過(guò)程突破聯(lián)想，反思類比探究

蘆雪珍

[摘? 要] 類比探究題是中考常見(jiàn)的問(wèn)題類型，問(wèn)題解析具有一定的難度，同時(shí)突破過(guò)程有著鮮明的特點(diǎn)，即結(jié)合類比思想，通過(guò)對(duì)比、聯(lián)想是該類問(wèn)題突破的關(guān)鍵. 文章將對(duì)一道考題開(kāi)展類比探究，反思問(wèn)題解析思路，總結(jié)類比考題解析方法，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 類比;探究;幾何;模型;思想方法

問(wèn)題呈現(xiàn)

【問(wèn)題提出】

（1）如圖1所示，在四邊形ABCD中，連接AC，BD，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，將△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，可得到△ADE，其中點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，同時(shí)已知點(diǎn)C，D，E三點(diǎn)位于同一直線上，則△ACE為_(kāi)_____三角形，BC，CD，AC的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____;

【探索發(fā)現(xiàn)】

（2）如圖2所示，在⊙O中，已知AB為直徑，點(diǎn)C為弧AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，CD，AC，BC和BD，且有AD

【拓展發(fā)現(xiàn)】

（3）如圖3所示，在等腰直角三角形△ABC中，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，如果AC=13，平面內(nèi)存在一點(diǎn)E，且AE=10，CE=13，當(dāng)點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn)時(shí)，PQ=______.

過(guò)程解析

（1）猜想△ACE為等腰直角三角形，則有BC+CD= AC.

如圖4所示，根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)可知△BAC≌△DAE，則AC=AE， BC=DE，∠BAC=∠DAE. 又因?yàn)椤螧AD=90°，則∠BAC+∠CAD=90°，結(jié)合AC=AE可證△CAE為等腰直角三角形，所以CE= AC，即BC+CD= AC.

（2）該問(wèn)探究圓上動(dòng)點(diǎn)所形成的相關(guān)線段長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系，從問(wèn)題設(shè)置來(lái)看，可參考第（1）問(wèn)的解法，挖掘圖像中的特殊三角形，結(jié)合幾何性質(zhì)即可推出線段關(guān)系，有如下兩種解析思路.

思路一：由已知可知AC=BC，∠ACB=90°，圖像中具有等線段共端點(diǎn)的特點(diǎn)，類比第（1）問(wèn)的解析方法，易聯(lián)想到可將△ADC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至AC與BC相重合，如圖5所示. 結(jié)合旋轉(zhuǎn)特性可知CD=CE，∠DCE=∠ACB=90°，∠BEC=∠ADC，則△CDE為等腰直角三角形，有∠CED=45°.

又因?yàn)锳B是圓的直徑，并且AC=BC，可知△ABC為等腰直角三角形. 四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，則有∠ADC+∠ABC=180°，可推知∠BEC=∠ADC=135°，此時(shí)有∠BEC+∠CED=180°，所以B，E，D三點(diǎn)共線，則BD-AD= CD，即CD= （BD-AD）.

思路二：第（1）問(wèn)解析時(shí)結(jié)合了四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，且利用了△BAD的等腰直角三角形特性. 第（2）問(wèn)解析時(shí)可參考第（1）問(wèn)的思路，結(jié)合圓的對(duì)稱性質(zhì)，將圖像轉(zhuǎn)化為第（1）問(wèn)的圖像，即將△ACB沿著AB進(jìn)行折疊，可得四邊形AEBD，后續(xù)類比第（1）問(wèn)的結(jié)論即可推導(dǎo)線段關(guān)系.

結(jié)合上述分析，將△ACB沿著AB進(jìn)行折疊，可得四邊形AEBD，如圖6所示. 類比第（1）問(wèn)結(jié)論可得 DE=AD+BD，在Rt△CDE中使用勾股定理，可得CD2=CE2-DE2，進(jìn)一步推導(dǎo)可得CD2=AB2- （AD+BD）2= （AD-BD）2，從而可求得CD= （BD-AD）.

