混合彈流潤滑下內嚙合直齒輪動態特性磨損退化研究

寧志遠 ，陳長征

(沈陽工業大學 機械工程學院，沈陽 110870)

1 數學模型

1.1 黏著磨損

黏著磨損計算首先是由Archard提出，計算公式[13]為

(1)

式中：V為磨損體積；s為滑動距離；K為無量綱磨損系數；H為較軟接觸表面硬度；Ft為接觸表面載荷。

在干摩擦，混合或邊界潤滑的表面上的P點處的黏著磨損通常可被視為從初值逐漸演變的過程并且由微分方程描述為

(2)

式中：h為磨損深度；k為磨損系數；p為接觸點所受的壓強；v為接觸面相對滑移速度；t為時間。通過對t進行積分得到P點的磨損深度表示為

(3)

在對齒輪輕度磨損的研究中，可以將齒輪齒廓表面分成若干個微元，并且在該微元內的磨損假定為穩態，則可以通過簡化計算得出各個微元內的磨損深度為

hi,j=hi,j-1+kpi,j-1vjΔt

(4)

式中：i為P點所在的單元；j為在點P的磨損次數；Δt為時間步長，磨損過程如圖1所示。

圖1 內齒輪磨損過程Fig.1 Internal gear wear process

圖中：v1，v2分別為外、內齒輪在齒輪表面在嚙合方向上的運動速度；P1P2為齒輪嚙合線；點P為齒輪嚙合點；s為時間步長Δt內齒輪表面的相對滑移距離；hP為齒輪在嚙合點P處的磨損深度。

1.2 內齒輪動力學模型

本文以內嚙合直齒輪為研究對象，建立2個自由度的動力學模型，分別為內外齒輪的角位移θ1和θ2，具體如圖2所示。其中：Rb1，Rb2分別為外、內齒輪基圓半徑；T1，T2分別為輸入、輸出力矩；I1，I2分別為外、內齒輪轉動慣量；m1，m2分別為外、內齒輪的質量；Ke(t)為齒輪時變嚙合剛度；c(t)為時變嚙合阻尼；e(t)為齒輪齒廓誤差。

圖2 內嚙合直齒輪動態嚙合模型Fig.2 Dynamic meshing model of internal meshing spur gear

由圖2可以得到內嚙齒輪嚙合動力學方程為

(5)

式中：nz為參與嚙合的齒對數；F為嚙合齒對的嚙合力；Λ為摩擦參數表示摩擦力方向，取值為±1；ρ為接觸點圓弧半徑；μ為摩擦因數。為求解動態嚙合力，將角位移θ1和θ2轉化為嚙合方向的線位移y1，y2。假定Ft為外部載荷力，則可得到[14]

(6)

式中，S1i=ρ1i/Rb1，S2i=ρ2i/Rb2分別為外、內齒輪嚙合點處曲率半徑與其基圓半徑之比。對于任意嚙合齒對的動態嚙合力可以表示為

Fi=Kei(yr-e)

(7)

式中，yr為齒輪齒向相對運動，yr=y1-y2，并且當yr-e<0時齒輪嚙合點處的嚙合力為Fi=0，當yr-e>0時，Fi>0。將式(7)代入式(6)整理后可得

(8)

將黏性阻尼考慮進去整理后可得

(9)

(10)

(11)

1.3 時變嚙合剛度模型

彈性流體動壓潤滑分為3種潤滑狀態，通常采用膜厚比λ來判斷接觸表面潤滑狀態大部分齒輪傳動工作在膜厚比λ=0.5～1.5。在該潤滑條件下齒輪嚙合剛度模型為并聯模型，如圖3所示。

