數(shù)字黑洞 你的腦筋還轉(zhuǎn)得過(guò)來(lái)嗎

華興恒

在茫茫宇宙之中，存在著一種極其神秘的天體——黑洞。由于黑洞的物質(zhì)密度極大，引力極強(qiáng)，任何物質(zhì)經(jīng)過(guò)它的附近時(shí)，都會(huì)被吸進(jìn)去，再也不能出來(lái)，即便是光線也難逃一劫。黑洞的名稱由此而來(lái)。

其實(shí)，在數(shù)學(xué)中也存在著類似的現(xiàn)象，我們姑且稱其為數(shù)字黑洞。所謂數(shù)字黑洞，是指無(wú)論怎樣設(shè)置，在規(guī)定的處理法則下，最終都將得到一個(gè)固定的值。

下面，就讓我們走進(jìn)數(shù)學(xué)世界，去感受數(shù)字黑洞的神秘與美妙吧！

三位數(shù)的黑洞

請(qǐng)你任意寫(xiě)出一個(gè)三位數(shù)字不完全相同的三位數(shù)，然后按照從大到小的順序排列，這樣就會(huì)得到一個(gè)新的三位數(shù)；接下來(lái)，再把得到的這個(gè)新三位數(shù)按照從小到大的順序（即顛倒過(guò)來(lái)）排列，又得到一個(gè)新的三位數(shù)，把這兩個(gè)新三位數(shù)之差再作為一個(gè)新的三位數(shù)。重復(fù)上述步驟，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，結(jié)果耐人尋味。

例如，你寫(xiě)出323，然后將它按從大到小的順序排列，得到一個(gè)新的三位數(shù)——332；再將其按從小到大的順序排列，得到一個(gè)新的三位數(shù)——233。這兩個(gè)新三位數(shù)之差為：332-233=099（注意：0也應(yīng)作為一個(gè)數(shù)字按序排列）。按照上述方法重復(fù)進(jìn)行，則有：990-099=891；981-189=792；972-279=693；963-369=594；954-459=495；954-459=495……

這種不斷用變量的舊值遞推新值的過(guò)程，在數(shù)學(xué)上有一個(gè)術(shù)語(yǔ)，叫“迭代”，它是用計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的一種基本方法。有趣的是，對(duì)于任何一個(gè)不同位數(shù)數(shù)字不完全相同的三位數(shù)，經(jīng)過(guò)有限次迭代之后，最終都會(huì)陷入495這個(gè)奇妙的黑洞之中不能自拔。如果你不相信的話，不妨再隨意取幾個(gè)三位數(shù)試試看，也許會(huì)有新的、更奇妙的重大發(fā)現(xiàn)呢！

四位數(shù)的黑洞

對(duì)于任意一個(gè)不同位數(shù)數(shù)字不完全相同的四位數(shù)，是不是也會(huì)出現(xiàn)與上述相似的情況呢？答案是肯定的。它們最后都會(huì)跌入6174這個(gè)黑洞之中。也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)不同位數(shù)數(shù)字不完全相同的四位數(shù)，經(jīng)過(guò)有限次的重排與求差之后，最后都會(huì)落入6174這個(gè)黑洞之中，再也出不來(lái)了。

下面，我們一起來(lái)看一個(gè)實(shí)例：對(duì)于數(shù)字9365，有9653-3569=6084，8640-468=8172，8721-1278=7443，7 4 4 3 - 3 4 4 7 = 3 9 9 6，9 9 6 3 -3699=6264，6642-2466=4176，7641-1467=6174……

大家不妨再任選幾個(gè)滿足要求的四位數(shù)一試，它們最終都會(huì)無(wú)一例外地跌入6174這個(gè)黑洞之中。

這個(gè)黑洞數(shù)已由印度數(shù)學(xué)家給出了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。

多位數(shù)的黑洞

請(qǐng)你任意寫(xiě)一個(gè)多位數(shù)，比如下面這個(gè)數(shù)2365047815493，數(shù)一數(shù)這個(gè)數(shù)中有幾個(gè)偶數(shù)、幾個(gè)奇數(shù)及該數(shù)是幾位數(shù)，把這三個(gè)數(shù)字依次寫(xiě)出來(lái)組成一個(gè)新數(shù)，即把原來(lái)數(shù)字中的偶數(shù)個(gè)數(shù)放在最左邊，中間放原來(lái)數(shù)字的奇數(shù)個(gè)數(shù)，最右邊表示原來(lái)數(shù)字的位數(shù)。如上述所示，這個(gè)數(shù)中有6個(gè)偶數(shù)、7個(gè)奇數(shù)，是個(gè)13位數(shù)，因此，按上述要求組成的數(shù)為6713；依次繼續(xù)下去有：6713→134→123→……最終會(huì)跌入123這個(gè)黑洞之中。

