平凡見奇生面開，似曾相識(shí)燕歸來

林生

今年高考是新高考的第一年，試題風(fēng)格樸實(shí)無華，背景簡(jiǎn)潔明了，沒有冗繁的文字描述，摒棄了浮夸的命題風(fēng)格，試題很好地落實(shí)了“立德樹人、服務(wù)選才，引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能.?今年的很多題目都獨(dú)具匠心，既體現(xiàn)在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題的創(chuàng)新原則，又格調(diào)清新意境幽，更為重要的是有些題目看起來似曾相識(shí)，但有別于“舊題”，很好實(shí)現(xiàn)了“反題海戰(zhàn)術(shù)和機(jī)械刷題”等功能，更好地培養(yǎng)考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).2021年新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第21題就是這樣的題目：該試題設(shè)計(jì)雖平凡、樸實(shí)，“面孔”是考生最熟悉的題型，考生入手容易且解法看似常規(guī)，但是卻有些“生面”——解幾大題雙曲線重出江湖，這次考查的是雙曲線，雙曲線大題已經(jīng)將近十年高考沒有出現(xiàn)，這雖和八省聯(lián)考模擬卷考查雙曲線高度吻合，但當(dāng)時(shí)八省聯(lián)考模擬卷中以雙曲線大題出現(xiàn)是“出乎意料”的，曾幾何時(shí)，很多人備考時(shí)都振振有詞強(qiáng)調(diào)雙曲線不考大題，平時(shí)我們所用的教輔資料也成功回避了雙曲線大題，沒有想到八省聯(lián)考模擬卷就殺了個(gè)“回馬槍”，令考生黯然神傷.雖前車之鑒后再次出現(xiàn)雙曲線大題考生有了充分準(zhǔn)備，但這也是我們學(xué)生的一個(gè)“軟肋”，這也再次提醒了我們：以后高考備考要以高考評(píng)價(jià)體系為標(biāo)準(zhǔn)，要掌握的知識(shí)必須掌握，不能再像以前備考那樣“規(guī)避”雙曲線，不能像以前備考都注重橢圓和拋物線，而忽略雙曲線相關(guān)知識(shí).同時(shí)我們對(duì)高考試題研究要深度分析：入乎其內(nèi)——尋求解題的思路和突破口，找出最優(yōu)解題思路和方法，接著找出其共性的知識(shí)和通性通法，對(duì)其通法深度挖掘和提煉反思;還要出乎其外——尋求其知識(shí)的“源”與“流，對(duì)此基本類型進(jìn)行變式拓展推廣、舉一反三，開啟思維，縱橫聯(lián)系、觸類旁通，探窺其本質(zhì)，讓考生從題中悟“道”，達(dá)到“一覽眾山小”的境界，從而實(shí)現(xiàn)2022年高考解析幾何的高效備考.下面筆者以2021年新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第21題為載體，通過探求其解法、分析這種類型的實(shí)質(zhì)，打開這類問題的“思維重門”，對(duì)此種圓錐曲線的類型進(jìn)行推廣拓展，讓考生掌握這一類題型的基本方法和技巧，實(shí)現(xiàn)高效備考，探究出2022年高考圓錐曲線的高效備考的一些建議和策略.

一、平凡見奇生面開似曾相識(shí)燕歸來——真題回放

（2021年新高考全國(guó)數(shù)學(xué)Ⅰ卷第21題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F1（-?，0），F(xiàn)2（?，0），點(diǎn)M滿足MF1-MF2=2.?記M的軌跡為C.

（1）求C的方程;

（2）設(shè)點(diǎn)T在直線x=?上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，且TA·TB=TP·TQ，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