圖3 輪齒接觸剛度模型Fig.3 Gear tooth contact stiffness model

從圖3并聯模型中可以看出，嚙合剛度由齒面時變嚙合剛度Ks和油膜時變剛度接觸剛度Kl共同組成[16]。然而在混合潤滑條件下齒面與油膜各自的承載比例會隨著動態載荷的變化而變化，為準確描述綜合嚙合剛度Ke，將承載系數引入并聯模型中，用以描述在干摩擦與油潤滑摩擦之間的狀態。1/γ1和1/γ2分別為油膜和齒面承載系數，并且1/γ1+1/γ2=1可以通過粗糙峰變形公式進行確定。當接觸為干摩擦時，1/γ2=1即油膜承載系數為0，當接觸為油潤滑時，1/γ1=1即齒面承載系數為0。此時可以認為齒輪嚙合綜合剛度Ke可通過如下關系得到

Ke=K1/γ1+Ks/γ2

(12)

式中，Ks表達式[17]為

Ks=K1K2KH/(K1+K2+KH)=Ks(ξ)

(13)

式中：K1為內齒輪剛度；K2為外齒輪剛度；KH為接觸剛度；ξ為P點接觸參數。輪齒剛度Ki在P點的嚙合剛度根據最小勢能原理，可以表示為

Ki=(1/kix+1/kis+1/kin)-1

(14)

式中：kix為第i齒對的齒輪彎曲剛度；kis為第i齒對的軸向拉壓剛度；kin為第i齒對的扭轉剪切剛度，可分別表示為

(15)

式中：αP為P點壓力角；γP為P點接觸角厚度；G為剪切彈性模量；et(y)為y對應的齒輪截面齒厚；yb和yp分別為根截面和載荷截面對應的值；Cs為當量修正系數，這里取值為Cs=1.5[18]。

為求解油膜剛度公式可以根據彈流動壓公式中對油膜剛度的定義式算得到[19]

(16)

式中：F1為接觸區的油膜承載載荷可通過式(23)進行計算；h1為油膜中心位移；δ∞為接觸區穩態下油膜的壓縮變形，δ∞=-h1。

根據彈流潤滑建立無量綱油膜潤滑方程。首先將油膜變形進行無量綱化，得到無量綱油膜形變Δ∞，其定義式為

Δ∞=δ∞/c

(17)

式中，c為赫茲接觸變形，其表達式為

(18)

式中：E′為綜合彈性模量；RP為P點綜合曲率半徑。無量綱油膜形變Δ∞表達式為[20]

Δ∞(M,L)=1-p(L)Mq(L)

(19)

式中：M為無量綱載荷參數；L為無量綱潤滑參數；p(L)，q(L)均為無量綱潤滑參數L的函數。

為求解油膜剛度，需要首先將無量綱油膜形變Δ∞轉化為δ∞關于w的函數，通過將式(17)和式(19)聯立后將得到

(20)

根據定義式(16)對式(20)中的δ∞求導可得到油膜剛度。

1.4 摩擦力矩與承載系數

內嚙合齒輪摩擦因數μ的定義式為

μ=Ft/Ff

(21)

式中，Ff為總摩擦力。在混合彈流潤滑條件下，齒輪接觸處的摩擦力由油膜和齒面粗糙峰共同承擔。總的接觸載荷為Ft表達式為

(22)

式中：Fl為油膜承載力；Fs為齒承載力，因此總摩擦力Ff=Ffl+Ffs，其中Ffl為油膜摩擦力

Ffl=?A0τsdA

(23)

式中：τs為油膜剪切應力；A為赫茲接觸面積。同時，Ffs為齒面摩擦力

Ffs=fsFs

(24)

式中，fs為摩擦因數，這里取0.1。油膜與齒面承載系數1/γ1和1/γ2可以通過粗糙峰受力方程計算[21]

(σs/R)-0.418 941W0.39)-1.690 59]-0.591 5=

(25)

式中，各參數和函數可參照Wijnant研究中的參數定義及其計算公式進行確定。

2 數值求解

為描述齒輪動態磨損過程，將齒輪從齒廓漸開線與基圓的交點定為初始點，時間t記為0，在輪齒進入嚙合的時間記為t1，退出嚙合點的時間記為t2，進入單齒嚙合區的時間記為ta，退出單齒嚙合區的點記為tb；將齒輪從進入嚙合時間t1到退出嚙合時間t2等間距分割成100個時間步長。具體如下圖4所示。

