一元二次方程趣題三則

于志洪

一、卡丹摘石榴問題

卡丹是16世紀意大利數學家、哲學家、醫生.卡丹對數學有特殊愛好，曾經巧妙地解答了如下一道頗受歐洲人喜愛的數學題：

例1 一群人走進果園去摘石榴，第一個人摘了1個石榴，第二個人摘了2個石榴，第三個人摘了3個石榴，以此類推，后進果園的人都比他前面的那個人多摘了1個石榴，最后這群人剛好把果園的石榴全部摘完，如果平均分配，每個人可以分到6個石榴.共有多少個人去摘石榴？

解：設這群人共有[x]人，則有1 + 2 + 3 + … + [x] = [6x]. 根據高斯求和方法：1 + 2 + 3 +? … + [100=12×100×（100+1）]，知1 + 2 + 3 + … + [x] = [12x]（[x+1]），則原方程可變形為[12x]（x + 1）[=6x]，整理得[x2-11x=0]，故[x]（x - 11） = 0，解得[x1=0]，[x2=11]. 很明顯[x1=0]不合題意，應舍去.

答：共有11個人去摘石榴.

二、卡丹幾何求根問題

卡丹只要稍有閑暇便從事數學研究，他對方程的解法尤其感興趣.

除了用求根公式解一元二次方程外，他研究了用幾何方法求根. 請看他的例子和解法.

例2 試用幾何方法給出方程[x2+6x-91=0]的正根.

解：由圖中正方形和矩形面積關系可得：

[x2+2×3×x+3×3=x2+6x+9=（x+3）2].

由已知可得[x2+6x=91]，所以（[x+3]）2 [=100]，兩邊開平方，得[x+3=±10].

解得[x=7]或[x=-13]（不合題意，舍去）.

他的解法巧妙、別致、新穎，令人贊嘆.

三、《三國演義》中周瑜的年壽

羅貫中的小說《三國演義》中的周瑜人稱周郎，不僅才華橫溢，而且一表人才，風流倜儻.有一年的中考數學試卷中，命題老師就以周瑜的年齡為題，編了一首數學詩.

這道題借用蘇軾的詩詞《念奴嬌·赤壁懷古》的頭兩句“大江東去浪淘盡，千古風流人物”烘托出追憶古人勛業的意境，強調對古文化的閱讀理解，貫通數學的應用，激發學子孜孜以求、報效國家的志氣，確實是一道融文、史、數的跨學科綜合創新試題. 現介紹如下：

例3 讀詩詞解題，算出周瑜去世時的年齡.

大江東去浪淘盡，千古風流數人物.而立之年督東吳，英年早逝兩位數.

個位平方與壽符，十位恰小個位三.開動腦筋算一算，多少年華屬周郎？

詩的大意你一定能理解，“而立之年”是指30歲，就是說周瑜在30歲時當上了東吳的大都督，只可惜英年早逝，去世時的年齡也是一個兩位數，其中個位數的平方就等于他的年齡，并且十位上的數比個位上的數小3.

解法1：設周瑜逝世時的年齡的個位數字為x，則十位數字為x - 3，

故依詩意得[x2=10（x-3）+x]，即[x2-11x+30=0]，解得[x1=5]，[x2=6.]

當x = 5時，周瑜的年齡為25歲，不到而立之年，不合題意，舍去;當x = 6時，周瑜的年齡為36歲，符合題意.

答：周瑜逝世時的年齡為36歲.

解法2：設周瑜逝世時的年齡的十位數字為x，則個位數字為x + 3，

故依詩意得[（x+3）2=10x+x+3]，即[x2-5x+6=0]，解得[x1=2]，[x2=3.]當x = 2時，周瑜的年齡為25歲，不到而立之年，不合題意，舍去;當x = 3時，周瑜的年齡為36歲，符合題意.

答：周瑜逝世時的年齡為36歲.