【點(diǎn)評(píng)】本題樸實(shí)無華但棉里藏針，陷阱凸顯，簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單，深刻而不深?yuàn)W.?第（1）問考查雙曲線的定義——點(diǎn)的軌跡，考查內(nèi)容常規(guī)、平凡，考題這樣設(shè)置有利于考生思維的展開，給考生一課“定心丸”，同時(shí)也有利于第（2）問的思路展開，有利考生信心的提升，但在這里設(shè)置了一個(gè)“門檻”——考查雙曲線的“一支”，同時(shí)還凸顯“陷阱”——要注意軌跡方程中的取值范圍;第（2）問求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和，本質(zhì)屬于雙曲線的定值問題，但卻將本問設(shè)置成有序開放問題探索的內(nèi)容——求斜率之和.?以“生面”的形式展示，加上該問綜合性運(yùn)算量大，很多考生都會(huì)“望而生畏”，但只要認(rèn)真思考該類問題，還是可以轉(zhuǎn)化為我們熟悉的“面孔”——定值問題，加上本問不同的思維路徑會(huì)出現(xiàn)不同的運(yùn)算量，這更能甄別考查考生的運(yùn)算求解能力，同時(shí)還要求運(yùn)用解析幾何的基本思想方法分析問題和解決問題，考查考生在開放的情景中發(fā)現(xiàn)主要矛盾的能力，讓考生在平平實(shí)實(shí)中考思維、穩(wěn)扎穩(wěn)打中見真功，這十分符合新高考的命題理念.

二、猶抱琵琶半遮面撥迷霧入乎其內(nèi)——解法探幽

1.?眾里尋它千百度，柳暗花明又一村——點(diǎn)開第一重認(rèn)識(shí)：求點(diǎn)軌跡方程

【分析】該題中的第（1）問時(shí)，雖雙曲線對(duì)考生有點(diǎn)“陌生”，但考查點(diǎn)的軌跡方程，這對(duì)考生來說是“老生常談”的問題，回歸雙曲線定義，明確點(diǎn)M滿足MF1-MF2=2，注意到范圍，利用雙曲線的定義可知軌跡C是以點(diǎn)F1、F2為左、右焦點(diǎn)雙曲線的右支，求出a、b的值，即可得出軌跡C的方程，這樣問題便可解決.

解析：因?yàn)镸F1-MF2=20，b>0，），則2a=2，可得a=1，b=?=4，所以軌跡C的方程為x2-?=1（x≥1）.

【點(diǎn)評(píng)】有關(guān)軌跡方程問題的求法，是我們需要掌握的知識(shí)，特別是利用圓錐曲線的定義來求軌跡方程更是我們常用的“手段”，因此我們要熟練掌握求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的常用方法：①直接法;②定義法（特別是橢圓、雙曲線、拋物線等定義）;③幾何法;④相關(guān)點(diǎn)法（代入法），⑤參數(shù)法;⑥交軌法.?其中④?⑤?⑥統(tǒng)稱為間接法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.在探求軌跡方程的過程中，需要注意的是軌跡方程的“完備性”和“純粹性”，因此，在求得軌跡方程之后，要深入思考一下：是否還遺漏了一些點(diǎn);是否還有另外一個(gè)滿足條件的軌跡方程存在;在所求得的軌跡方程中，的取值范圍是否有限制？在上面的第一問就是要注意的范圍，很多考生往往忽略范圍而導(dǎo)致出錯(cuò).?因此我們求點(diǎn)的軌跡方程的時(shí)要首先考慮是否能夠利用圓錐曲線定義來處理，更為重要的是要避免軌跡方程的“陷阱”，把握以上兩點(diǎn)，那么解題可以達(dá)到“柳暗花明又一村”的境界——明確解題方向和切入點(diǎn)，即使較為復(fù)雜類型，我們通過層層突破，問題也會(huì)迎刃而解.

2.?紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行——建立第二重認(rèn)識(shí)：定值探求

【分析】該題中的第（2）問時(shí)，頗有一種“似曾相識(shí)”的味道，要求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和，這個(gè)和一般為“定值”，這樣的問題對(duì)考生來說是很熟悉的問題，由點(diǎn)T在直線x=?上，可設(shè)T（?，n），若過點(diǎn)T的直線的斜率不存在，此時(shí)該直線與曲線C無公共點(diǎn)，因此設(shè)直線AB：y-n=k1（x-?），可直接聯(lián)立雙曲線方程和直線方程，聯(lián)立得y-n=k1（x-?），x2-?=1，（16-k21）x2+（k21-2k1n）x-?k21-n2+k1n-16=0，再利用TA·TB=TP·TQ條件和兩點(diǎn)間距離將TA，TB，TP，TQ分別表示出來，再直接去推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量n，從而求出定值，但會(huì)發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)“障礙”的情況——運(yùn)算量過大，頗有“無可奈何花落去”的感覺，因此無法繼續(xù)往下處理，究其原因主要是由于利用代數(shù)法來解題本來就運(yùn)算量大，考生不懂得利用特殊值來探路，不懂得如何減少解析幾何運(yùn)算量，這與平時(shí)的備考有很大聯(lián)系，缺乏注重運(yùn)算的算理和算法，所以高考命題組設(shè)置該問時(shí)就突出考查考生的運(yùn)算求解能力.?但只要考生運(yùn)算功底扎實(shí)，注重算理，一步一個(gè)腳印，利用代數(shù)的方法是可以解決的：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由前面聯(lián)立方程可得：x1+x2=?，x1x2=?，因此TA=?=

