函數(shù)奇偶性問題的解法及題型歸類

曾光

函數(shù)的奇偶性是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，也是高考熱點問題之一.?考查方式可以是小題，也可以綜合其它內(nèi)容在大題里出現(xiàn).?奇偶性是考查學生綜合素養(yǎng)的重要載體，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).?本文將從新高考的角度對奇偶性題型進行解法分析及歸類總結.

一、試題呈現(xiàn)與分析

【2021新高考全國？玉卷13】已知函數(shù)?f（x）=x3（a·2x-2-x）是偶函數(shù)，則a=????????.

【分析】本題主要考查偶函數(shù)的定義：f（-x）=-f（x）.?或者利用函數(shù)奇偶性的運算規(guī)律也可以解決：奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù).

【詳解】方法一（定義）：因為f（x）=x3（a·2x-2-x），f（-x）=-x3（a·2-x-2x），故x3（a·2x-2-x）=-x3（a·2-x-2x），整理得（a-1）（2x+2-x）=0，解得a=1.

方法二（運算規(guī)律）：易知y=x3為奇函數(shù)，由于f（x）=x3（a·2x-2-x）是偶函數(shù)，因此y=a·2x-2-x也為奇函數(shù)，不妨設g（x）=a·2x-2-x，則g（-x）=a·2-x-2x，故有g（-x）=-g（x），-（a·2-x-2x）=a·2x-2-x，整理得（a-1）（2x+2-x）=0，解得a=1.

【小結】1.?奇函數(shù)性質：f（-x）=-f（x），偶函數(shù)性質：f（-x）=f（x），以上性質是解決奇偶性問題的根本，要重視.

2.?奇偶性運算規(guī)律：奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)，偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù).

二、高考奇偶性題型歸類

類型一：考查奇偶性定義

例題1.?函數(shù)f（x）=（x+a）（x-4）為偶函數(shù)，則實數(shù)a=

【解析】本題可以用偶函數(shù)的定義去解決.?同時本題涉及的函數(shù)為二次函數(shù)，同學們對它的圖象較為熟悉，因此也可以用圖像法.

方法一（定義）：因為函數(shù)f（x）=（x+a）（x-4）為偶函數(shù)，所以滿足f（-x）=f（x），由f（x）=（x+a）（x-4）=x2+（a-4）x-4a，f（-x）=x2-（a-4）x-4a，得x2-（a-4）x-4a=x2+（a-4）x-4a，即a-4=0，得到a=4.

方法二（圖像法）：f（x）=（x+a）（x-4）=x2+（a-4）x-4a，由二次函數(shù)知識可知圖像為拋物線，對稱軸為x=-?，要使二次函數(shù)為偶函數(shù)，則對稱軸應為y軸，即x=-?=0，這時得a-4=0，得到a=4.

【小結】若題目涉及的函數(shù)較為熟悉，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等，可以考慮用圖像法，運算量較少.?而對于一般的函數(shù)，則運用奇偶性的定義，因此定義法的應用范圍較廣.

類型二：奇偶性與不等式

例題2.（2020新高考全國？玉卷8）.?若定義在R的奇函數(shù)f（x）在（-∞，0）單調遞減，且f（2）=0，則滿足xf（x-1）≥0的x的取值范圍是（????）

A.[-1，1]∪[3，+∞）? ?????B.[-3，-1]∪[0，1]

C.[-1，0]∪[1，+∞） ?????D.[-1，0]∪[1，3]

【分析】因為f（x）在（-∞，0）在單調遞減，由奇函數(shù)圖像的對稱性可知f（x）在（0，+∞）也單調遞減.?又因為f（2）=0，由奇函數(shù)圖像的對稱性可知f（-2）=0.?然后對x進行分類討論便可得到xf（x-1）≥0的解集.

