常微分方程中Riccati類型不等式的探討

◎胡玉璽 王 娜 楊晨晨 (.中國礦業大學(北京) 理學院， 北京 00083；.北京信息科技大學，北京 009)

常微分方程是大學數學專業重要的基礎課，求解一般的常微分方程是學生應該要掌握的內容.但是，并非所有的常微分方程都可以求解，特別是對非線性的常微分方程.Riccati方程是一類非線性微分方程，它的形式如下：

(1)

該方程是由意大利學者Riccati在1724年提出.盡管方程(1)形式非常簡單，但截至目前，仍然沒有有效的方法去求解該方程.法國數學家Liouville在1841年對一類簡單的Riccati方程：

證明只有當

方程的通解才可以用初等函數及其積分表述出來,參考[1,2].從上面我們可以看出，Riccati方程的求解是非常困難的，國內學者也有一些深入的探討，參考[3].

雖然Riccati方程(1)的求解很困難，但是當系數b(t)=c(t)=0時，Riccati方程退化為一個可以變量分離形式的一階非線性常微分方程，它的求解是很簡單的.為探究方程(1)的一些定性性質，不妨假設a(t)=1，則方程(1)解的表達式如下：

其中y0是初值.從上述解的表達式可以看出，當初值y0滿足一定條件時，Riccati方程的解會在有限時間內爆破.這刻畫了非線性方程很重要的性質.遺憾的是，只有形式非常簡單的Riccati方程才可以有初等解.這啟發我們，既然Riccati方程的求解如此困難，我們能否考慮Riccati類型的不等式并得到解的一些定性性質呢？事實上，在流體力學方程組中已經多次出現Riccati類型的不等式，參考[2].我們首先看簡單的Riccati類型不等式，假設函數y(x)滿足

問題是當初始值y0滿足什么條件時，上述問題的解整體存在或者在有限時間內爆破？

對上式兩邊關于t積分，可以得到

如果初始值y0>0,則有

下面我們對Liouville研究的特殊Riccati方程，給出相應的Riccati不等式，即研究如下的問題：假設函數y(x)滿足

(2)

問題是：當初始值y0滿足什么條件時，上述問題的解y(t)在某個時刻t0處爆破？

需要指出的是，如果把(2)式的“≥”變成等號，則相應的方程是沒有初等函數形式的解，因而更無從研究解的定性性質.如果把Riccati方程的等號變成不等號，相應的解的空間會擴大很多，繼而可以得到滿足(2)的初等函數形式的解并研究它們的性質.

在具體證明之前，我們先分析一下上述不等式.不等式左邊是函數y(t)的變化率，右邊有兩項，其中y2這一項是對y(t)有增長作用，t2對y(t)有抑制作用，所以需要選擇合適的初值，使得增長作用大于抑制作用，進而保證函數y(t)一直非線性增長直至無窮.

我們將用偏微分方程中常用的脫靴(bootstrap)技巧來給出上述問題的答案.首先我們假設

y(t)2≥2t2.

(3)

上述假設屬于先驗假設，后續我們驗證(3)式成立.因此，由(2)和(3)式可以得到

(4)

對(4)中的不等式兩端關于t積分，可以得到

因此，對上式通分便得到

(5)

引理1：假設(3)式成立，并且y0≥1，則有

y(t)2≥4t2.

(6)

(7)

易知，上式不等式成立當且僅當

y0-2t+y0t2≥0.

(8)

因此(8)式成立，進而(7)式成立，證明結束.

由引理1可知，先驗假設(3)成立.事實上，我們可以定義

定理：假設y0≥1，則Riccati類型不等式(4)的解y(t)一定在有限時間內爆破.

注記1：上述定理關于初值的條件y0≥1可以進一步優化.事實上，先驗假設(3)可以設為

y(t)2≥at2,a>1.

(9)

由上面分析，在假設(9)成立的條件下，我們可以得到

(10)

(7)

上述不等式成立當且僅當

注記2：我們可以把Riccati不等式中的t2替換為任意的函數a(t),通過討論a(t)的性質以及初值條件來說明解y(t)在有限時間內爆破.