=?=?x1-?TB=

=?=

=?x2-?，所以TA·TB=（1+k21）x1-?x2-?=（1+k21）x1x2-?（x1+x2）+

=?-?（?）+?=?，如果直接算TP·TQ的話，這里運(yùn)算量將會(huì)十分大，這時(shí)要注意算理，字母的替換法則（解析幾何中，有些點(diǎn)、線處于相同位置，計(jì)算過程具有明顯的替換性，將相同的計(jì)算完全略去，這將大大減少運(yùn)算量），用字母替換的法則可得TP·TQ=?，又由TA·TB=TP·TQ可得?=?，即?=?，因?yàn)橹本€AB的與直線PQ不是在同一條直線，所以k1≠k2，所以k1=-k2，因此k1+k2=0函.?其實(shí)在這里計(jì)算時(shí)要注意技巧：算TP·TQ時(shí)直接可根據(jù)TA·TB=?進(jìn)行替換便可以大大降低運(yùn)算，同時(shí)得?=?后，也可以將其通過化簡(jiǎn)為1+?=1+?，因此可得?=?，從而判斷出k1=-k2，即k1+k2=0.?回頭過來看，該問本質(zhì)是探究圓錐曲線的定值問題，但這個(gè)過程中突出對(duì)學(xué)生基本知識(shí)和運(yùn)算能力的考查，綜合來看，今年命題設(shè)置成開放性定值探求問題“別出心裁”，有效地避免了題海戰(zhàn)術(shù)，真正地考查了考生應(yīng)用知識(shí)的能力和學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

解析1：（2）由題意可知（如右圖1），設(shè)T（?，n），若過點(diǎn)T的直線的斜率不存在，此時(shí)該直線與曲線C無公共點(diǎn).

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）設(shè)直線AB：y-n=k1（x-?），

因此聯(lián)立y-n=k1（x-?），x2-?=1，

化簡(jiǎn)可得（16-?）x2+（?-2k1n）x-??-n2+k1n-16=0，當(dāng)16-?≠0時(shí)，可得x1+x2=-?=?，x1x2=?，由兩點(diǎn)間距離可得TA=?=

=?=

x1-?，TB=?=

=?=?x2-?，又由題意知x1≥1，x2≥1，所以TA·TB=（1+?）（x1-?）（x2-?）=（1+?）[x1x2-?（x1+x2）+?]=?-?（?）+?=?，設(shè)PQ：y-n=k2（x-?），同理TP·TQ=?，∵TA·TB=TP·TQ，∴?=?，即1+?=1+?，∴k21-16=k22-16，即k21=k22，∵k1≠k2，∴k1+k2=0，所以直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

【點(diǎn)評(píng)】本題的第（2）問其實(shí)質(zhì)就是圓錐曲線求定值問題，只不過給與它套上“外套”——“存在問題”有序開放（探索求斜率之和問題），這突出考查考生的圓錐曲線定值知識(shí)和運(yùn)算求解能力，這里用雙曲線來考查，無非是提醒我們?cè)谝院髠淇歼^程中?不能“厚此薄彼”——只偏愛于橢圓和拋物線，而是要根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和高考評(píng)價(jià)體系進(jìn)行備考.?往往求定值問題（常見的方法有兩種：①?gòu)奶厥馊胧郑蟪龆ㄖ担僮C明這個(gè)值與變量無關(guān);②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值）是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定定值是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題.?求解時(shí)對(duì)所設(shè)參數(shù)，在計(jì)算中推理最后將參數(shù)消去得出定值.?在這里也可以通過將點(diǎn)T特殊化（點(diǎn)T在x上）來探路，即點(diǎn)T（?，0），由圖可知直線AB與直線PQ關(guān)于x對(duì)稱，由此可知直線AB的斜率與直線PQ的斜率為定值0，通過這樣特殊“探路”，問題就迎難而解了.?在上面的解法中，我們通過設(shè)直線AB的方程為y-n=k1（x-?）來聯(lián)立方程，同樣我們可否將直線設(shè)成y=k1x+b1的形式呢？答案是可以的，只不過多了一個(gè)參數(shù)b1，但“殊途同歸”，消參后的結(jié)構(gòu)形式一樣（已知點(diǎn)T（?，n）一般采取用點(diǎn)斜式來設(shè)直線方程），在這個(gè)過程中要求考生利用直線與雙曲線的位置關(guān)系，一步一個(gè)腳印運(yùn)算，尋找探求TA，TB，TP，TQ它們的長(zhǎng)度，在這個(gè)過程中緊扣這些方向和目標(biāo)，按圖索驥，注重算理和技巧——字母替換的作用，實(shí)現(xiàn)很好地減少運(yùn)算量，最終突破解析幾何運(yùn)算的“障礙”.

