創新思考 建模突破

彭良才

摘? ?要：解答數學題，是教學活動的一種重要形式，也是實現初中數學教學目標不可缺少的手段。通過解題教學，使學生牢固掌握數學的基礎知識和基本技能，能從根本上提高學生分析和解決問題的能力。有些問題往往可以有不同的解題方式和不同的解題思路，常常能找到非常規的解題方式，這有助于開拓學生的思維深度與廣度。但是非常規解題方法的運用有一定的難度和局限性，應當處理好常規和非常規性的解題關系，開拓學生的數學思維，發展思維的靈活性和創造性，實現學生思維能力的全面提升。

關鍵詞：創新;思考;非常規

中圖分類號：G633.6? ?文獻標識碼：A? ?文章編號：1009-010X（2021）20/23-0115-02

新課標強調學生應學會“數學地思考”，即面對一個問題時，能主動嘗試著從數學的角度，運用所學的知識和方法，建立恰當的數學模型，尋求解決問題的策略。各地中考試卷中的一些“非常規”性題型很好地體現了這一點。這些問題背景清新，非日常教學所及，讓人感覺無從下手。經過一番細致分析、豐富聯想之后，相關數學模型才能浮出水面。

例1.（玉林中考）如圖1所示，點A1、A2、A3、A4是某市正方形道路網的部分交匯點，且它們都位于同一對角線上.某人從點A1出發，規定向右或向下行走，那么到達點A3的走法共有（? ? ）種。

A.4? ?B.6? ?C.8? ?D.10

解析：觀察圖中道路網可見，按題目所述方法（從點A1出發，向右或向下行走）到達每一個交匯點的走法種數，等于按要求到達其左側格點和上方格點的走法種數之和。于是可得圖中數字，每個數字表示行走至該點的走法種數，故到達點A3的走法共有6種.將之推廣，可得類似“楊輝三角”的“數陣”發展規律。

例2.（德城中考）如圖2，有一圓形展廳，在其圓形邊緣上的點A處安裝了一臺監視器，它的監控角度是65°.為了監控整個展廳，最少需在圓形邊緣上共安裝這樣的監視器（? ?）臺.

A.3? ? B.4? ? C.5? ? D.6.

解析：設圓心為O，則圖中圓心角∠O=65°×2=130°，而360÷130=2，則最少需在圓形邊緣上安裝這樣的監視器3臺.

例3.（嵊州中考）將自然數按如圖3所示規律排列，則位于第6行第45列的數是? ? ? ? ? ?.

解析：觀察數陣，在圖3中畫出線，有助于顯示其中的排列規律，可見第1、2、3、…、n個“? ? ”上依次排列了1、3、5、…、2n-1個數，且第奇數個“? ? ”上的數按逆時針方向依次增大，而第偶數個“? ? ”上的數按順時針方向依次增大.

第6行第45列的數在第45個“? ? ”上，前45個“? ? ”總共用去1+3+5+7+9+…+89=（1+89）×=2025個數，則第45（它上面的數按逆時針方向依次增大）個“? ? ”上的最大數為2025（在第1行第45列），往下數6個數應為2020，即位于第6行第45列的數是2020.

例4.（鄂州中考）在高速公路上，從3千米處開始，每隔4千米經過一個限速標志牌，并且從10千米處開始，每隔9千米經過一個速度監控儀，剛好在19千米處第一次同時經過這兩種設施，那么，第二次同時經過這兩種設施是在

（? ?）千米處。

A.36? ? B.37? ? ?C.55? ? ?D.91

解析：設第二次同時經過這兩種設施是在x千米處，則x-19是4和9的最小公倍數，即x=55，選C。

例5.（內江中考）如圖4，小陳從O點出發，前進5米后向右轉20°，再前進5米后又向右轉20°，……，這樣一直走下去，他第一次回到出發點O時一共走了（? ? ）

A.60米? ?B.100米? ?C.90米? ?D.120米

解析：容易發現，這是與“多邊形外角”相關的數學模型，由“任意多邊形的外角和是360°”，可知小陳第一次回到出發點O時，一共轉了360÷20=18個彎，走了18個5米，共90米，選 C.

例6.（撫順中考）觀察圖5（每幅圖中最小的三角形都是全等的），請寫出最小的三角形的個數有? ? ? ? ? ?個.

解析：容易知道，第n個圖中，所有的最小三角形與最大的三角形之間都是相似的;又易發現第n個圖中的最小三角形與最大三角形對應邊長之比為1：2n-1，則第n個圖中最小的三角形的個數為==22n-2（個）.

點評：從具體情境中抽象出數量關系和變化規律，并用符號表示，是將問題一般化的過程，它超越了原有問題的具體情境，揭示了問題的核心特征，把認知和推理提高到一個更高的水平。一般化和符號化，是學習數學必須經歷的過程。尤其在例3中，引入符號“? ? ”更容易直觀勾勒“數陣”發展規律，便于把規律符號化，易于合情推理過程的進行。由以上諸例可見，非常規性問題對學生的符號感、應用意識、創新能力能做較好區分。