淺談模型思想在初中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

【摘 要】從數(shù)字到未知量的過(guò)渡，是小學(xué)數(shù)學(xué)過(guò)渡到初中數(shù)學(xué)的一個(gè)具體體現(xiàn)。從數(shù)字到未知量的變化，本質(zhì)也是數(shù)學(xué)模型化的過(guò)程。模型思想使數(shù)學(xué)解題有規(guī)律可循，也能展示數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征。本文從點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)與位置、乘法公式在速算中的運(yùn)用、二次函數(shù)的最值問(wèn)題、函數(shù)解析式的確定、單循環(huán)比賽以及幾何中的中點(diǎn)問(wèn)題，來(lái)展示模型思想在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用。

【關(guān)鍵詞】模型思想;初中數(shù)學(xué);解題;運(yùn)用

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2021）22-0035-03

數(shù)學(xué)課堂離不開(kāi)解題，在解題過(guò)程中學(xué)會(huì)總結(jié)歸納，才能收獲更多。下面圍繞模型思想在初中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用展開(kāi)論述，與大家分享交流。

1? ?點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)與坐標(biāo)

例1：以原點(diǎn)為中心，把點(diǎn)A（4，5）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)B，求點(diǎn)B的坐標(biāo)。

如圖1，解答此題時(shí)，學(xué)生會(huì)很自然地通過(guò)畫(huà)圖直觀地得到正確答案。當(dāng)?shù)玫筋}目的正確答案時(shí)，學(xué)生通常不會(huì)再深入思考這道題，這樣學(xué)生就會(huì)喪失一次提升自己思維能力的機(jī)會(huì)[1]。

教師講解這道題時(shí)，可以這樣引導(dǎo)學(xué)生：“請(qǐng)大家觀察A點(diǎn)的坐標(biāo)（4，5）和B點(diǎn)的坐標(biāo)（?5，4），然后大膽地猜想，并帶著自己的猜想，試著解答下面的問(wèn)題。”

練習(xí)：①以原點(diǎn)為中心，把點(diǎn)A（m，n）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)B，求點(diǎn)B的坐標(biāo)。②以原點(diǎn)為中心，把點(diǎn)

A（m，n）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)B，求點(diǎn)B的坐標(biāo)。

通過(guò)上面的追問(wèn)，不僅鍛煉了學(xué)生大膽猜想的數(shù)學(xué)品質(zhì)，還使學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的思維過(guò)程，這對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升是大有好處的。此時(shí)，再把剛剛得到的一般性結(jié)論應(yīng)用到下面的中考真題之中：

（2019年宜昌中考第15題）如圖2，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，∠AOB=∠B=30°，OA=2，將?AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（? ）。

A.（?1，2+）? ? ? ? ? B.（?，3）

C.（?，2+）? ? ? ? D.（?3，）

用中考真題幫助學(xué)生鞏固剛得到的一般性結(jié)論，讓學(xué)生體驗(yàn)反思的價(jià)值。

2? ?點(diǎn)的位置

例2：點(diǎn)M（t+3，t?5）一定不在第? ? 象限。

這道題目通常會(huì)出現(xiàn)在七年級(jí)下學(xué)期的考試中，用于考查平面直角坐標(biāo)系和不等式組的知識(shí)，當(dāng)時(shí)的解法會(huì)用到分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想。

解：分情況討論如下：若點(diǎn)M在第一象限，則 ，解得 t >5;

若點(diǎn)M在第二象限，則 ，此不等式組無(wú)解;

若點(diǎn)M在第三象限，則 ，解得t < ?3;

若點(diǎn)M在第四象限，則 ，解得?3

所以，點(diǎn)M一定不在第二象限。

如果此題出現(xiàn)在中考復(fù)習(xí)階段，應(yīng)用上面的方法會(huì)顯得過(guò)于繁瑣，而用函數(shù)的觀點(diǎn)解答此題則更能突顯

數(shù)學(xué)的魅力。

解：令 ，則 y?x=?8，所以 y=x?8。

這個(gè)一次函數(shù)的圖象如圖3所示，所以點(diǎn)M一定不在第二象限。

3? ?完全平方公式與平方差公式

例3：計(jì)算992。

解：應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算如下：

992=（100?1）2

=1002?2×100+12

=10000?200+1

=9801。

上面的解法常見(jiàn)于教科書(shū)或參考資料中，有沒(méi)有其他的解法呢？

解：應(yīng)用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算如下：

992=992?12+12

=（99?1）（99+1）+1

=98×100+1

=9801。

你更喜歡哪種方法呢？多了一種方法，就多了一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的體驗(yàn)。

4? ?實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)

例4：用總長(zhǎng)為60 m的籬笆圍成矩形場(chǎng)地，矩形面積S隨矩形一邊長(zhǎng)l的變化而變化，當(dāng)l是多少米時(shí)，場(chǎng)地的面積S最大？

解：矩形場(chǎng)地的周長(zhǎng)是60 m，一邊長(zhǎng)為l m，所以另一邊長(zhǎng)為（30?l） m，場(chǎng)地的面積S=l（30?l）。

