巧用反例益處多
——初中數(shù)學(xué)教學(xué)中反例的有效運(yùn)用研討

王太廣

(江蘇省鹽城市初級(jí)中學(xué) 224000)

作為一種全新的教學(xué)材料，反例在啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧的同時(shí)，允許其從截然不同的角度思考數(shù)學(xué)問(wèn)題.與傳統(tǒng)的教學(xué)方法相比，反例能夠幫助學(xué)生從理論、實(shí)踐、技能、思想等角度思考，重新定義數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng).在當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)教育中，少有教師能夠意識(shí)到反例的應(yīng)用價(jià)值，部分教師對(duì)于反例的認(rèn)知依舊比較片面.如何應(yīng)用反例解決教學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，這是應(yīng)用反例之前必須解決的重要問(wèn)題.

一、反例的教育價(jià)值

1.對(duì)學(xué)生能力與教學(xué)活動(dòng)的影響

反例已經(jīng)成為當(dāng)前的數(shù)學(xué)教育活動(dòng)中最為常見(jiàn)的一種教育手段，與傳統(tǒng)“追求正確答案”的教學(xué)理念相比，反例強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)問(wèn)題中存在的錯(cuò)誤，作為一種全新的教學(xué)方法，其從截然不同的角度引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考.結(jié)合當(dāng)前的教學(xué)活動(dòng)來(lái)看，反例在數(shù)學(xué)教育活動(dòng)中展現(xiàn)出了極為出色的應(yīng)用價(jià)值：一方面，其對(duì)學(xué)生的思維、能力發(fā)起反向訓(xùn)練，要求學(xué)生根據(jù)不同的數(shù)學(xué)概念加工理論知識(shí)，從“驗(yàn)證錯(cuò)誤”的角度發(fā)起證明活動(dòng).對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)，提出一個(gè)錯(cuò)誤的、與教學(xué)結(jié)論相悖的命題遠(yuǎn)比提出一個(gè)正確答案更為簡(jiǎn)單，在錯(cuò)誤的反面示例被驗(yàn)證之后，學(xué)生能夠以更為科學(xué)的態(tài)度掌握數(shù)學(xué)知識(shí).另一方面，反例的出現(xiàn)對(duì)當(dāng)前的教學(xué)活動(dòng)實(shí)施同步優(yōu)化.傳統(tǒng)的初中數(shù)學(xué)課堂較為枯燥，理論教育占據(jù)教學(xué)活動(dòng)的主導(dǎo)位置，學(xué)生無(wú)法利用個(gè)人智慧加工教學(xué)知識(shí).而在反例的引導(dǎo)下，“證明該命題是錯(cuò)誤的”這一理念直接影響學(xué)生，學(xué)生能夠從數(shù)學(xué)定義中所展現(xiàn)出來(lái)的漏洞、矛盾等角度入手，推翻原有命題，以更為開(kāi)放的方式掌握數(shù)學(xué)知識(shí).可以說(shuō)，反例的出現(xiàn)對(duì)學(xué)生思維的發(fā)展、教學(xué)模式的發(fā)展起到了很好地帶動(dòng)作用，依靠反例的直接展示，學(xué)生得以從截然不同的角度思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而對(duì)教學(xué)要求作出積極回應(yīng).

2.對(duì)學(xué)生思維及教學(xué)計(jì)劃的影響

教學(xué)活動(dòng)中的“靈光乍現(xiàn)”往往能夠?yàn)榻處熖峁┬碌慕逃`感，促使其將數(shù)學(xué)教育工作引領(lǐng)到新的道路上.在全新的數(shù)學(xué)教育理念下，僅針對(duì)理論所發(fā)起的教學(xué)活動(dòng)已經(jīng)無(wú)法滿足學(xué)生的發(fā)展需求，要將教學(xué)環(huán)節(jié)的“靈感”整合起來(lái)，在未來(lái)的教學(xué)活動(dòng)中加以運(yùn)用，教師必須將全新的教學(xué)理論導(dǎo)入到教學(xué)活動(dòng)當(dāng)中.合理應(yīng)用反例調(diào)整數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，能夠幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)思維與能力的同步發(fā)展.從教學(xué)過(guò)程來(lái)看，反例的構(gòu)建是一項(xiàng)非常具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)，其不僅考驗(yàn)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的理解水平，更注重學(xué)生的數(shù)學(xué)積累，要求學(xué)生在錯(cuò)誤定義中尋找到可用的材料，對(duì)學(xué)生的思考能力提出了較高的要求.結(jié)合當(dāng)前的教學(xué)活動(dòng)來(lái)看，反例為學(xué)生創(chuàng)造了一個(gè)全新的思考環(huán)境，在全面認(rèn)知數(shù)學(xué)概念的情況下，反例允許學(xué)生對(duì)命題中的沖突點(diǎn)進(jìn)行剖析，從而以更高的效率得出學(xué)習(xí)答案.在學(xué)生不斷提出反例并利用反例解決數(shù)學(xué)思考問(wèn)題的過(guò)程中，原有的教學(xué)盲點(diǎn)被掃清，教師能夠根據(jù)學(xué)生所提出的觀點(diǎn)給出新的教學(xué)計(jì)劃.基于這一特點(diǎn)，反例所影響的不僅僅是學(xué)生，其也在一定程度上干預(yù)著未來(lái)教學(xué)活動(dòng)的發(fā)展.

