反常積分的一題多解

王雅婧 王琳

【摘 要】本文討論了兩類反常積分的多種求解方法，旨在幫助學(xué)生熟悉、掌握計(jì)算積分中用到的換元積分法和分部積分法，從而提高學(xué)生的解題能力。

【關(guān)鍵詞】反常積分;一題多解;換元積分法;分部積分法

【中圖分類號(hào)】G642? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2021）22-0001-03

一元函數(shù)積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)[1]和數(shù)學(xué)分析[2]課程中的重要組成部分。反常積分是一元函數(shù)積分的一種類型，反常積分包含無(wú)窮積分和瑕積分。無(wú)窮積分是積分區(qū)間無(wú)限的反常積分;瑕積分是被積函數(shù)帶有瑕點(diǎn)的反常積分，是無(wú)界函數(shù)的反常積分。對(duì)于反常積分，可借助牛頓-萊布尼茨公式求解，也可以通過(guò)換元積分法和分部積分法求解。本文先簡(jiǎn)單地介紹反常積分的概念，接著分別從無(wú)窮積分和瑕積分的題目入手，給出多種不同的解法，從而拓展學(xué)生的解題思路，希望能給予學(xué)生一定的

啟發(fā)。

1? ?反常積分的概念

反常積分的概念可以通過(guò)定積分的概念深入理解。定積分存在有兩個(gè)必要條件：一是積分區(qū)間有限，二是被積函數(shù)有界。若破壞了積分區(qū)間的有限性，即積分區(qū)間是無(wú)限區(qū)間，就引出了無(wú)窮限的反常積分，簡(jiǎn)稱無(wú)窮積分;若破壞了被積函數(shù)的有界性，即被積函數(shù)在積分區(qū)間的某點(diǎn)無(wú)界，就引出了無(wú)界函數(shù)的反常積分，簡(jiǎn)稱瑕積分。下面給出兩類反常積分的具體定義。

無(wú)窮積分的定義：設(shè)函數(shù) f（x）在區(qū)間[a，+∞）上連續(xù)，任取t>a，若極限存在，則稱此極限為函數(shù) f（x）在無(wú)窮區(qū)間[a，+∞）上的反常積分，記作，

此時(shí)稱反常積分收斂;否則，稱為發(fā)散。

瑕積分的定義：設(shè)函數(shù) f（x）在區(qū)間[a，b）上連續(xù)，

點(diǎn)b為 f（x）的瑕點(diǎn)（即 f（x）在點(diǎn)b的任一鄰域內(nèi)無(wú)界），任取t

2? ?無(wú)窮積分舉例

例1：計(jì)算積分。

分析：此積分為無(wú)窮積分，下面筆者用不同的方法來(lái)計(jì)算此積分。

方法一：湊微分法

。

由此看出，此積分是收斂的，并且積分的值為。

湊微分法是換元積分法的一種，是計(jì)算積分最基本也是應(yīng)用最廣泛的方法。此方法的關(guān)鍵在于如何適當(dāng)?shù)貙⒈环e表達(dá)式湊成易得出原函數(shù)的形式的微分，以更簡(jiǎn)便地計(jì)算。所以，想要熟練地掌握湊微分法，必須掌握不同函數(shù)的微分公式。

方法二：根式代換

令=t，則dx=2tdt，且當(dāng)x=1時(shí)，t=1;x→+∞時(shí)，t→+∞。

。

面對(duì)被積函數(shù)含有一次根式的積分，直接對(duì)一次根式進(jìn)行變量代換是非常有效的方法。通過(guò)變量代換后得到的積分，直接用積分公式即可得到結(jié)果。

方法三：三角函數(shù)代換

令x=tan2 t，則dx=2tan tsec2tdt，且當(dāng)x=1時(shí)，

t=;x→+∞時(shí)t=。

。

根據(jù)被積函數(shù)的形式對(duì)要計(jì)算的積分進(jìn)行適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)代換，把無(wú)窮積分轉(zhuǎn)換成了定積分，并且大大地簡(jiǎn)化了積分的計(jì)算過(guò)程。

方法四：倒代換

令x=，則，且當(dāng)x=1時(shí)，t=1;x→+∞時(shí)，x→0+。

。

被積函數(shù)分母的最高次冪高于分子的最高次冪時(shí)，倒代換也是非常有用的計(jì)算方法。對(duì)此積分進(jìn)行倒代換后，把原來(lái)的無(wú)窮積分轉(zhuǎn)換成了被積函數(shù)完全相同的瑕積分。雖沒(méi)有簡(jiǎn)化積分的計(jì)算，但這說(shuō)明位于曲線 y=之下，x軸之上以及x ≥1的圖形的面積位于曲線 y=之下，x軸之上，x=0以及x=1之間的圖形的面積是相等的。