【詳解】因為定義在R上的奇函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調遞減，且f（2）=0，所以f（x）在（0，+∞）上也是單調遞減，且f（-2）=0.?如圖所示，結合圖像易得：當x∈（-∞，-2）∪（0，2）時，f（x）>0，當x∈（-2，0）∪（2，+∞）時，f（x）<0，且f（0）=0.

所以由xf（x-1）≥0可得：x<0，-2≤x-1≤0或x>0，0≤x-1≤2或x=0，

解得-1≤x≤0或1≤x≤3，

所以滿足xf（x-1）≥0的x的取值范圍是[-1，0]∪[1，3].

【小結】1.?奇偶性問題與不等式結合起來，則常常采用數(shù)形結合的方法去解決，形如xf（x）≥0，把坐標系分成四個象限去考慮，即坐標（x，f（x））的橫坐標和縱坐標的正負.?同時要熟悉奇偶函數(shù)圖像的對稱性特點，奇函數(shù)圖像關于原點對稱，偶函數(shù)圖像關于y軸對稱.

2.?如果奇函數(shù)的定義域包含0的話，必有f（0）=0.

類型三：奇偶性與周期性

例題3（2021全國高考甲卷理12）.?設f（x）函數(shù)的定義域為R，f（x+1）為奇函數(shù)，f（x+2）為偶函數(shù)，當x∈[1，2]時，f（x）=ax2+b.?若f（0）+f（3）=6，則f（?）=（????）

A.?-???B.?-???C.????D.

【分析】通過f（x+1）是奇函數(shù)和f（x+2）是偶函數(shù)這兩個條件，可以確定出函數(shù)解析式f（x）=2x2+2，進而利用條件推出周期性結論，即可得到答案.

【詳解】因為f（x+1）為奇函數(shù)，設g（x）=f（x+1），則g（x）為奇函數(shù)，由奇函數(shù)定義得g（-x）=-g（x），即f（-x+1）=-f（x+1）……?①

同理，f（x+2）為偶函數(shù)，則有f（x+2）=f（-x+2）……②

令x=1，由①得：f（0）=-f（2）=-（4a+b），由②得：f（3）=-f（1）=a+b，

因為g（x）為奇函數(shù)，故g（0）=0，得a+b=0，

又由f（0）+f（3）=6得，-（4a+b）+0=6，由以上兩式解得a=-2，b=2.

通過兩個對稱性可推得，函數(shù)f（x）的周期T=4.?具體過程如下：

因為f（-x+1）=-f（x+1），令x=x-1，?代入得f（-（-x+1）+1）=-f（x-1+1），整理得f（-x+2）=-f（x）.

又因為f（x+2）=f（-x+2），故得f（x+2）=-f（x）……③

令x=x+2，代入③f（x+4）=-f（x+2）得……④

由③④得f（x+4）=f（x），故f（x）的周期T=4.

f（?）=f（?+4）=f（?）=f（-?+1）=f（?+1）=-f（?）=-（-2×（?）2+2）=?.

【小結】1.?本題為奇偶性與周期性綜合問題，難度較大，需要先掌握周期的推理能力.

2.?本題的邏輯推理過程較多，需要有清晰的思路.?要求熟練掌握待定系數(shù)法.

變式1（2021全國高考甲卷文12）.?設f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且f（1+x）=f（-x）.?若f（-?）=?，則f（?）=（????）

A.?-? B.?-? C.?? D.

【分析】本題與上題考查的內(nèi)容基本一致，都是奇偶性與周期性結合的問題，但本題沒有涉及待定系數(shù)，難度較小.?通過f（x）是奇函數(shù)和性質f（1+x）=f（-x）可以推出周期性，進而得到答案.

【詳解】因為f（x）為奇函數(shù)，則有f（-x）=-f（x），又已知f（1+x）=f（-x），因此得f（1+x）=f（x）……①，

令x=x+1，代入①得：f（1+x+1）=-f（x+1），化簡得：f（2+x）=-f（x+1）……②，

由①②得f（2+x）=-f（x+1）=f（x），即f（2+x）=f（x），所以有周期T=2.?故有f（?）=f（-?+2）=f（-?）=?，因此選C.