3.?問渠那得清如許，為有源頭活水來——解法的優(yōu)化

【分析】通過上面解法的分析，可以發(fā)現(xiàn)上面解法中利用韋達(dá)定理代進(jìn)去計(jì)算TA·TB比較繁瑣，那我們能否“另辟蹊徑”，能否找到更為“簡(jiǎn)捷”的計(jì)算方法？我們?cè)賮矸治鲞@個(gè)過程：TA·TB=（1+k21）（x1-?）（x2-?）=（1+k21）[x1x2-?（x1+x2）+?]=?-?（?）+?=?，主要是由于這里直接代進(jìn)去，利用韋達(dá)定理增加了計(jì)算量，我們注意到TA·TB=（1+k21）（x1-?）（x2-?）的結(jié)構(gòu)，如果要避免直接用韋達(dá)定理，我們可考慮利用雙根賦值法（在解析幾何中，若直線與曲線相交于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），遇到求（x1-x2）2或（x1+t）（x2+t）的值，傳統(tǒng)的方法是展開整理后再利用韋達(dá)定理求解，但該法迂回曲折，計(jì)算量大，可利用恒等式，整體代入，避開韋達(dá)定理，直接求解.?即：若x1，x2是一元二次方程f（x）=Ax2+Bx+C=0（A≠0）的兩個(gè)根，則：①x1x2=?f（0）;②（x1-x2）2=?;③（x1+t）（x2+t）=?f（-t）.?證明過程略），直接令x=?-?，可得TA·TB=（1+?）（x1-?）（x2-?）=?，后面的解法同解析1.?同樣我們要想在計(jì)算TA·TB“規(guī)避”韋達(dá)定理，我們對(duì)TA·TB=（1+k21）（x1-?）（x2-?）這個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，可考慮對(duì)其進(jìn)行部分構(gòu)造，即將（x1-?）（x2-?）看作是（x-?）的一元二次方程的兩根之積，因此可聯(lián)立直線AB和C，即將曲線C化為：（x-?）2+（x-?）+?-?=1，再聯(lián)立直線AB方程與曲線C，化簡(jiǎn)整理可得：（1-?）（x-?）2+（1-?）（x-?）-?=0，所以（x1-?）（x2-?）=?，后面的解法同解析1.?從上面的分析可知，主要是通過對(duì)TA·TB=（1+k21）（x1-?）（x2-?）的結(jié)構(gòu)進(jìn)行算理的簡(jiǎn)化，達(dá)到減少運(yùn)算量的目的.?除此之外，我們還可以找到更為“簡(jiǎn)潔”的方法，嗎？考慮到TA·TB的形式，聯(lián)想到直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義和韋達(dá)定理，可考慮借助直線參數(shù)方程來達(dá)到減少運(yùn)算量的目的，AB是直線與曲線C的交點(diǎn)，將直線AB的參數(shù)方程表示為x=?+t?cos??，y=n+t?sin??（t為參數(shù)），?為直線AB的傾斜角，將直線代入雙曲線方程整理可得（cos2?-?）t2+（cos??-?）t-?-?=0，直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)方程有兩根t1，t2，則根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義可知TA·TB=t1·t2=t1t2=?=?，同理可得TPTQ=?，其中?為直線PQ的傾斜角，由TA·TB=TP·TQ可得?=?，因此可得sin?2??-16?cos2??=sin?2??-16?cos2??，即cos2??=cos2??.?又?≠??，所以可得cos??=-cos??，即?+??=?，tan??=-tan??，所以tan??+tan??=0，所以直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.?由此可見利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可減少運(yùn)算量