方法四的計(jì)算過(guò)程比其他方法要復(fù)雜一些，不過(guò)在計(jì)算過(guò)程中，能夠進(jìn)一步加深對(duì)無(wú)窮積分和瑕積分的幾何意義的理解。

3? ?瑕積分舉例

例2：計(jì)算積分。

分析：被積函數(shù)在區(qū)間[0，2）上連續(xù)，但。點(diǎn)x=2是 f（x）的瑕點(diǎn)，此積分為瑕積分。接下來(lái)筆者用不同的方法來(lái)計(jì)算此積分。

方法一：分母代換

令x=2?u，則dx=?du，且當(dāng)x=0時(shí)，u=2;x→2時(shí)，u→0。

=π。

由此看出，此積分是收斂的，并且積分的值為π。

此方法的巧妙之處在于作變量代換后，再把兩式加起來(lái)除以2得到一個(gè)較簡(jiǎn)單的根式函數(shù)的積分，通過(guò)配方可直接利用積分公式計(jì)算。

方法二：分母根式代換

令，則dx=?2tdt，且當(dāng)x=0時(shí)，;x→2時(shí)，t=0。

=π。

對(duì)部分根式作變量代換是換元法中常用的方法。通過(guò)這次變量代換后，直接把瑕積分轉(zhuǎn)換成了熟悉的定積分，根據(jù)積分公式可得結(jié)果。另外，對(duì)于這種含有二次根式的定積分，可用三角代換來(lái)進(jìn)行計(jì)算。

對(duì)于積分

令t=sin u，則dt=cos udu，當(dāng)t=0時(shí)，u=0;t=時(shí)u=。

。

方法三：分子根式代換

令=t，則dx=2tdt當(dāng)x=0時(shí)，t=0;x→2時(shí)，t=。

=π。

方法三用的方法與方法二類似，都是部分根式代換。需關(guān)注變量代換后得到的被積函數(shù)的特點(diǎn)，通過(guò)對(duì)分子加一項(xiàng)減一項(xiàng)，從而得出兩個(gè)容易計(jì)算的積分。這種對(duì)分子加項(xiàng)減項(xiàng)來(lái)達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的方法也是計(jì)算積分時(shí)常用的方法。

方法四：三角函數(shù)代換

令x=2sin2 t，則dx=4sin tcos tdt，且當(dāng)x=0時(shí)，t=0;x→2時(shí)，t=。

=π。

通過(guò)三角函數(shù)代換來(lái)計(jì)算此積分，能夠在很大程度上簡(jiǎn)化積分的計(jì)算過(guò)程。此外，通過(guò)變量代換得到的關(guān)于三角函數(shù)的定積分，除了用三角函數(shù)的降冪以及湊微分法來(lái)計(jì)算，也可用定積分公式直接得到結(jié)果。

方法五：整體根式代換

令，則dx=，且當(dāng)x=0時(shí)，t=0;x→2時(shí)t→+∞。

=2π?π=π。

其中，令=π。

對(duì)于含有一次函數(shù)的整體根式，作變量代換進(jìn)行計(jì)算是求此類積分非常有效的方法。作變量代換后將此積分轉(zhuǎn)換為被積函數(shù)有有理函數(shù)的無(wú)窮積分，從而利用求有理函數(shù)的積分理論進(jìn)行計(jì)算。相對(duì)而言，此方法計(jì)算過(guò)程要復(fù)雜一些，需作兩次變量代換。

方法六：換元法與分部積分法相結(jié)合

令，則x=，當(dāng)x=0時(shí)，t=0;x→2時(shí)t→+∞。

==π。

此方法是在作與方法五相同的變量代換后，將所求積分化成udv的形式，直接利用分部積分法來(lái)計(jì)算。在此過(guò)程中同樣用到了對(duì)分子加一項(xiàng)減一項(xiàng)的方式，從而簡(jiǎn)化了微分dv的形式，這樣能使接下來(lái)的計(jì)算更簡(jiǎn)便。對(duì)于有的積分而言，多種方法結(jié)合使用也會(huì)有良好的

效果。

總之，求反常積分的關(guān)鍵與定積分相同，要利用換元積分法和分部積分法來(lái)進(jìn)行計(jì)算。與定積分不同的是，在換元函數(shù)單調(diào)的假定下，如果換元后依然是反常積分，在代入上下限時(shí)需要求極限。若極限存在，則反常積分收斂，并稱此極限是反常積分的值。在求積分時(shí)，可能有多種解法，有的題多種方法結(jié)合使用會(huì)便于計(jì)算。因此，要想熟練地掌握不同的方法，必須多加練習(xí)，拓展解題思路，掌握解題技巧，從而達(dá)到良好的學(xué)習(xí)效果。

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2010.

【作者簡(jiǎn)介】

王雅婧（1986～），女，山西忻州人，碩士，講師。研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。