是否每一個(gè)數(shù)最后都會(huì)跌入123這個(gè)黑洞之中呢？

下面，我們?cè)倏匆焕?duì)于35926這個(gè)數(shù)，數(shù)出它的偶數(shù)個(gè)數(shù)、奇數(shù)個(gè)數(shù)及所有數(shù)字的個(gè)數(shù)，可得到2（2個(gè)偶數(shù)）、3（3個(gè)奇數(shù)）、5（共五位數(shù)），用這3個(gè)數(shù)可以組成數(shù)字235，對(duì)235重復(fù)上述步驟，就得到1、2、3，將123再重復(fù)進(jìn)行，仍得123。再如，對(duì)于88883337777444992222這個(gè)數(shù)，它有11個(gè)偶數(shù)、9個(gè)奇數(shù)，是一個(gè)20位數(shù)，按上述求組成的數(shù)為11920，對(duì)11920這個(gè)數(shù)重復(fù)上述操作有11920→235→123。

請(qǐng)大家不妨再寫(xiě)幾個(gè)多位數(shù)試試看，說(shuō)不定你還會(huì)有新的、更奇特、更美妙的發(fā)現(xiàn)呢！

為什么會(huì)出現(xiàn)上述現(xiàn)象呢？這其中有什么奧秘？下面，讓我們一起來(lái)分析一下。

按上述規(guī)定的方法組成的新數(shù)，最終必會(huì)形成一個(gè)新的三位數(shù)，而這個(gè)數(shù)字的奇偶性必然是下述的8種情形之一：偶、偶、偶；偶、偶、奇；奇、偶、奇；偶、奇、偶；偶、奇、奇；奇、奇、奇；奇、奇、偶；奇、偶、偶。與上述相應(yīng)的可組成：303，213，123，213，123，033，123，213。其中，有三種情況已形成了123，其余的五種情況只要經(jīng)過(guò)1～3次的變化也可組成123。

其他數(shù)字中的黑洞

對(duì)于任意一個(gè)自然數(shù)，先將其各位數(shù)字求和，再將其和乘以3后加上1，多次重復(fù)這種操作運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果最終會(huì)跌入13這個(gè)數(shù)字黑洞之中，再也出不來(lái)。

例如，對(duì)于1，有1→4→13→13→……

對(duì)于某些自然數(shù)n，求出n的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)的平方和n1，再求出n1各個(gè)數(shù)位上的數(shù)的平方和n2，……如此繼續(xù)下去，最后會(huì)陷入1這個(gè)黑洞之中，不能自拔。

例如，對(duì)于1995，有1995→188→129→86→100→1。經(jīng)過(guò)5次求各位數(shù)字的平方和的運(yùn)算之后，就跌入了1這個(gè)黑洞之中。

再如，對(duì)于87564，有87564→190→82→68→100→1。經(jīng)過(guò)5次求各位數(shù)字的平方和的運(yùn)算之后，也跌入1這個(gè)黑洞之中再也出不來(lái)了。

平方數(shù)有這樣神奇的現(xiàn)象，立方數(shù)中會(huì)有類似的情況發(fā)生嗎？

任意找一個(gè)3的倍數(shù)的數(shù)，先把這個(gè)數(shù)的每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字各自立方，再相加得到一個(gè)新數(shù)，然后把這個(gè)新數(shù)的每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字再各自立方并求和……這樣反復(fù)運(yùn)算下去，就會(huì)跌入153這個(gè)黑洞之中，難以自拔。

例如，對(duì)于3，按照上述運(yùn)算要求有：

大家還可以任取3的其他倍數(shù)的自然數(shù)試一試，結(jié)果不外如是。

從以上幾種黑洞中，你是不是體會(huì)到數(shù)學(xué)的神奇與美妙了？如果你有興趣，對(duì)此類問(wèn)題進(jìn)行深入研究與探索，可能會(huì)有更多、更有趣的發(fā)現(xiàn)！