解析2：（2）由題意可知，設(shè)T（?，n），若過點(diǎn)T的直線的斜率不存在，此時(shí)該直線與曲線C無公共點(diǎn).?設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)直線AB：y-n=k1（x-?），

因此聯(lián)立y-n=k1（x-?），x2-?=1，化簡(jiǎn)可得（16-k21）x2+（k21-2k1n）x-?k21-n2+k1n-16=0，而x1，x2是方程的根，當(dāng)16-k21≠0時(shí)，可得（16-k21）x2+（k21-2k1n）x-?k21-n2+k1n-16=（16-k21）（x-x1）（x-x2），令x=-?，可得?（16-k21）+?（k21-2k1n）-?k21-n2+k1n-16=（16-k21）（?-x1）（?-x2），化簡(jiǎn)得4-?+?-k1n-?k21-n2+k1n-16=-n2-12=（16-k21）（?-x1）（?-x2），所以（?-x1）（?-x2）=?，由兩點(diǎn)間距離可得

TA=?=?=?=?x1-?，TB=

=?=

=?x2-?.?又由題意知x1≥1，x2≥1，所以TA·TB=（1+k21）（x1-?）（x2-?）=?，設(shè)PQ：y-n=k2（x-?），同理TP·TQ=?，∵TA·TB=TP·TQ，∴?=?，即1+?=1+?，∴?-16=?-16，即k21=k22，∵k1≠k2，∴k1+k2=0，所以直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

解析3：?（2）由題意可知，設(shè)T（?，n），若過點(diǎn)T的直線的斜率不存在，此時(shí)該直線與曲線C無公共點(diǎn).?設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)直線AB：y-n=k1（x-?），由兩點(diǎn)間距離可得

TA=?=?=?x1-?，

TB=?=?=?x2-?.?又由題意知x1≥1，x2≥1，所以TA·TB=（1+k21）（x1-?）（x2-?），將雙曲線C：x2-?=1化為：（x-?）2+（x-?）+?-?=1，再聯(lián)立方程y-n=k1（x-?），（x-?）2+（x-?）+?-?=1，化簡(jiǎn)整理可得：（1-?）（x-?）2+（1-?）（x-?）-?=0，將（x1-?）（x2-?）看作是（x-?）的一元二次方程的兩根之積，所以（x1-?）（x2-?）=?=?，設(shè)PQ：y-n=k2（x-?），同理TP·TQ=?，∵TA·TB=TP·TQ，∴?=?，即1+?=1+?，∴k21-16=k22-16，即k21=k22，∵k1≠k2，∴k1+k2=0，所以直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

解析4：（2）由題意可知，設(shè)T（?，n），直線AB的傾斜角為?，則直線AB的參數(shù)方程表示為x=?+t?cos??，y=n+t?sin??（t為參數(shù)），代入曲線x2-?=1可得（?+t?cos??）2-?=1，化簡(jiǎn)整理得（cos?2?-?）t2+（cos??-?）t-?-?=0，因此TA·TB=t1·t2=t1t2=?=?，設(shè)其中直線PQ的傾斜角為?，直線PQ的參數(shù)方程表示為x=?+t?cos??，y=n+t?sin??（t為參數(shù)），且?≠??，同理可得TP·TQ=?，由TA·TB=TP·TQ得?=?，因此得sin2??-16?cos2??=sin2???-16?cos2??，即cos2??=cos2??.?又?≠?，所以得cos??=-cos??，即?+??=?，tan??=-tan??，所以tan??+tan???=0，所以直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

