阿波羅尼斯圓及其應用

孫春生 王玲玉

【摘 要】 阿波羅尼斯圓在高中教材中沒有直接提出，但卻一直是高考命題的熱點.對阿波羅尼斯圓知識的考查，即可作為文化試題直接考查，也可逆向考查線段之間的數(shù)量關系，還常以線段比例的形式，隱含在解三角形或立體幾何相關知識中，成為在知識交匯處命題的著眼點.

【關鍵詞】 阿波羅尼斯圓;幾何性質(zhì);知識交匯

圓是軸對稱圖形與中心對稱圖形，有其特殊性質(zhì)與特定解題方法，是高中需要掌握的層次內(nèi)容.圓時常出現(xiàn)在高考試題之中，更是各地質(zhì)檢的命題常態(tài).其中命題：平面上一點C到兩個定點A、B的距離之比滿足CACB=λ（λ>0，λ≠1），則C點的軌跡是圓，是希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯的主要研究成果之一，此圓也被稱為“阿波羅尼斯圓”，阿波羅尼斯圓相關問題在02年全國卷、05年江蘇卷、06年四川卷、08年江蘇卷、13年江蘇卷、15年湖北卷等高考題中都出現(xiàn)過.由阿波羅尼基斯圓的定義，易推出有以下性質(zhì)：

評注 本例第二問解法1直接用解析法，設點P（x，y），N（3，t），由PMPN=λ（λ>0）得PM2=λ2PN2，利用兩點間距離公式獲解;解法2充分利用阿波羅尼斯圓的性質(zhì)，通過線段MN的內(nèi)分點與外分點為直徑的兩端點，就是內(nèi)角平分線與外角平分線與直線MN的交點，回歸幾何本原解決問題.

《中國高考評價體系》提出“一核四層四翼”的評價體系，其中四層即“核心價值、學科素養(yǎng)、關鍵能力、必備知識”是素質(zhì)教育目標在高考中的提煉，回答“考什么”的問題.盡管阿波羅尼斯圓在教材中未明確提出，只是在課本習題中出現(xiàn)過求曲線方程，但由于阿波羅尼斯圓涉及到平面上點的距離，三角形角平分線的性質(zhì)，屬于必備知識，因此需要進行適度拓展學習，以便提高我們解決問題的關鍵能力，提升我們的學科素養(yǎng).

作者簡介 孫春生，男，中學高級教師，江西省骨干教師，吉安市學科帶頭人.主要研究高考命題方向，試題變式教學策略.先后榮獲市優(yōu)秀教師;縣優(yōu)秀教師;市青年崗位能手;指導學生奧賽多人次獲全國二等獎;發(fā)表論文100余篇;主編教輔資料20余本.

王玲玉，女， 校優(yōu)秀教師，主要研究試題溯源題根教學，課堂變式高效教學，多次獲省市論文評比一等獎，發(fā)表教育教學論文多篇.