數學實驗要“透過現象看本質”

練瓊鶯

[摘? 要] 文章以“你有多少種畫平行線的方法”一課為例，談在數學實驗教學中教師如何設計、展示活動，如何引導學生設計、描述和總結實驗操作流程，進而從不同的實驗操作方法中思考并提煉出問題的本質.

[關鍵詞] 數學實驗;實驗操作;本質

數學實驗是學生通過動手動腦，以“做”為支架的數學教與學的活動方式，是在教師的引導下，學生運用有關工具，通過實際操作，在認知與非認知因素參與下進行的一種發現數學結論、理解數學知識、驗證數學結論的數學活動[1]. 如果只有實際操作，而缺乏對操作現象的分析與思考，那就可能失去發現數學結論、理解數學知識、驗證數學結論的大好機會，從而成為“表面的熱鬧”. 那么，如何引導學生透過實際操作中的現象體會數學的本質呢？下面筆者結合“數學活動：你有多少種畫平行線的方法”進行闡述，不當之處，敬請指正.

總體分析

1. 內容分析

“你有多少種畫平行線的方法”是一節數學活動課，活動內容主要是對“過一點畫已知直線的平行線”的畫法進行探索和闡釋. 其中，對平行線多種畫法的探索需要化歸為“三線八角”模型，對畫法的闡釋需要回歸到平行線的判定定理，因此，這節活動課是平行線判定定理的拓展和應用.

2. 學情分析

在小學階段，學生會用平移三角尺的方法畫平行線，卻不知其所以然. 學習了平行線的性質和判定定理之后，學生對之前畫平行線的方法有了進一步的理解. 在此基礎上，當畫圖工具減少時，該如何準確地畫出平行線？當沒有畫圖工具時，該如何折出平行線？這些問題對學生來說很新奇，也具有一定的挑戰性.

3. 活動環節總體設計思路

教師通過不斷減少畫圖工具，引導學生“畫一畫”“說一說”“折一折”，讓學生經歷畫法的探究過程及闡釋過程，使學生更深刻地認識畫平行線的本質及證直線平行的方法，培養學生言之有據和復習總結的學習習慣.

教學過程

1. 活動1：畫一畫

問題提出：關于平行線，我們已經學了判定定理和性質定理，這節課我們來認識畫平行線的方法. 那么，過直線外一點如何畫這條直線的平行線呢？

活動要求：請大家拿出準備好的紙、筆及畫圖工具（直尺、三角尺等），先在紙上畫一條直線a，并取直線外一點P（如圖1），過點P畫直線a的平行線. 你能想到幾種畫法？如何說明你畫的直線與已知直線平行？

小組活動：學生動手操作，自主探究;教師巡視指導，發現問題并及時解決.

活動展示：收集不同的畫法，并傳屏至白板，讓有相應畫圖方法的學生闡釋原理. 下面是教學片段.

師：老師收集了一些同學的畫法，大家請看屏幕. 請相應的同學認領圖片并站起來回答問題. 請說一說這幅圖（如圖2）的畫法和畫法依據.

生1：我的畫法是平推三角尺，依據是“同位角相等，兩直線平行”.

師：哪兩個角相等呢？我沒有找到，請你標出來.

生1：（上臺標注，此處略）這兩個角相等，而且等于30°.

師：很好！其實這是一個“三線八角”模型（板書圖3），可以用平行線的判定定理來證明. 請大家思考這里的直尺和三角尺的作用分別是什么.

生2：直尺相當于截線，平推三角尺可以保持角相等，這樣就有同位角相等了.

師：精辟！用這一原理來畫圖的同學請舉手.

生3：我想到了很多畫法，不僅可以平推（三角尺中的）30°角，還可以平推90°角、60°角、45°角！

生4：把三角尺換成直尺也行！直尺有90°角. （學生頻頻點頭）

生5：不用直尺和三角尺，我用兩本書也可以！（教師走過去，把畫法拍下來投屏，如圖4，引起一片轟動）

師：妙！前面都用到了兩種工具，一個充當截線，另一個平推以產生相等的同位角.

師：（出示學生畫法圖5、圖6）大家請看屏幕. 有同學僅用了一把直尺，這樣畫出來的是平行線嗎？

生6：是！都是90°.

師：請你上臺并標出來.

生6：依據是“同旁內角互補，兩直線平行”.

師：沒錯. 這里巧妙地利用了直尺與刻度線互相垂直的特殊位置關系，通過畫垂線的方法畫出了平行線. （板書圖7）

師：僅用一種工具，還有別的畫法嗎？

生7：用一把三角尺也可以，只要有刻度就行.

生8：沒有刻度也可以，借用尺子天然的直角. （教師拍照傳屏，如圖8、圖9）

生9：不用尺子，用書也可以，書也有天然的直角. （學生點頭）

師：是的，這幾種方法都是利用畫垂線的方法來畫的. 請大家總結用這種方法畫平行線的一般步驟.

生10：先畫已知直線的垂線l1，再畫垂線l1的垂線l2 .

師：很好. 垂線l1實際上是“三線八角”模型中的截線，垂線l就是所要畫的平行線. （板書一般步驟：1.先畫截線;2.畫截線的垂線，即為平行線）

2. 活動2：折一折

問題提出：如果不能借助其他工具，只能用折紙的方法，你能折出平行線嗎？

問題1：如圖10，在一張半透明的長方形紙片ABCD內部任取一點P，請過點P折出長方形的一邊AB所在直線的平行線，并說明理由.