圖4 齒輪嚙合各時間點Fig.4 Gears at various points in time

由于承載系數與嚙合力之間相互耦合，則需先求出初始嚙合力。同樣可以利用最小勢能法，計算齒輪初始載荷分配比[22]

(26)

式中：Ri為任一嚙合齒對的載荷分配比；ξ為嚙合參數與嚙合時間t呈正相關。初始嚙合力Fd0為

Fd0=Ri(ξ)Ft

(27)

將初始嚙合力Fd0作為迭代初值，代入式(31)求解出齒輪載荷系數1/γ1，1/γ2和分配載荷Fs，Fl，用于求解綜合接觸剛度，進而可以通過式(10)求解得出齒輪動態嚙合力Fd1，通過調整得到新的迭代初值。經過多次迭代后將得到的齒面動態嚙合力代入齒面磨損模型中，可求解出齒面磨損分布。

圖5 求解流程Fig.5 Solving process

表1中給出了齒輪尺寸參數，并以表中參數為例進行計算，討論了內嚙合齒輪的動態嚙合剛度Ke(包括齒面剛度Ks和油膜剛度Kl)的變化，以及在考慮動態嚙合剛度是齒輪的動態嚙合力Fd1沿齒面分布的變化。同時，研究了在動態載荷Fd1條件下其隨內嚙合齒輪表面磨損量h分布，以及磨損后動態載荷Fd1和動態承載系數1/γ1和1/γ2的影響。

表1 齒輪參數表Tab.1 Gear parameter table

3 結果分析

3.1 齒面磨損結果對比分析

圖等計算的內齒輪j次嚙合后動態磨損分布j=(0.5,1.0,…,5.0)×106Fig.6 et al.calculated the dynamic wear distribution of the internal gear after j times of meshing j=(0.5,1.0,…,5.0)×106

圖等計算的外齒輪j次嚙合后動態磨損分布j=(0.5,1.0,…,5.0)×106Fig.7 et al.calculated the dynamic wear distribution of the external gear after j times of meshing j=(0.5,1.0,…,5.0)×106

圖8、圖9分別為內、外齒輪在上述轉速下經歷過j=(0.5,1.0,…,5.0)×106次嚙合后的齒輪磨損分布。圖8中內齒輪在j=0.5×106和j=5.0×106時磨損分布均有4個峰值點。在j=0.5×106時，內齒輪磨損厚度峰值點橫坐標分別為-3.586 mm，-3.208 mm，-2.090 mm和1.935 mm。在j=5.0×106時，峰值點橫坐標分別為-3.550 mm，-2.779 mm，-1.868 mm和2.208 mm。外齒輪在j=0.5×106和j=5.0×106時的磨損厚度峰值橫坐標分別為，-2.090 mm，1.930 mm和-1.791 mm，2.208 mm。內、外齒輪的磨損厚度峰值點均向退出嚙合點有所移動。同時在峰值點的磨損厚度與嚙合次數之間呈非線性關系，并且沒有磨損突變的情況，進入段的磨損量明顯大于退出段的磨損量，這與文獻[23]中的試驗結果一致。該現象是由于磨損受到齒面沖擊的影響，使得齒面磨損顯示出非線性分布的特征。

圖8 內齒輪j次嚙合后動態磨損分布j=(0.5,1.0,…,5.0)×106Fig.8 Dynamic wear distribution of internal gear after j times meshing j=(0.5,1.0,…,5.0)×106

圖9 外齒輪j次嚙合后動態磨損分布j=(0.5,1.0,…,5.0)×106Fig.9 Dynamic wear distribution of internal gear after j times meshing j=(0.5,1.0,…,5.0)×106

3.2 齒輪嚙合動態性能退化分析

齒面磨損量很小，計算得到的齒面相對滑動速度的影響可以忽略，因此這里僅分析齒面載荷隨磨損的變化。

圖10中給出了Fd0隨嚙合周期t的分布。通過載荷分配比R(ξ)得到齒輪嚙合靜態嚙合力Fd0。靜態嚙合力作為迭代計算初值，在動態條件下的齒輪嚙合力的變化也是產生齒輪動態磨損與靜態磨損的區別的原因。同時，齒輪動態嚙合力也會隨著磨損的增加發生變化。