【點(diǎn)評(píng)】上面的三種解法本質(zhì)上是對(duì)減少聯(lián)立直線與雙曲線后的計(jì)算量，主要通過利用直線的參數(shù)方程或?qū)Α耙?guī)避”直接利用韋達(dá)定理，通過對(duì)結(jié)構(gòu)TA·TB=（1+k21）（x1-?）（x2-?）進(jìn)行整體轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到減少運(yùn)算量的目的.?其實(shí)我們還可以利用向量的辦法（將TA·TB=TP·TQ轉(zhuǎn)化為?·??=?·??來處理，之后類似于解析3的解法）來達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的技巧，同樣在這里也可以利用二次曲線系數(shù)法（由TA·TB=TP·TQ得到割線A，B，P，Q四點(diǎn)共圓，從而得到k1+k2=0這個(gè)結(jié)論，解法過程略），這兩個(gè)解法思路雖然清晰，但也需要掌握相關(guān)知識(shí)和扎實(shí)的功底才能使用，但不管怎樣，掌握常規(guī)題型的通性通法，這才是高效備考的“上上之策”.

三、千淘萬漉雖辛苦??吹盡黃沙始到金——?jiǎng)e有洞天

通過上面的分析可知，我們要不斷進(jìn)行解法的優(yōu)化，尋求最優(yōu)“捷徑”，但我們對(duì)此的研究不能只限于表面，要“執(zhí)果索因、追本溯源”，尋找其“源”和“流”，將會(huì)發(fā)現(xiàn)另外一個(gè)“天地”——?jiǎng)e有洞天，正如美國(guó)數(shù)學(xué)家波利亞所說：“好問題類似于采蘑菇，采到一個(gè)后還應(yīng)四處看看，也許可以采到更多.”同樣我們研究這道高考題，我們也要善于找“蘑菇”，要學(xué)會(huì)深入探索拓展.?根據(jù)題意，我們進(jìn)一步探究：點(diǎn)T是否一定是要在定直線x=?上，滿足TA·TB=TP·TQ才會(huì)有k1+k2=0？當(dāng)將點(diǎn)T一般化，結(jié)論是否還會(huì)成立？經(jīng)過探究可以發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)T為（a，b）時(shí)，上述結(jié)論也都成立（設(shè)點(diǎn)為T（a，b），直線AB的傾斜角為?，則直線AB的參數(shù)方程表示為x=a+t?cos??，y=b+t?sin??（t為參數(shù)），代入曲線x2-?=1可得（a+t?cos??）2-?=1，化簡(jiǎn)整理得（16cos2??-sin2??）t2+（32??cos??-2b?sin??）t+16a2-b2-16=0.

因此，TA·TB=t1·t2=t1t2=?，設(shè)其中直線PQ的傾斜角為?，同理可得TP·TQ=?，由TA·TB=TP·TQ得?=?，因此得16?cos?2??-?sin2??=16?cos?2??-?sin2??，即cos?2??-?sin2??，又?≠??，所以得cos??=-cos??，即?+??=?，tan??=-tan??，所以tan??+tan??=0，所以直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0）.?由此可見當(dāng)將點(diǎn)T一般化，結(jié)論還會(huì)成立，既然對(duì)雙曲線滿足這個(gè)結(jié)論，那如果類比到橢圓是否成立？答案是肯定的，即已知橢圓方程C：?+?=1（a>b>0），點(diǎn)T（x0，y0）是橢圓外的任意一定點(diǎn)，過T的兩條直線分別交橢圓方程C于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，且TA·TB=TP·TQ，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.?通過探究也可以發(fā)現(xiàn)結(jié)論成立，證明方法和上面的證明“如出一轍”，都是借助直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義來求解.（具體過程如下：?設(shè)直線AB的傾斜角為?，則直線AB的參數(shù)方程表示為x=x0+t?cos??，y=y0+t?sin??（t為參數(shù)），代入橢圓方程?+?=1化簡(jiǎn)整理得（b2?cos2??+a2?sin2??）t2+2（b2x0?cos??+a2?y0?sin??）t+b2x20+a2?y0-a2b2=0，因此TA·TB=t1·t2=t1t2=?=?，設(shè)其中直線PQ的傾斜角為?，同理可得TP·TQ=?=?，由TA·TB=TP·TQ得?=?，即b2?cos2??+a2?sin2??=b2?cos2??+a2?sin2??，化簡(jiǎn)得cos2??=cos2??，所以可得tan??+tan??=0，因此直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.）同樣，經(jīng)過探究可以得：若點(diǎn)T（x0，y0）是橢圓內(nèi)的任意一定點(diǎn)，過T的兩條直線分別交橢圓方程C于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，且滿足TA·TB=TP·TQ，則直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和也為0（證明方法如上，過程略）.?回顧整個(gè)過程，追本溯源探究其問題背景，可發(fā)現(xiàn)這種通性通法源自于人教版教材選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程第38頁例4：如圖2所示AB，CD是中心為點(diǎn)O的橢圓的兩條相交弦，交點(diǎn)為P，兩弦AB，CD與橢圓長(zhǎng)軸的夾角分別為∠1，∠2，且∠1=∠2，

