一類常微分方程和偏微分方程的級聯系統的邊界控制

雷 嫄，白藝昕，謝成康

西南大學 數學與統計學院，重慶 400715

本文考慮如下控制系統

(1)

其中：X(t)∈Rn表示流體的溫度、濕度、密度等物理參數，矩陣A，B∈Rn×n且(A，B)能穩，U(x，t)∈Rn為狀態變量，矩陣Λ∈Rn×n，C(t)∈Rn是控制輸入，0表示零矩陣或零向量．

1 控制器設計

(2)

這里的核函數Φ(x，y)∈Rn×n和矩陣函數Ψ(x)∈Rn×n待定．該變換將系統(1)轉換為一個指數穩定的目標系統，從而設計出控制律，那么閉環系統的穩定性就可以通過該變換及其逆變換建立起來．選定的目標系統如下

(3)

其中選定K∈Rn×n使得A+BK是Hurwitz矩陣，為了滿足方程組(3)第4式，取控制律為

(4)

取核函數Φ(x，y)和矩陣函數Ψ(x)滿足如下方程組

(5)

通過方程組(2)第2式以及方程組(3)第3式，可以得到矩陣函數Ψ(x)的一個邊界條件為

Ψ(0)=0

(6)

此外，狀態X(t)滿足方程組(1)第1式和方程組(3)第1式，

(KX(t)+Wx(0，t)-Ux(0，t))=0

(7)

可取如下條件成立

Ψ′(0)=K

(8)

首先，根據矩陣函數方程組(5)第4式及其邊界條件(6)和(8)，本文得到矩陣方程的一個級數解為

(9)

其次由方程組(5)及式(9)，可將核函數滿足的邊界條件轉化為

Φxx(x，y)-Φyy(x，y)=Φ(x，y)Λ

(10)

可將核函數化為積分方程，再利用逐次逼近法求得近似解，其求解過程可參考文獻[15]．最后得到核函數解為

(11)

2 穩定性

首先證明目標系統(3)的穩定性．

引理1對于目標系統(3)，存在α>0，β>0，使得

(12)

即目標系統在H1范數意義下指數穩定，其中‖·‖表示歐幾里得范數，‖W(t)‖H1表示W(t)的H1范數，即

證選取李雅普諾夫函數

(13)

這里的矩陣P>0是Lyapunov函數

P(A+BK)+(A+BK)TP=-I

(14)

的解，其中I表示n階單位陣，a>0是需要被確定的參數．對Lyapunov函數(13)兩邊關于t求導，由于W滿足方程組(3)，所以有

通過分部積分，由邊界條件方程組(3)第3式和第(4)式，有

因為W滿足方程組(3)第1式，所以V(t)滿足

(15)

由Agmon不等式、Cauchy-Schwartz不等式和Young不等式

取

a=2‖B‖2‖P‖2+2

再由Poincare不等式及

Wx(1，t)=0，W(0，t)=0

得

(16)

又因為

λmin(P)‖X(t)‖2≤X(t)TPX(t)≤λmax(P)‖X(t)‖2

其中λmax(P)是P的最大特征值，那么，由(13)式可得

(17)

其中

就可以得到

V(t)≤V(0)e-βt

(18)

證明變換(2)可逆，需找到它的逆變換，故假設逆變換具有如下形式

(19)

按照求解核函數Φ(x，y)，Ψ(x)的思路和方法，能得到

(20)

(21)

(22)

(23)

證從變換(2)第2式及范數的性質，可得

(24)

接下來需要對第2項和第3項進行估計．首先

根據Holder不等式

(25)

(26)

其中

同理由逆變換可得

(27)

其中

因此，由式(24)，(25)，(26)及(27)，當取

δ=1+δ1+δ2

時式(22)成立．同理可證式(23)成立．

根據引理1和引理2可以得到如下定理．

定理1設Φ(1，y)和Ψ(1)是方程(11)及(9)的解．考慮系統(1)，控制律為(4)，則存在常數σ使得

(28)

即閉環系統在上述范數下是指數穩定的．