圖10 靜態嚙合力Fd0Fig.10 Static meshing force Fd0

圖11中給出了在j次嚙合后的動態嚙合力的變化趨勢。圖11中動態嚙合力相較于靜態嚙合力而言較為平滑，沒有了嚙合力的突變，且呈現雙峰分布，分別為1.005Tz和1.298Tz處。隨著磨損增加后在0.768Tz處會逐漸出現新的峰值。在1.298Tz處的峰值從1 264 N逐漸增大至1 740 N，增大了37.66%，并且峰值點橫坐標會向右移動至1.371Tz處。而在j=0.5×106和j=5.0×106時的最大嚙合力分別為2 236 N和2 193 N，隨磨損增大減小了1.92%。

圖11 在j次嚙合后齒輪動態嚙合力j=(0.5,1.0,…,5.0)×106Fig.11 Dynamic meshing force of gears after j mesh times j=(0.5,1.0,…,5.0)×106

圖12中為描述嚙合力增量隨嚙合次數的變化，以j=0.5×106次嚙合后得到的動態嚙合力為基準動態嚙合力，將j=(0.5,1.0,…,5.0)×106時的動態嚙合力減去基準嚙合力得到嚙合力增量分布。動態嚙合力增量共有6個峰值，對應橫坐標分別為0.036 56Tz，0.310 80Tz，0.585 00Tz，0.914 10Tz，1.261 00Tz和1.591 00Tz，意味著隨著齒輪不斷磨損，動態嚙合力將出現6個峰值點，齒面沖擊逐漸加劇。磨損后的嚙合力增量呈現逐漸收斂的趨勢。

圖12 在j次嚙合后動態嚙合力增量分布j=(0.5,1.0,…,5.0)×106Fig.12 Dynamic meshing force increment distribution after j mesh times j=(0.5,1.0,…,5.0)×106

從圖13中可以看出，在j=0.5×106時齒向相對位移最大值在0.987 2Tz處為0.002 355 mm，最小值在1.188 0Tz處為0.001 222 mm。隨著磨損增加，最大值則對應兩個橫坐標分別為0.400 2Tz和1.389 0Tz，并增加至0.002 823 mm，最小值在1.188 0Tz處為0.001 749 mm。分別增加了19.87%和43.12%。從圖14中可以看出在j=0.5×106時齒向相對速度最大值在0.895 8Tz處為0.336 9 mm/s，最小值在1.079Tz處為-0.670 7 mm/s。在j=5.0×106時最大值在1.298 0Tz處為0.592 8 mm/s，最小值在1.463Tz處為-0.436 4 mm/s，分別增加了78.99%和34.93%。齒向相對位移和相對速度的振幅分別增大了-5.21%和2.72%同時在在j=0.5×106時0.822 7Tz處有明顯的沖擊，隨著磨損增大，沖擊逐漸消失。隨著磨損增大，在單雙齒交替點處齒輪振動的相對位移和相對速度振幅變化不大，振動周期逐漸縮短，高頻振動增加，齒輪嚙合條件逐漸惡化。

圖13 在j次嚙合后嚙合相對位移分量j=(0.5,1.0,…,5.0)×106Fig.13 Displacement component of mesh line after j mesh times j=(0.5,1.0,…,5.0)×106

圖14 在j次嚙合后嚙合線速度分量j=(0.5,1.0,…,5.0)×106Fig.14 Velocity component of mesh line after j mesh times j=(0.5,1.0,…,5.0)×106

3.3 齒輪嚙合剛度退化分析

在馮松等[24]的研究中發現，在齒輪的正常均勻磨損對齒輪齒對的嚙合剛度影響有限，因此本文中忽略了磨損對齒輪齒面剛度Ks的影響，圖15中為齒面剛度Ks隨時間t的變化。

圖15 齒輪齒面剛度Ks隨時間變化趨勢Fig.15 Variation trend of stiffness Ks of gear tooth surface with time