求證：PA·PB=PC·PD.?其實(shí)本題的解法和上面的解法“大同小異”（證明過程略），該例題是一道很好的“題根”，因?yàn)楸纠}的解法具有一般性，立足通性通法，同時(shí)本題還可以進(jìn)一步探究和類比推廣，把橢圓改為雙曲線和拋物線，也有類似的結(jié)論.?同樣探究可發(fā)現(xiàn)∠1=∠2時(shí)，即直線AB和CD的斜率互為相反數(shù)時(shí)，則四點(diǎn)A，B，C，D共圓，可得PA·PB=PC·PD這個(gè)結(jié)論，而當(dāng)四點(diǎn)A，B，C，D共圓，有PA·PB=PC·PD成立時(shí)，也可以得出直線AB和CD的斜率互為相反數(shù).?因此有結(jié)論：若兩條直線與二次曲線ax2+by2+cx+dy+c=0（a≠?b）有四個(gè)交點(diǎn)，則這四個(gè)交點(diǎn)共圓的充要條件時(shí)這兩條直線的傾斜角互補(bǔ).?懂得這個(gè)結(jié)論后，我們就可以利用這一充要條件來“秒殺”圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的數(shù)學(xué)問題.

小試牛刀1.（2011年高考全國(guó)卷21題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C?∶?x2+?=1在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過F且斜率為-?的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足?+?+?=0.?設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q，

證明：A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上.

【分析】此問題證明的思路關(guān)鍵是證明∠APB，∠AQB互補(bǔ).?通過證明這兩個(gè)角的正切值互補(bǔ)即可，其實(shí)解決該類題型和上面的手法“殊途同歸”.

解析：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）直線l?∶?y=-?x+1，聯(lián)立y=-?x+1，x2+?=1，化簡(jiǎn)4x2-2?x-1=0，因此x1+x2=?，x1x2=?-?，所以tan∠APB=?=?=?，同理可得

tan∠APB=?=?=

=?，所以∠APB，∠AQB互補(bǔ)，因此A，P，B，Q四點(diǎn)在同一圓上.

小試牛刀2.?（2016年四川卷文20題）已知橢圓E：?+?=1（a﹥b﹥0）的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P（?，?）在橢圓E上.（1）求橢圓E的方程;（2）設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為?的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：MA·MB=MC·MD.

【分析】這類問題也是屬于四點(diǎn)共圓的問題，只需要證KAB-KCD便可得證明.

解析：（1）橢圓E的方程是?+y2=1（過程略），（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點(diǎn)M（x0，y0），由A、B在橢圓上，所以?+y21=1，?+y22=1，由點(diǎn)差法兩式相減得?=-（y1+y2）（y1-y2），因此可得?=KAB=?=?=?，KCD=?=-?，所以KAB+KCD=0，因此A，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，即MA·MB=MC·MD.

【點(diǎn)評(píng)】本題通過點(diǎn)差法和轉(zhuǎn)化為四點(diǎn)共圓問題，“秒殺”了這兩道高考題，大大減少了運(yùn)算量，達(dá)到“異曲同工”之妙.

四、鴛鴦繡出憑君看，更把金針度與人

通過上面的深度分析與拓展，解決了直線與圓錐曲線中求定值的問題，思維過程經(jīng)歷了“猶抱琵琶半遮面”到“吹盡狂沙始到金”的過程，達(dá)到了“無限風(fēng)光在險(xiǎn)峰”的高度.綜合來看，今年的解析幾何高考題重視基礎(chǔ)，突出對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的考查，這也為我們以后的備考指明了方向：要在加強(qiáng)解析幾何的算理和算法，注重運(yùn)算能力的技巧上，同時(shí)還要注重解析幾何的通性通法，要掌握解析幾何典型題的拓展與延伸，要做到“鴛鴦繡出憑君看，更把金針度與人——找到其‘源與‘流”，把握住備考的“根”——落實(shí)通性通法，我們才可以做到居高臨下覓悟出“備考之道”，因此我們要實(shí)現(xiàn)高考高效備考時(shí)要做好以下方面：