即S=?l2+30l

=?（l2?30l+225?225）

=?（l?15）2+225。

答：當(dāng)l是15 m時(shí)，場(chǎng)地的面積S最大。

上面的解法是很多教科書(shū)和參考資料選取的方法，其實(shí)這種方法顯得有點(diǎn)復(fù)雜。在二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中，求最值時(shí)，應(yīng)用“雙根式”勝過(guò)“一般式”和“頂點(diǎn)式”。如上面的題目中，當(dāng)?shù)玫健半p根式”S=l（30?l）時(shí)，可知此函數(shù)與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，0）和（30，0），根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性可知，當(dāng)l==15時(shí)，S取最大值。這種方法既不需要把“雙根式”化為“一般式”再化為“頂點(diǎn)式”，也無(wú)需代入頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求解[2]。

5? ?一次函數(shù)解析式的確立

例5：已知點(diǎn)A（5，0）、B（0，4），求直線AB的解析式。

解：設(shè)直線AB的解析式為 y=kx+b，因?yàn)锳（5，0）、B（0，4），所以，解得，所以直線AB的解析式為 y=?+4。

上面的解法是待定系數(shù)法的一般過(guò)程，有沒(méi)有好的方法呢？能否更快速高效地得出結(jié)果呢？答案是肯定的。求一次函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求出k和b的值，學(xué)生對(duì)b的值比較熟悉，它是直線與縱軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，在本題中b=4，那么k的值是多少呢？k的絕對(duì)值等于直線與x軸所夾銳角的正切值，即|k|==，再結(jié)合直線從左至右下降，可知k=?。

6? ?二次函數(shù)解析式的確立

例6：已知二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（?1，0）、B（3，0）、C（0，2），求二次函數(shù)的解析式。

解法一：設(shè)二次函數(shù)的解析式為 y=ax2+bx+c，則

，

解得，

所以二次函數(shù)的解析式為y=?x2+x+2。

解法二：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x+1）（x?3），則?3a=2，所以a=?，所以二次函數(shù)的解析式為

y=?（x+1）（x?3）。

上面的兩種解法分別運(yùn)用了一般式和雙根式，有沒(méi)有更快的方法呢？答案是肯定的。雙根式要優(yōu)于一般式，因?yàn)樗÷粤私夥匠探M的過(guò)程，在雙根式中，僅僅需要確定待定系數(shù)a的值就可以了，而下面的方法可以一眼就看出a的值，a==?，分子當(dāng)中的2就是拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，分母當(dāng)中的?1和3就是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。因?yàn)樵诟c系數(shù)的關(guān)系中，

x1x2=，所以a=，在本題中，c=2，x1=?1，x2=3。

7? ?單循環(huán)比賽

例7：要組織一次排環(huán)邀請(qǐng)賽，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)。根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場(chǎng)比賽，那么比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少

個(gè)隊(duì)參賽？

解：設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意得，=28，解得x1=8，x2=?7（舍）。

答：應(yīng)邀請(qǐng)8個(gè)隊(duì)參賽。

此題是一元二次方程應(yīng)用中的單循環(huán)比賽類(lèi)問(wèn)題，與握手問(wèn)題屬于同種類(lèi)型。當(dāng)解答完此題后，要追問(wèn)：如果此題改為選擇題或填空題，有沒(méi)有更高效的方法得出最后結(jié)果呢？如何由總的比賽場(chǎng)次28得出參賽的隊(duì)伍數(shù)8呢？筆者發(fā)現(xiàn)，只需讓28乘以2，得到56，然后思考兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)相乘的積為56，其中較大的那個(gè)自然數(shù)即為最后結(jié)果。由此告訴學(xué)生，小題不必大做，這樣可以更好地解題。

8? ?中點(diǎn)問(wèn)題

例8：如圖4，?ABC中，AB=8，AC=6，求中線AD的取值范圍。

解：如圖5，延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連結(jié)BE，

因?yàn)锳D是中線，所以BD=CD，又因?yàn)椤螦DC=

∠EDB，

所以?ADC≌?EDB，

所以BE=AC=6，

在?ABE中，AB?BE

所以8?6<2AD<8+6，所以1

上面這種解法的關(guān)鍵是應(yīng)用了倍長(zhǎng)中線的輔助線作法，“見(jiàn)中點(diǎn)，倍長(zhǎng)中線”是常用的輔助線作法，那么此題還有沒(méi)有其他方法呢？只要樂(lè)于思考探究，方法總是有的。

解：如圖6，取AB的中點(diǎn)F，連接DF，

則DF=AC=3，AF=AB=4，

在?ADF中，AF?DF

所以4?3

所以1

上面的方法為學(xué)生提供了一種新的思考方向，當(dāng)見(jiàn)到中點(diǎn)時(shí)，可以再造中點(diǎn)，連成中位線，從而運(yùn)用中位線的性質(zhì)解決問(wèn)題。

在運(yùn)用模型思想解題的過(guò)程中，筆者和學(xué)生收獲頗豐，學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂(lè)。筆者認(rèn)為，能夠使學(xué)生感到快樂(lè)的教學(xué)方式應(yīng)該是有效的，是值得教師不斷探究的。

【參考文獻(xiàn)】

[1]張素蘭，李景龍，王增昌.合學(xué)教育：打造教學(xué)“動(dòng)車(chē)組”[M].北京：中國(guó)林業(yè)出版社，2008.

[2]鐘家軍.例談模型思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2013（14）.

【作者簡(jiǎn)介】

王棟波（1976～），男，漢族，河北廊坊人，本科，中小學(xué)一級(jí)教師。研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)。