國數學教育史（第2版）[M].北京：北京師范大學出版社，2018.

〔2〕Jesse L. M. Wilkins. Special Issue Article： Preparing for the 21st Century： The Status of Quantitative Literacy in the United States[J]. School Science and Mathematics， 2000， 100（08）.

〔3〕汪曉勤.HPM：數學史與數學教育[M].北京：科學出版社，2017.

〔4〕蒲淑萍，汪曉勤.數學史怎樣融入數學教材：以中、法初中數學教材為例[J].課程·教材·教法，2012，32（08）：63-68.

〔5〕楊懿荔.“傾斜角與斜率”：重構數學史，體會合理性[J].教育研究與評論（中學教育教學），2016，32（06）：46-51.

〔6〕楊懿荔.HPM視角下解析幾何的教學——以直線方程、曲線與方程為例[D].上海：華東師范大學，2017.72-78.

〔7〕魯小凡.數學史融入高中數學解題教學意義重大[J].中國教育學刊，2013，34（S3）：88-93.

〔8〕高崇智.芻議平面解析幾何的產生及背后的思想[J].新課程學習（中），2013，8（02）：102-103.

〔9〕汪曉勤.平面解析幾何的產生（四）[J].中學數學教學參考，2008（11）：56-59.

〔10〕燕學敏.數學史融入數學教育的有效途徑與實施建議[J].數學通報，2009，48（8）：22-25.

〔11〕曲建民.談談數學史教學[J].長春大學學報，2006， 16（06）：104-106.

〔12〕吳增生.數學思想方法及其教學策略初探[J].數學教育學報，2014，23（03）：11-15.

〔13〕戴美鳳.數學思想方法在解析幾何教學中的應用[J].寧波大學學報（教育科學版），2001，14（03）：93-95.

〔14〕紀宏偉.向量法在解析幾何問題中的應用[J].數學教學通訊，2012，24（03）：46-47.

〔15〕張楚廷.數學·數學史·數學教育[J].課程·教材·教法，2012，32（06）：54-58.

〔16〕付茁.數學課程中的德育功能初探[J].教育評論，2006，22（02）：66-68.

〔17〕林國耀.數學史的德育價值[J].數學教師，1994， 87（08）：32-33.

〔18〕李中，李偉勛.在大學解析幾何教學中融入思想政治教育的探討[J].科技風，2015，28（20）：197.