（3）該問(wèn)在等腰直角三角形中進(jìn)行圖形構(gòu)建，看似簡(jiǎn)單，但點(diǎn)E的位置沒(méi)有指明. 故解析的首要問(wèn)題是確定點(diǎn)E的位置，需根據(jù)問(wèn)題條件，思考作圖方法. 題干設(shè)定了線段AE和CE的長(zhǎng)度，故點(diǎn)A和C的位置固定，點(diǎn)E為動(dòng)點(diǎn)，可考慮以點(diǎn)A為圓心，單位長(zhǎng)度10為半徑作圓，再以點(diǎn)C為圓心，單位長(zhǎng)度13為半徑作圓，則兩圓的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)E的位置，如圖7所示.

顯然點(diǎn)E的位置有兩個(gè)，需要分別根據(jù)點(diǎn)E的位置進(jìn)行圖形補(bǔ)全，然后分類討論具體情形. 分析前兩問(wèn)的解析過(guò)程可知，第（1）問(wèn)的背景圖形為四邊形，圖形中有一組對(duì)角為直角，一個(gè)直角的邊長(zhǎng)相等，第（2）問(wèn)的背景圖形同為四邊形，圖形中一邊對(duì)應(yīng)兩個(gè)直角，同樣有一組直角邊相等. 而在第（3）問(wèn)中，沒(méi)有出現(xiàn)直角，但存在等腰直角三角形和斜邊的中點(diǎn)，類比前兩問(wèn)的解析過(guò)程，可考慮構(gòu)造等腰三角形，構(gòu)建“三線合一”模型，從而構(gòu)建直角，下面分類討論.

情形一，點(diǎn)E位于AC邊的左側(cè)時(shí)，連接CQ和CP，如圖8所示. 觀察圖形可發(fā)現(xiàn)該圖與第（1）問(wèn)中的四邊形具有相同特征，可直接利用第（1）問(wèn)的結(jié)論，即AQ+CQ=? PQ，所以 PQ=17，可解得PQ= .

情形二，點(diǎn)E位于AC邊的右側(cè)時(shí)，同樣參考第（2）問(wèn)的圖形解析方法，連接CQ和PC，如圖10所示.

結(jié)合第（2）問(wèn)的結(jié)論可得出PQ= （CQ-AQ），代入線段長(zhǎng)可得PQ= （CQ-AQ）= （12-5）= .

綜上可知，PQ= 或 .

解后總結(jié)

從上述問(wèn)題的解析思路來(lái)看，問(wèn)題設(shè)計(jì)具有鮮明的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，其探究方法和解析思路具有一定的參考價(jià)值，下面對(duì)考題進(jìn)行深入探究，并總結(jié)解決問(wèn)題的方法策略.

1. 問(wèn)題思考

深入反思問(wèn)題的設(shè)計(jì)流程，問(wèn)題分為三個(gè)環(huán)節(jié)：?jiǎn)栴}提出→探究發(fā)現(xiàn)→拓展延伸，顯然問(wèn)題的“拓展延伸”部分與“問(wèn)題提出”和“探究發(fā)現(xiàn)”部分有著極大的關(guān)聯(lián)，故需要深入研讀問(wèn)題的圖像特征，探究其中的共同之處，采用類比探究的方式來(lái)獲得結(jié)論. 可將問(wèn)題歸結(jié)為類比探究題，問(wèn)題的圖像和解析思路具有極高的類比性. 同時(shí)問(wèn)題中出現(xiàn)了一些特殊的幾何圖形，如解析圖形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題時(shí)結(jié)合了對(duì)角互補(bǔ)四邊形，探究邊長(zhǎng)關(guān)系引入了“一線三等角”模型.

2. 方法總結(jié)

中考中常出現(xiàn)幾何類比探究題，通常以一類共性條件和特殊條件為基礎(chǔ)，由特殊到一般，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜構(gòu)建問(wèn)題，逐步深入，問(wèn)題解析的思想方法一脈相承. 問(wèn)題探究的一般方法如下：

第一步，根據(jù)問(wèn)題條件以及關(guān)聯(lián)條件解決第一問(wèn);

第二步，利用上一問(wèn)的方法類比探究下一問(wèn)，若不可行，則可將兩問(wèn)相結(jié)合，探尋不可類比的原因和出現(xiàn)變動(dòng)的特征，然后依據(jù)不變特征探尋新的方法.

