一類熱彈耦合問題的奇攝動解

帥 欣，包立平

(杭州電子科技大學理學院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

耦合熱彈性問題是熱彈性力學中最一般的問題。它考慮溫度同變形的相互作用，即不但溫度會產生變形，而且變形也要產生或消耗能量，從而影響溫度。這樣，在熱傳導方程中有一個包含應變的附加項，稱為溫度場和應變場的耦合項。熱傳導方程和熱彈性方程不再是獨立的，必須聯立才能求解溫度、位移和應力。文獻[1]采用直接有限元方法來求解基于L-S型廣義熱彈性理論的窄條薄板受熱沖擊作用的動態響應問題，結果表明，該方法在求解L-S型廣義熱彈性耦合的一維問題數值解上具有很高的精度。文獻[2]應用非Fourier熱傳導定律構建了單層材料中溫度場模型，得到內外解的存在唯一性，再通過余項估計得到漸近解的一致有效性，從而得到無界域上溫度場的分布，描述了非Fourier溫度場的具體形態。文獻[3]分析了求解熱傳導方程的幾種差分格式，并介紹使用MATLAB編程求解偏微分方程的方法。文獻[4]建立了斜拉橋鋼索二階雙曲型偏微分方程模型，討論了加權平均格式差分方程解的收斂性，并運用MATLAB對差分方程的數值解進行求解。文獻[5]針對一類帶小參數的二階雙曲型方程，提出基于有限差分格式的自適應移動網格方法，給出具體的移動網格算法，改進了均勻網格上求解的結果。文獻[6]討論了具有擴散，微溫度和微濃度的圓的一個熱彈性邊值問題的顯式解。本文討論一類熱彈耦合模型并將其簡化為求解熱傳導方程和雙曲方程，再求解出相應方程的內外解，最后通過數值分析得出首項的數值解。

1 模型建立

一類熱彈耦合模型如下：

(1)

(2)

式中，(x,t)∈Ω，ε為正參數，φ1(x)，φ2(x)，φ3(t)，φ4(t)，α1(x)，α2(x)，α3(t)，α4(t)為已知任意階連續可微函數，同時假設：

(1)Ω=[0,L]×[0,T]，R=[0,L]；

(2)k為熱傳導系數，ρ為密度，a,b為常數，記a/ρ=m2,b/ρ=c。

2 形式展開

奇攝動關于方程解可以展開成含小參數的冪級數形式的正則部分和邊界層部分理論，對方程(1)的解做正則展開得到正則部分解：

T(x,t,ε)=T0(x,t)+εT1(x,t)+ε2T2(x,t)+…

(3)

比較ε同系冪系數，可得：

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

類似方程(4)的求解，可對方程(5)進行求解。給出式T(x,t)的合成展開式：

(9)

代入方程(1)得：

則有p0(x,0)=T0,t(x,0)-φ2(x),pj+1(x,0)=pj,t(x,0)+Tj,t(x,0)，再比較ε同次冪系數，得到：

(10)

(11)

類似方程(4)、方程(5)，可對方程(10)、方程(11)求解。再對方程(2)的解作正則展開，得到：

(12)

將式(12)代入方程(2)，比較ε同次冪系數，得到：

(13)

(14)

(15)

類似方程(13)的求解，可解出方程(14)。對方程(2)的解U(x,t)作合成展開有：

(16)

比較ε的同次冪系數，可得：

qj+2=2qj+1,t+m2qj,xx+cpj,x-qj,t t

(17)

此時可得q0(x,t)=q1(x,t)=0。

3 余項估計

定理1方程(1)的解

T*(x,t,ε)=T0+…+Tnεn+p0εe-t/ε+…+pn-1εne-t/ε+Rεn+1

的余項R滿足：

證明首先考慮方程(1)的解

T*(x,t,ε)=T0+…+Tnεn+p0εe-t/ε+…+pn-1εne-t/ε+Rεn+1

(18)

將余項R代入方程(1)得到：

(19)

式中，G(x,t)=-Tn,t t-pn-1,t te-t/ε，由前面對方程(5)、方程(11)求解可知G(x,t)在閉區域Ω上連續，則存在常數M1，使得?ΩGdxdt≤M1，將方程(19)等式兩邊同乘2Rt，并在區域Ω上積分可得：

(20)

經過化簡可得：

(21)

(22)

(23)

(24)

定理2方程(2)的解

U*(x,t,ε)=U0+…+Unεn+q0εe-t/ε+…+qn-1εne-t/ε+Sεn+1

的余項S滿足：

S≤cM(x,t)∈Ω

證明首先將方程(2)解

U*(x,t,ε)=U0+…+Unεn+q0εe-t/ε+…+qn-1εne-t/ε+Sεn+1

(25)

的余項S代入方程(2)，可得：

(26)

4 數值分析

在區域Ω上定義均勻網格為：

xi=ihi=0,1,2,…,M,M=L/h
tj=jτj=0,1,2,…,N,N=T/τ

(27)

(28)

采用中心差商將方程(13)化為：

(29)

5 數值算例

令m2=1，k=c=1，h=0.01π，τ=0.01，L=π，T=1，取T0=e-x+t，p0=sin(x)et，U0=e-x+t，Ω=[0,π]×[0,1]，分別得出其邊界條件。首項誤差圖形如圖1所示。

圖1 首項誤差圖

通過圖1可以看出，對于T0，U0數值差分格式得出的數值解誤差在可接受范圍內，當選取步長更小時，誤差會更小，由此得出其數值解是有效的。雖然p0的誤差較大，但是根據所構造漸近解形式，系數ε可使得其值很小，不影響整體解。

6 結束語

本文討論一類熱彈耦合方程在有界區域上帶邊界條件的問題。在溫度場基礎上，考慮彈性場，解耦溫度場與彈性場方程，并通過求解溫度場方程，得出彈性場變化。后期將針對不能解耦情況下的一維熱彈耦合問題展開研究，繼而探究二維、三維情形，并分析間斷熱傳導系數下的熱彈耦合問題。