【小結】對于奇偶性與周期性綜合問題，需要先掌握周期的推理過程.

類型四：奇偶性與函數(shù)圖像

例題4（2021全國高考乙卷理4）.?設函數(shù)f（x）=?，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（????）

A.?f（x-1）-1?B.?f（x-1）+1?C.?f（x+1）-1?D.?f（x+1）+1

【分析】通過四個選項求出對應的表達式，再通過奇函數(shù)的定義驗證可得出答案.?另外還可以對f（x）=?進行變形，然后平移也可得到答案.

【詳解】方法一：對于A，f（x-1）-1=?-2不是奇函數(shù);對于B，f（x-1）+1=?是奇函數(shù);對于C，f（x+1）-1=?-2，定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù);對于D，f（x+1）+1=?，定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù).

方法二：由題意可得f（x）=?，變形得：f（x）=?=?=?-?=?-1.

即f（x）=?-1，接下來對f（x）的圖像（圖2）進行平移，先把圖像往上平移一個單位得到f（x）+1=?-1+1=?，如圖3.?再把圖像往右移一個單位得到f（x-1）+1=?=?，如圖4，易知y=?為奇函數(shù).?因此選B.

【小結】1.?對于奇偶性的定義要熟練掌握：1.?定義域關于原點對稱.?2.?奇函數(shù)有f（-x）=-f（x），偶函數(shù)有f（-x）=f（x）.

2.?本題可以逆回來畫圖像：y=?→?→?-1.

類型五：局部奇偶性函數(shù)問題

例題5.?已知函數(shù)f（x）（x∈R）是奇函數(shù)，g（x）=3f（x）+2.?，若g（-9）=-2.?則?g（9）=????????.

【分析】f（x）是奇函數(shù)，但g（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，看似與奇函數(shù)問題無關.?然而g（x）的表達式的主要部分為3f（x），明顯是一個奇函數(shù)，即g（x）整體不具有奇偶性，局部有奇偶性，這類問題稱為局部奇偶性問題.?對于局部奇函數(shù)的問題，可以利用f（-x）=?-f（x）解決問題.

【詳解】因為f（x）是奇函數(shù)，故有f（-x）=-f（x），g（-9）=3f（-9）+2=-2.

得f（-9）=-?，即-f（9）=-?，所以有f（9）=?.

因此有g（9）=3f（9）+2=3×?+2=6.

【答案】6.

【小結】解決局部奇偶性問題，關鍵在于認清函數(shù)表達式的結構，才能對癥下藥：如3f（x）+2，3f（x）為奇函數(shù)，2為偶函數(shù)（常數(shù)函數(shù)為偶函數(shù)），奇偶數(shù)+偶函數(shù)可以用本題的方法解決.

對于奇偶性常見問題歸結為以上五種類型，對于解決這五種類型的規(guī)律總結如下：

1.?如果奇函數(shù)的定義域包含0的話，必有f（0）=0.

2.?奇偶性運算規(guī)律：奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)，偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù).

3.?奇偶性問題與不等式結合起來，則常常采用數(shù)形結合的方法去解決，因此要熟悉奇偶函數(shù)圖像的對稱性特點，奇函數(shù)圖像關于原點對稱，偶函數(shù)圖像關于y軸對稱.

4.?對于奇偶性與周期性綜合問題，需要先掌握周期的推理過程，得到f（x+T）=f（x），周期則為T.

5.?對于函數(shù)奇偶性的問題，若是常見函數(shù)的話，一般情況下用圖象法會比較直觀快速地解決.

6.?對于局部奇偶性的問題，往往是用不了圖像法的，需要用定義：f（-x）=-f（x）.

同學們可以通過分類練習，梳理解題思路，進一步加深對函數(shù)奇偶性問題的理解，從而提升新高考試題的解題能力！

責任編輯 徐國堅