二、反例在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中的應(yīng)用

1.記憶數(shù)學(xué)概念，優(yōu)化基礎(chǔ)教學(xué)

初中數(shù)學(xué)課程中包含著大量的數(shù)學(xué)概念，這些包含著文字、圖形、數(shù)字、符號(hào)等元素的數(shù)學(xué)定義相互混雜，在學(xué)生面前組成了一座不可逾越的高峰.回顧現(xiàn)階段的初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，針對(duì)定義所發(fā)起的數(shù)學(xué)教育已經(jīng)成為學(xué)生無(wú)法解決的難點(diǎn)問(wèn)題：大部分學(xué)生依舊采取“死記硬背”的方式記憶相關(guān)概念，對(duì)于數(shù)學(xué)定理、法則、定義的了解停留在文字層次，當(dāng)教師提出新的思考問(wèn)題時(shí)，學(xué)生根本無(wú)法結(jié)合公式、定理的概念對(duì)相關(guān)定義加以運(yùn)用.部分學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，其甚至無(wú)法完全掌握基礎(chǔ)數(shù)學(xué)概念，在這種情況下，學(xué)生很難在教學(xué)活動(dòng)中掌握數(shù)學(xué)知識(shí).

為幫助學(xué)生更深入的掌握數(shù)學(xué)概念，在發(fā)起教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，教師可嘗試?yán)梅蠢龔?qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)的講解工作，從相反的、相悖的角度思考定義問(wèn)題，幫助學(xué)生完成數(shù)學(xué)奠基.以初中數(shù)學(xué)教材《三角形全等的判定》的相關(guān)教學(xué)為例，在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)判定三角形全等的相關(guān)方法時(shí)，教師要求學(xué)生利用概念發(fā)起判定活動(dòng)，但要在短時(shí)間內(nèi)記憶“邊角邊”“角邊角”等概念，其學(xué)習(xí)壓力將陡然上升.為幫助學(xué)生更為全面掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，教師可將某個(gè)定義從數(shù)學(xué)教育活動(dòng)中提取出來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)相關(guān)概念提出反例.以下列定義為例“如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)邊及夾角對(duì)應(yīng)相等，則可判斷兩個(gè)三角形全等”，為幫助學(xué)生加深對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，教師可將“夾角”改為“一邊的對(duì)角”或“任意一角”，促使學(xué)生主動(dòng)對(duì)數(shù)學(xué)定義進(jìn)行證明.通過(guò)提出與原結(jié)論相悖的反例，學(xué)生能夠在短時(shí)間內(nèi)掌握數(shù)學(xué)概念的核心定義，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)加以應(yīng)用.

2.強(qiáng)化數(shù)學(xué)理解，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)

初中數(shù)學(xué)課堂中包含著較為復(fù)雜的抽象知識(shí)，對(duì)于學(xué)習(xí)能力較差的部分初中生來(lái)說(shuō)，其學(xué)習(xí)難度較大，很難在短時(shí)間內(nèi)掌握數(shù)學(xué)概念的核心定義.大部分學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解流于表面，當(dāng)教學(xué)活動(dòng)逐步深入時(shí)，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解愈發(fā)片面.合理應(yīng)用反例，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)中的“不合理內(nèi)容”，能夠提升學(xué)生對(duì)于有關(guān)知識(shí)的理解水平，促使其主動(dòng)回答數(shù)學(xué)概念.

在全新的教學(xué)要求下幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念，教師可將數(shù)學(xué)定義與教學(xué)活動(dòng)結(jié)合起來(lái)，以全新的方式解讀數(shù)學(xué)知識(shí)，使學(xué)生全面了解不同知識(shí)點(diǎn)之間的差異性，加深學(xué)生的記憶.以初中數(shù)學(xué)有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的相關(guān)學(xué)習(xí)為例，在這一板塊的教學(xué)活動(dòng)中，不難見(jiàn)到具有迷惑性的思考問(wèn)題，如“兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和或差一定是無(wú)理數(shù)”“兩個(gè)有理數(shù)的和或差一定是無(wú)理數(shù)”等，為幫助學(xué)生掌握有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的定義，教師可要求學(xué)生獨(dú)立發(fā)起運(yùn)算活動(dòng)，將“特殊”的運(yùn)算結(jié)果引入到當(dāng)前的課堂當(dāng)中.在學(xué)生實(shí)踐之后，其能夠利用“7-3”“5+7”等簡(jiǎn)單計(jì)算推翻問(wèn)題中所給出的結(jié)論，應(yīng)用有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的概念解決探究類(lèi)問(wèn)題.

初中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)表現(xiàn)出了一定的系統(tǒng)性、連貫性，各個(gè)教學(xué)知識(shí)相互影響，共同構(gòu)成了復(fù)雜的知識(shí)結(jié)構(gòu).在嘗試幫助學(xué)生掌握某一概念的過(guò)程中，其他已經(jīng)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)可能會(huì)重新出現(xiàn)在當(dāng)前的數(shù)學(xué)教育活動(dòng)當(dāng)中.在這種情況下，數(shù)學(xué)課程的教育價(jià)值與科學(xué)價(jià)值很難得到保障.

通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)概念的重新整理，教師能夠初步了解學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度，并將既有的知識(shí)作為反例引入到課堂教學(xué)活動(dòng)當(dāng)中，提升自身對(duì)于相關(guān)概念的理解水平.

反例能夠幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)思維上、能力上、學(xué)習(xí)技巧上的躍遷，針對(duì)這一特點(diǎn)，教師可在概念記憶、數(shù)學(xué)運(yùn)算、知識(shí)梳理等活動(dòng)中合理應(yīng)用反例，依靠相悖的、沖突的結(jié)論調(diào)動(dòng)學(xué)生的思考欲望，促使其主動(dòng)對(duì)教學(xué)問(wèn)題作出回應(yīng).反例是開(kāi)放的，教師在嘗試應(yīng)用反例的過(guò)程中，也應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)造開(kāi)放的學(xué)習(xí)環(huán)境.