抓住數學概念本質 破解解析幾何難題

賈龍春 王翠花

【摘 要】“圓錐曲線”是高中數學教學中的一大難點，學生感覺到最困難的地方一是“想不到”，即找不到解決問題的入手點;二是“消不掉”，即無法將要求的幾何對象表示出來，由于含有多個變量，參數消不掉。本文通過列舉實例，解決學生在圓錐曲線中遇到的問題，以期為廣大教師提供參考。

【關鍵詞】概念本質;解析幾何;高中數學

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）22-0140-03

高中數學中的“圓錐曲線”的本質特征是用代數方法研究平面幾何問題，研究的載體是曲線的方程，其基本思維特征是“根據題意畫出圖形—分析幾何對象特征—將幾何特征代數化—進行代數運算”。通過引導學生解決圓錐曲線問題，能夠培養學生直觀想象、數學運算、邏輯推理等核心素養，發揮數學學科的育人價值[1]。

1? ?抓住幾何對象的幾何特征，解決學生“想不到”的問題

在解決圓錐曲線問題的過程中，需要分析幾何對象的幾何特征。題目出現的主要幾何對象可能是一個，也可能是兩個或兩個以上。如果只有一個幾何對象，需要研究它的幾何性質，通過抓住其幾何性質，找到解決問題的突破口;如果有兩個或兩個以上的幾何對象，需研究幾何對象之間的位置關系，通過位置關系找到解決問題的突破口。這樣就可以解決學生“想不到”的問題。

例1：（2020年高考海南卷第21題）已知橢圓C：（a>b>0）過點M（2，3），點A為其左頂點，且直線AM的斜率為。

（1）求橢圓C的方程;

（2）若點N為橢圓C上任意一點，求?AMN面積的最大值。

【分析】（1）要求C的方程，需要確定參數a，b的值。

方法1：由已知條件，橢圓C：（a>b>0）。過點M（2，3），將點M的坐標代入橢圓C：（a>b>0）的方程，得到一個關于a，b的等式;點A為橢圓C的左頂點，所以A點的坐標為（?a，0），由于直線AM的斜率為，根據斜率公式，再得到一個關于a，b的等式;兩個等式聯立方程組，求出a，b的值，得到橢圓C的方程。

方法2：根據已知條件，已知橢圓C：（a>b>0）過點M（2，3），點A為其左頂點，且的AM斜率為。可以直接求出直線AM的方程，利用直線方程可以直接求出它在x軸上的截距，從而得到a的值，把a的值代入橢圓方程，求出b的值。

（2）當點N為橢圓上任意一點，如何求?AMN面積的最大值？先根據題意畫出橢圓C，再畫出AM，通過圖形可以看出，直線AM與橢圓C交于兩個定點A，M，所以橢圓C的弦AM的長度是一個定值，即?AMN的一邊是定值。只需要求出?AMN的一邊AM上的高的最大值即可，即需要求出點N到直線AM距離的最大值。

方法1：過點N作平行于直線AM的直線，可以發現，在直線AM的上下方可以作出多條平行直線，?AMN的面積最大時，點在N直線并且當這條直線與橢圓C相切時，點N到直線AM的距離最大，并且最大值就是這兩條平行線間的距離。

方法2：利用橢圓C的參數方程，設點N的坐標為（4cos θ，sin θ），求出橢圓C的弦AM的長是一個定值，表示出點N到直線AM的距離d，先求出d的最大值，再求?AMN面積的最大值。

【解答】（1）方法1：由題意可知，點A的坐標為

（?a，0），則

由①得，a=4，代入②得，=1，解得b2=12。

方法2：由題意可知直線AM的方程為：y?3=?（x?

2），即x?2y=?4。

當 y=0時，解得x=?4，所以a=4。

橢圓C：（a>b>0），過點M（2，3），可得=1，

解得b2=12，所以C的方程：=1。

（2）方法1：設與直線AM平行的直線方程為：x?2y=m，當直線與橢圓相切時，與AM距離比較遠的直線與橢圓的切點為N，此時?AMN的面積取得最大值。

聯立直線方程x?2y=m與橢圓方程=1，可得：3（m+2y）2+4y2=48。

化簡可得：16y2+12my+3m2?48=0，所以?=144m2

?4×16（3m2?48）=0，即m2=64，解得m=±8。與AM距離比較遠的直線方程：x?2y=8，直線AM方程為：x?2y=?4。

點N到直線AM的距離即兩平行線之間的距離，利用平行線之間的距離公式可得：d== ，由兩點之間距離公式可得|AM|==。

所以?AMN的面積的最大值：=18。

方法2：由（1）可知，A點的坐標為（?4，0），M的坐標為（2，3），由兩點之間距離公式可得|AM|==，直線AM的方程為：y?3=（x?2），即x?2y+4=0。

設點N的坐標為（4cos θ，sin θ），則點N到直線直線AM的距離為

d=

=

=

d的最大值為d== ，

所以?AMN面積的最大值：=18。

【反思】解決第一問求圓錐曲線的方程時，要注意觀察應用題設中的每一個條件，明確直線、橢圓的條件，利用函數與方程的思想方法，通過列方程組、解方程組的方法，求出參數的值，得到方程。解決第二問時，需要先畫出圖形，分析幾何對象的幾何特征，抓住幾何對象的幾何特征是解決問題的入手點。同時，強化有關直線與橢圓聯立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題。