？搖？搖？搖？搖

活動要求：折一折，試一試，畫出折痕，并說明理由.

活動展示：請學生上臺演示折法并說明. 下面是教學片段.

生11：這樣翻折（如圖11），（展開后）∠AEF和∠A都是直角，根據“同旁內角互補，兩直線平行”，可知EF與AB平行.

師：為什么∠AEF是直角？

生11：由翻折可知∠DEF=∠AEF，又∠DEF+∠AEF=180°，所以∠DEF=∠AEF=90°.

師：嗯. 那照你這樣折疊，對折法有什么要求嗎？

生11：翻折后點D和點C都要在矩形短邊上，且折痕要經過點P.

師：同學們聽明白了嗎？此處應該有掌聲. （掌聲響起）

師：這里實際上也是在構造“三線八角”模型. 那截線是哪一條呢？

生（齊）：AD.

師：是的，其實這是將其化歸為我們前面“畫垂線”的方法——巧妙地利用了矩形天然的垂線（AD是垂線l1），再通過對折垂線l1（即截線），得到截線的垂線（板書圖12）.

問題2：如圖13，在一張半透明的正方形紙上任取一點P，然后畫一條線段a，如何折出過點P且與a平行的線？

活動要求：折一折，試一試，畫出折痕，并說明理由.

活動展示：請學生上臺演示折法并進行說明. 下面是教學片段.

生12：對折a，得到a的垂線b，這樣就變成了“問題1”. 接下來，折疊b，使折痕經過點P，得到b的垂線c（如圖14）.

師：你很會思考. “問題2”的截線需要自己折，折完其實就變成“問題1”了. 學習就是要多思考，多總結方法，將復雜的問題轉化為我們已經解決的問題. 這節課，我們通過畫和折的方法得到了平行線，你們有什么收獲嗎？

生13：畫或者折已知直線的平行線，其實就是構造“三線八角”模型.

生14：當工具少時，作垂線的方法很有效.

……

教學思考

1. 顯化操作痕跡，讓數學實驗有跡可循

這節課設計了4個問題，分別是用2個工具畫、僅用1個工具畫，以及沒有工具時需要用折一折的方法解決的2個問題. 這4個問題相互關聯、層層遞進，但實質都是構造“三線八角”模型. 如何讓學生更快地發現問題的本質以及問題之間的關聯性，是這節課的關鍵. 學生最熟悉的方法是平推法，平推法的結果就是兩條互相平行的直線. 如果僅從結果來看，很難證明所畫直線與已知直線平行. 因此，實驗操作時，有必要顯化操作痕跡，讓學生從過程中思考證明方法，這樣還能為解決后續更復雜的問題做鋪墊.

那么，如何顯化操作痕跡呢？首先，應關注操作中的細節. 平推法中直尺的作用是什么？三角尺的作用又是什么？當學生明白直尺的作用實質是構造“三線八角”模型中的截線，而平推三角尺是為了得到相等的同位角時，學生的思維就能夠快速打開了，進而把直尺和三角尺用同等功效的物體來代替. 其次，將操作過程抽象為幾何圖形. 在平推法中將直尺抽象為直線，在折紙時描出折痕等，每一種方法對應相應的幾何圖形. 最后，從目的出發，尋找操作和證明的關鍵信息，并在幾何圖形中有效地表示出來，如角標等. 這樣便容易從幾個圖形中找到共性并發現問題的本質.

2. 依據說理，讓數學實驗講道理

這節課尤其重視每一種方法對應的證明方法. 通過想一想、說一說，學生會發現證明都需要歸結為平行線的判定定理. 那么，當學生無從下手或找不到解決方法時，會自然而然地聯想到前面構造“三線八角”模型的方法. 如，“問題1”解決起來比較困難，很多學生雖然能很快折出大概的樣子，但是說不清是怎么折的以及怎么證明. 當“需要證明”這個問題驅動著學生往下思考時，他們就容易想到要有截線，這樣就能比較順利地想到特殊位置的截線，即作垂線的方法了.

在數學實驗中，學生可能會碰到說不明白的操作，如“問題1”，生11開始回答時是用比較含糊的“這樣翻折”來表述的，然后得到兩個互補的同旁內角. 此時教師可通過“由果索因”追問學生，使學生厘清操作，從而完善表達.

3. 數學實驗要透過“操作的現象”看“數學的本質”

首先，對于“畫一畫”中的平推這一操作，教師應該讓學生明白平推的作用是什么——產生相等的同位角. 其次，對于“折一折”中對折線段的操作，教師應讓學生思考這一操作能產生什么——實質是平分平角，從而產生直角. 如果能明白關鍵操作的本質，那么學生就能化難為易，舉一反三.

總之，數學實驗要講道理，要讓操作合理化、數學化，讓方法多樣化，并在多樣的方法中總結、提煉出共性，讓學生在實驗中感悟數學問題的本質.

參考文獻：

[1]董偉林等. 初中數學實驗的理論與實踐研究[M]. 南京：江蘇鳳凰科學技術出版社，2016.