（1）切實(shí)回歸基礎(chǔ)是“正道”，注重通性通法為“上上策”

通過今年的高考題的題目分析可知：注重考查基本的知識(shí)，注重考查通性通法，因此在以后的備考中一定要重視基礎(chǔ)知識(shí)，注重通性通法，但在現(xiàn)實(shí)的教學(xué)和訓(xùn)練中恰恰是大搞“題海”戰(zhàn)術(shù)，盲目加大數(shù)學(xué)訓(xùn)練，往往忽視回歸教材、對(duì)基本的通性通法的訓(xùn)練.?這種舍本逐末的做法導(dǎo)致了很多考生在今年高考吃了大虧，比如今年這道題目，其實(shí)是選自于選修4-4里第38頁的例4的變式.?所謂的回歸教材.?就是平時(shí)要懂得回歸教材，對(duì)課本中的概念、定義、定理、法則、公式必須理解，在理解基礎(chǔ)上記憶;要重視公式的正用、逆用和活用，重視定理的推導(dǎo)，要理清知識(shí)發(fā)生的本原（如公式的推導(dǎo)過程等），還要注意挖掘教學(xué)中的素材，引導(dǎo)考生研究、總結(jié)歸納，對(duì)于圓錐曲線的備考要抓住“三定”（定點(diǎn)、定值、定直線）問題，以聯(lián)立直線與圓錐曲線為“抓手”，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用整體的觀點(diǎn)將相關(guān)知識(shí)有機(jī)地串聯(lián)起來，形成知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系，用結(jié)構(gòu)性的觀念整體把握內(nèi)在聯(lián)系.?總之，在備考中對(duì)于課本的基本概念、知識(shí)等要讓學(xué)生知其然，還要其所以然.?另外復(fù)習(xí)時(shí)考生還要深入研究教材.以教材中的例、習(xí)題為素材，深入淺出、舉一反三、加以推敲、延伸和適當(dāng)變形，在備考中不追求解題中的所謂“特技”，不搞“偏題”、“怪題”.?將最基本的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行提升和鞏固，突出思維能力和運(yùn)算能力，及時(shí)引申拓展、培養(yǎng)歸納能力，這樣考生在高考中才可以達(dá)到融會(huì)貫通、高屋建瓴的境界.

（2）強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，注重算理和算法

對(duì)于解析幾何的大題，有很多題型，選擇入手的解題方法或許也有很多種，但無論何時(shí)都突出考查學(xué)生的運(yùn)算能力，要學(xué)會(huì)甄別解題方法的“優(yōu)劣”.?因此我們?cè)趥淇紩r(shí)，要抓住核心問題——運(yùn)算能力的提升，要時(shí)刻注重強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算，一步一個(gè)腳印，在進(jìn)行計(jì)算的時(shí)候注重算理、算法和技巧，不斷地在解題中滲透強(qiáng)化，長(zhǎng)期不懈地加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的訓(xùn)練，只有這樣，考生才可以提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，不再“畏懼”解析幾何的運(yùn)算，從而達(dá)到高效備考.

總之，我們?cè)趶?fù)習(xí)備考時(shí)要注意尋找知識(shí)的“源”和“流”，不能僅僅停留解決這道題，還要在解題后要多點(diǎn)思考：該題的算法有“優(yōu)化“嗎？這個(gè)問題能夠推廣嗎？改變一下條件如何？改變一下結(jié)論又如何？……要學(xué)會(huì)知其所以然，何由知其所以然，要學(xué)會(huì)在解題中鞏固對(duì)知識(shí)的理解，積累解題經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)化運(yùn)算能力，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，掌握解題策略，形成解題意識(shí)，培養(yǎng)堅(jiān)忍不拔、鍥而不舍的意志品質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)效備考，最終笑傲2022年高考.

【本文系廣東省教育科學(xué)規(guī)劃重點(diǎn)課題——開展區(qū)域交流研訓(xùn)助力教師專業(yè)成長(zhǎng)的實(shí)踐研究（課題號(hào)：2020ZDJK047）和廣東基礎(chǔ)教育教研基地項(xiàng)目的研究成果】

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)