2? ?明確主變元與次變元，解決學生“消不掉”的問題

在解決圓錐曲線問題的過程中，將幾何特征代數化后，需要進行代數運算，往往會遇到多個變量參與運算的問題，增加了學生運算的難度，學生不知道如何將多變量的問題轉化成少變量的問題，即不知道在運算過程中應消掉誰保留誰才能得出問題的結果。要解決這個問題，還需要明確問題中的變量分為主動點與次動點，在運算過程中，主動點的坐標就是主變元，次動點的坐標就是次動元。在實際運算過程中，通常消去次動元，保留主動元。這樣學生在運算過程中，就有了明確的方向，就能夠解決“消不掉”的問題。

例2：（2019年高考北京卷理科第18題）已知拋物線C：x2=?2py經過點（2，?1）。

（1）求拋物線C的方程及其準線方程;

（2）設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線 y=?1分別交直線OM，ON于點A和點B。求證：以AB為直徑的圓經過 y軸上的兩個定點。

【分析】（1）如何求拋物線C的方程及其準線方程？根據題意，拋物線C：x2=?2py經過點（2，?1），所以點

（2，?1）的坐標滿足拋物線的方程，將點（2，?1）的坐標代入方程x2=?2py，求出p的值，得到拋物線C的方程，再根據方程，求準線方程。

（2）如何證明以AB為直徑的圓經過 y軸上的兩個定點？需要求出該圓的方程，利用方程求出圓與 y軸的兩個交點，且這兩個交點的橫坐標為0，縱坐標為常數即可。先畫出本題的圖形。畫開口向下的拋物線C：x2=?2py，設拋物線的焦點為F，過點F作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，連結OM，ON，作直線 y=?1分別交直線OM，ON于點A和點B。

由于直線l交拋物線C于兩點M，N，所以直線l一定存在斜率。設直線l的斜率為k，拋物線x2=?4y的焦點為（0，?1），可以利用點斜式直接寫出直線l的方程;將直線l的方程與拋物線x2=?4y聯立，設兩根為x1，x2，即M，N的橫坐標分別為x1，x2，利用韋達定理，得到關于x1，x2，k的關系式，可以用它們表示出點M，N的坐標;從而可以利用x1，x2進一步分別表示出直線OM，ON的斜率，表示出直線OM，ON的方程，再分別與直線 y=?1聯立，用x1，x2表示出點A和點B的坐標，可以表示出圓心和半徑，從而寫出圓的方程，求出圓與y軸的兩個交點，最后解決

問題。

【解答】（1）將點（2，?1）代入拋物線方程：22=

2p×（?1）可得：p=2，故拋物線方程為：x2=?4y，其準線方程為：y=1。

（2）由題意可知，直線l的斜率存在，焦點坐標為（0，?1），設直線方程為 y=kx?1，與拋物線方程x2=?4y聯立可得：x2+4kx?4=0。

故x1+x2=?4k，x1x2=?4。

設M（x1，?），N（x2，?），

則kOM=?，kON=?。

直線OM的方程為 y=?x，與y=?1聯立可得：

A（，?1），同理可得B（，?1）。

易知以AB為直徑的圓的圓心坐標為：（，?1），

圓的半徑為：，

且==2k，

=2×

=2。

則圓的方程為：（x?2k）2+（y+1）2=4（k2+1）。

令x=0整理可得：y2+2y?3=0，解得：y1=?3，y2=1。

即以AB為直徑的圓經過 y軸上的兩個定點（0，?3），（0，1）。

【反思】本題第一問求拋物線的標準方程與準線方程，利用待定系數法，將已知點的坐標代入拋物線的方程，通過解方程，求出參數 p的值，進一步求出準線方程，解題過程體現了函數與方程的思想。本題第二問，由于點M、N的運動引起了點A、B的運動，從點的角度分析，點M、N為主動點，點A、B是次動點;從變量的角度分析，直線l的斜率是主變量，而點M、N橫坐標為次變量，在求方程的過程中，用點M、N的坐標表示直線點OM、ON的方程，在運算的過程中，用直線l的斜率表示運算結果，使變量由多到少，達到解決問題的目的。解決問題的過程中，體現出了化歸與轉化的數學思想方法，有利于提升學生的數形結合能力，發展學生直觀想象、數學運算、邏輯推理等數學核心素養。

總之，平面解析幾何的運算難度主要體現在運算量較大、討論內容較多。因此掌握常用的運算技能，可以在很大程度上簡化運算過程，優化學生的思維過程，從而解決學生“算不對”的問題。學生需要掌握的常用的運算技能有：利用定義，回歸本質;設而不求，整體代入;根系關系，化繁為簡;巧設參數，方便運算。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準[S].北京：北京師范大學出版社，2017.

【作者簡介】

賈龍春（1969～），男，漢族，寧夏同心人，本科，高級教

師。研究方向：高中數學教學，高三備考，考試命題，教學管理。

王翠花（1970～），女，漢族，寧夏平羅人，本科，高級教師。研究方向：高中數學教學，高三備考，考試命題，班級管理。