構造一元二次方程解題

于志洪

在解答某些非一元二次方程的問題時，若能抓住問題特征則可以通過構造一元二次方程來解決.下面舉例介紹.

例1 已知a，b，c為實數，且a + b + c = 0，abc = 1，求證：a，b，c中必有一個不小于[32.]

解析：由所給條件的形式，容易聯想根與系數的關系，因為a，b，c必有一個大于0，不妨設c > 0，則a + b = -c，[ab=1c]，則a，b是方程[x2+cx+1c=0]的兩個根，再由方程有兩個根，可得Δ = [c2-4c≥0]，得[c≥43=3283>2783=32]，即[c>32.]

點評：若條件中有[x1+x2=s]，[x1x2=t]，可利用根與系數的關系構造方程[x2-sx+t=0.]

例2 已知[a=122+18-28]. 求[a2+a4+a+1]的值.

解析：因為[a=122+18-28=-2+（2）2-4×4×（-2）2×4]，

所以a是一元二次方程[4a2+2a-2=0]的一個實數根.

故[a2=24]（[1-a]），所以[a4=18]（[1-a]）2.

則[a4+a+1=18]（[a+3]）2.

由已知可得a > 0，則[a2+a4+a+1=] [24]（[1-a]）[+24]（[a+3]） [=2.]

點評：若條件中出現[x=-b±b2-4ac2a]結構時，則可構造方程[ax2+bx+c=0]（[a≠0]）.

例3 已知實數x，y滿足[4x4-2x2=3]，[y4+y2=3]，求[4x4+y4]的值.

解析：由[4x4-2x2=3]，得[-2x22][ + -2x2=3]，由[y4+y2=3]，得（[y2]）[2+y2=3]，所以[-2x2]與[y2]是關于z的方程[z2+z-3=0]的兩個根，則由根與系數的關系，得[-2x2+y2=-1，-2x2·y2=-3.]

所以[4x4+y4=-2x2+y22+2·2x2·y2=1+2×3=7.]

點評：若條件中有結構相同的兩個等式[ax21+bx1+c=0]，[ax22+bx2+c=0]（[a≠0]），則可構造方程[ax2+bx+c=0]（[a≠0]）.

例4 設a為實數，[M=] （[2+3-a]）2，[N=4]（[a-1-2-3]），求a為何值時，M > N.

解析：因為M > N，則（[2+3-a]）2 [- 4]（[a-1-2-3]） > 0，

故可以1，[2+3-a]，[a-1-2-3]為系數構造一元二次方程，

即[x2+] （[2+3-a]）[x+ ]（[a-1-2-3]） = 0.

因為[1+]（[2+3-a]） + （[a-1-2-3]）[=0]，所以方程必有一個根為1.

即[x1=1，x2=] [a-1-2-3]. 當[x1≠x2]，即a[ ≠] 2 + [2+3]時，Δ > 0，即M > N.

所以當[a≠2+2+3]時，方程有兩個不相等的實數根，此時有M > N.

點評：當條件中出現[b2-4ac]結構時，可聯想根的判別式[Δ=b2-4ac，]構造方程[ax2+bx+c=0（a≠0）.]

例5 已知關于x的方程[x3-ax2-2ax+a2-1=0]只有一個實數根，求實數a的取值范圍.

解析：由于初中沒有學過一元三次方程的解法，于是轉換視角將關于x的一元三次的方程改寫為關于a的一元二次方程.

即原方程化為[a2-（x2+2x）a+（x3-1）=0]，[Δa=] [-（[x2+2x]）][2-4]（[x3-1]）= （[x2+2]）[2]，對任意x均有[Δa] > 0，由一元二次方程的求根公式得[a=x2+2x±（x2+2）2]，于是[2a=x2+2x±] （[x2+2]），即[2a=x2+2x+] （[x2+2]），或[2a=x2+2x-]（[x2+2]），由[2a=x2+2x-] （[x2+2]），得x = a + 1，于是[2a=x2+2x+]（[x2+2]）必須無實數解，即[x2+x-] （a - 1） = 0無實數解，故[Δx=12+4]（a - 1） < 0，解得[a<34.]

點評：當條件等式中含有幾個元時，可以確定一個主元構造一元二次方程解題.