一元二次方程的中考新題型

陳希

一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是中考的必考點(diǎn). 下面舉例介紹中考里與一元二次方程有關(guān)的新題型，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)借鑒.

考點(diǎn)1：立足新定義，判斷方程根的情形

例1 （2020·河南）定義運(yùn)算：[m☆n=mn2-mn-1]. 例如：[4☆2=] [4×22-4×2-1=7]. 則方程[1☆x=0]的根的情況為（ ）.

A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C. 無(wú)實(shí)數(shù)根 D. 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

分析：根據(jù)新定義，把新定義條件下的方程化成一元二次方程的一般形式，然后計(jì)算根的判別式，根據(jù)結(jié)果的屬性判斷即可.

解析：∵[m☆n=mn2-mn-1]，∴[1☆x=x2-x-1]，∴[x2-x-1=0]，

∵[a=1]，[b=-1]，[c=-1]， ∴[Δ=b2-4ac=]（-1）[2-4×1× ]（-1）[ =5]>[0]，

[∴]原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故選A.

點(diǎn)評(píng)：解此類問(wèn)題時(shí)要掌握如下解題要領(lǐng)：（1）準(zhǔn)確理解新定義的運(yùn)算，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程;（2）將方程化成一般形式;（3）計(jì)算判別式Δ = b2 - 4ac;（4）根據(jù)判別式的正負(fù)性判斷選擇.

考點(diǎn)2：立足方程的根，探求字母的范圍

例2（2020·貴州·黔西南）已知關(guān)于x的一元二次方程（m-1）[x2] + 2x + 1=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）.

A. m<2 B. m ≤ 2

C. m<2且m ≠ 1 D. m ≤ 2且m ≠ 1

分析：根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零和根的判別式Δ ≥ 0，構(gòu)建關(guān)于m的一元一次不等式組，解不等式組即可得出m的取值范圍.

解析：根據(jù)題意，得m - 1 ≠ 0，且Δ ≥ 0，∴[m-1≠0，22-4×1×（m-1）≥0，]

解得m ≤ 2且m ≠ 1. 故選D.

點(diǎn)評(píng)：解此類問(wèn)題時(shí)要掌握如下解題要領(lǐng)：（1）確定二次項(xiàng)系數(shù)的非零性;（2）根據(jù)根的個(gè)數(shù)確定判別式的正負(fù);（3）求解兩個(gè)不等式;（4）確定解集.

考點(diǎn)3： 判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理的綜合

例3（2020·四川·南充）已知x1，x2是一元二次方程[x2] - 2x + k + 2 = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（1）求k的取值范圍.

（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得等式[1x1+1x2] = k - 2成立？如果存在，請(qǐng)求出k的值;如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：第（1）問(wèn)利用根的判別式計(jì)算即可;第（2）問(wèn)需要將根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系定理、完全平方公式的變形三者有機(jī)結(jié)合計(jì)算.

解析：（1）k ≤ -1.

（2）根據(jù)題意，得[x1] + [x2] = 2，[x1][x2] = k + 2.

∴[1x1+1x2=x1+x2x1x2=2k+2]，∴[2k+2] = k - 2，

∴[k2] - 6 = 0，解得[k1] = [6]，[k2] = -[6]，

又∵k ≤ -1，∴k = -[6]，

∴存在實(shí)數(shù)k，使得等式[1x1+1x2] = k - 2成立，k的值為-[6].

點(diǎn)評(píng)：解答時(shí)要做到“三個(gè)準(zhǔn)確”：一是根的判別式選擇要準(zhǔn)確，二是根與系數(shù)關(guān)系定理具體化要準(zhǔn)確;三是完全平方公式的變形要準(zhǔn)確.

由上述例題可知，解答一元二次方程考題，要扎實(shí)做到如下三點(diǎn)：

1.謹(jǐn)防方程的陷阱. 當(dāng)明確方程身份是一元二次方程時(shí)，解答時(shí)要注意確保二次項(xiàng)系數(shù)的非零性;當(dāng)方程身份不確定時(shí)，要學(xué)會(huì)運(yùn)用分類思想求解，不能形成思維定式，走進(jìn)解題的誤區(qū).

2.熟練掌握兩種不同意義的根的判別式. 一是常見(jiàn)三根法模型，即分兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根、兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根和無(wú)實(shí)數(shù)根求解;二是有無(wú)根法模型，即有實(shí)數(shù)根和無(wú)實(shí)數(shù)根.

3.當(dāng)根和根與系數(shù)關(guān)系定理同時(shí)使用時(shí)，解答時(shí)要做到“二具體二變形”：一具體是指根據(jù)方程根的屬性將判別式具體化，二具體是指根據(jù)一元二次方程的一般式，將根與系數(shù)關(guān)系定理具體化;一變形就是把代數(shù)式用兩根之和與兩根之積表示，二變形是靈活運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行科學(xué)的變形.