為分析磨損量對油膜剛度Kl的影響，分別采用文獻[25]和本文的計算方法，計算了動載荷條件下j次嚙合后的齒輪油膜剛度Kl。

從圖16中可以看出同樣在齒面磨損量不斷增加的條件下，肖澤亮的計算方法得到的穩態載荷下的油膜剛度Kl曲線基本不會發生變化，沒有表現出嚙合的動態特征。而本文中的計算方法得到的Kl曲線卻有明顯分離的現象。在j=0.5×106和j=5.0×106時油膜剛度為雙峰分布，橫坐標分別為1.005 0Tz，1.316 0Tz和1.060 0Tz，1.389 0Tz，對應的油膜剛度大小分別為1.776×108N/m，1.730×108N/m和1.797×108N/m，1.962×108N/m。在左峰值點油膜剛度增大了1.18%，右峰值點油膜剛度增大了13.41%。結合前文分析可以認為，油膜剛度的變化主要是由于退出段齒輪動態嚙合力Fd1導致的。兩種計算方法得到的計算結果均表明進入段的油膜剛度要明顯小于退出段的油膜剛度。

圖16 j次嚙合后齒面油膜剛度Klj=(0.5,1.0,…,5.0)×106Fig.16 Oil film stiffness of the tooth surface after j mesh times j=(0.5,1.0,…,5.0)×106

油膜剛度對于齒輪磨損較為敏感，然而決定綜合剛度Ke的變化還取決于承載系數1/γ1和1/γ2，圖17中給出了不同嚙合次數下承載系數1/γ1和1/γ2時隨時間的變化規律。從圖17中可以觀察到的1/γ1和1/γ2在退出段有明顯的分離，隨著磨損的增大，油膜承載系數在退出段會有所減小。同時在j=5.0×106時在進入段油膜承載系數會產生突變，說明此時油膜的穩定性有所下降。但是由于油膜承載系數較小，使得油膜剛度對于綜合剛度貢獻較小，導致綜合剛度對磨損量變化不敏感。

圖17 j次嚙合后承載系數1/γ1和1/γ2的變化趨勢j=(0.5,1.0,…,5.0)×106Fig.17 Variation trend of bearing coefficient and after j mesh times j=(0.5,1.0,…,5.0)×106

圖18給出不同磨損量下的齒輪綜合嚙合剛度Ke。圖中的多條曲線并沒有產生分離，說明齒輪磨損對綜合剛度Ke基本沒有影響。

圖18 j次嚙合后的綜合剛度K分布j=(0.5,1.0,…,5.0)×106Fig.18 Distribution of comprehensive stiffness K after j mesh times j=(0.5,1.0,…,5.0)×106

4 結 論

(1)通過齒面磨損計算結果可以發現，在動態磨損過程中，進入段磨損大于退出段的磨損。隨著嚙合次數的增加，內、外齒輪的磨損峰值點會向退出嚙合點偏移，并且在進入段的磨損逐漸減弱，在退出段的磨損逐漸增強，呈非線性特征。

(2)通過齒輪動態特性可以看出，隨著嚙合次數增大，齒輪嚙合力呈多峰分布，齒向最大相對位移、相對速度增幅分為19.887%和78.99%，振動頻率逐漸增大，內嚙合齒輪嚙合條件逐漸惡化；但是動態嚙合力增量逐漸收斂，齒輪齒向速度沖擊點逐漸消失，磨損可以改善內嚙合直齒輪齒面沖擊。

(3)通過不同嚙合次數下的油膜剛度可以看出，隨著嚙合次數增加，油膜剛度在進入段逐漸減小，在退出段逐漸增加，峰值分別增加1.18%和13.41%，而綜合嚙合剛度無明顯變化，油膜剛度對齒輪動力學特性影響較小。

(4)退出段油膜承載系數增大，可以有效抑制退出段的齒面磨損，從而抑制齒輪均載水平的下降，并且在嚙合次數較少時，磨損對承載系數影響有限，在嚙合次數較多時，承載系數發生突變，油膜穩定性下降。本文對齒輪磨損后動力學模型的退化研究對齒輪磨損與壽命預測有指導和參考價值。