同時(shí)，在類比探究過(guò)程有如下幾個(gè)探究技巧：

（1）找特征，如中點(diǎn)、特殊角、圖形折疊等;

（2）找模型，如相似模型（母子型，A字形，八字形）、三線合一、全等模型等;

（3）解析照搬，解析時(shí)可照搬上一問(wèn)的方法及思考問(wèn)題的解析思路，如照搬輔助線，照搬全等、相似等;

（4）找結(jié)構(gòu)，探尋問(wèn)題不變的結(jié)構(gòu)，利用不變結(jié)構(gòu)的特征來(lái)逐步剖析，通常不變結(jié)構(gòu)及對(duì)應(yīng)解析方法如下——

①直角，可作橫平豎直的輔助線，構(gòu)建相似或全等模型;

②中點(diǎn)，作倍長(zhǎng)線段，通過(guò)幾何全等來(lái)轉(zhuǎn)移邊和角;

③平行，探究其中的相似關(guān)系，利用相似比例來(lái)轉(zhuǎn)化線段關(guān)系.

總之，類比探究題的核心解法是“類比”，包括圖像類比和解法類比，問(wèn)題解析的過(guò)程要把握其中的“特殊”，包括特殊的幾何要素（點(diǎn)、線、角），特殊關(guān)系（等量關(guān)系、倍長(zhǎng)關(guān)系），特殊模型（面積模型、全等或相似模型）等. 解析過(guò)程時(shí)刻注重問(wèn)題的前后銜接，充分利用總結(jié)的問(wèn)題結(jié)論，簡(jiǎn)化解析過(guò)程，提高解題效率.

教學(xué)反思

1. 類比分析，關(guān)注知識(shí)遷移

類比探究題通常在中考以壓軸題的形式出現(xiàn)，問(wèn)題的綜合性極強(qiáng)，側(cè)重考查學(xué)生知識(shí)綜合與遷移能力，因此問(wèn)題分析過(guò)程需要結(jié)合知識(shí)考點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)想遷移. 如由中點(diǎn)聯(lián)想等腰三角形的“三線合一”，由直角聯(lián)想直角三角形的“勾股定理”，由平行聯(lián)想線段的相似比例關(guān)系，即將單純的幾何特性遷移到幾何圖形上，由此上升到更具價(jià)值的幾何結(jié)論上. 因此在實(shí)際教學(xué)中，建議引導(dǎo)學(xué)生理解“類比”的思想內(nèi)涵，理解類比探究題的知識(shí)關(guān)聯(lián)，立足教材知識(shí)要點(diǎn)開(kāi)展拓展探究，挖掘關(guān)聯(lián)知識(shí)，構(gòu)建知識(shí)體系.

2. 類比思考，重在思維過(guò)程

類比思考是類比探究題突破的根本方法，是基于問(wèn)題的相似成分開(kāi)展的比較、聯(lián)想探究，故需要注重問(wèn)題的思維過(guò)程，將數(shù)學(xué)對(duì)象已知特性遷移到另一對(duì)象上，然后結(jié)合條件進(jìn)行推理. 教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生的思維活動(dòng)，合理設(shè)問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生推理，通常類比探究題構(gòu)建三個(gè)環(huán)節(jié)，可采用知識(shí)探究的方式. 教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生歸納特征、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、驗(yàn)證結(jié)論、總結(jié)結(jié)論、應(yīng)用解題，循序漸進(jìn)開(kāi)展問(wèn)題思考，由淺入深地將問(wèn)題上升到數(shù)學(xué)結(jié)論層次. 引導(dǎo)過(guò)程合理設(shè)問(wèn)，可設(shè)計(jì)具有啟發(fā)性的問(wèn)題，讓學(xué)生聯(lián)想教材知識(shí)要點(diǎn)，也可引出數(shù)學(xué)模型，利用模型結(jié)論來(lái)進(jìn)行推理等.

3. 類比探究，滲透思想方法

實(shí)際上，類比是重要的思想方法，在教學(xué)探究時(shí)要滲透該思想方法，讓學(xué)生感悟其中的思想內(nèi)涵，掌握類比探究的方法思路. 另外類比探究題的解析過(guò)程可能涉及數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸轉(zhuǎn)化、方程等思想，如上述利用數(shù)形結(jié)合理解圖像、挖掘幾何結(jié)論，利用分類討論探尋點(diǎn)E的位置，由方程思想求解關(guān)鍵參數(shù)等. 教學(xué)中可結(jié)合具體考題逐步滲透思想方法，解后反思時(shí)關(guān)注涉及的數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)思想構(gòu)建考題思路的具體過(guò)程. 在教材內(nèi)容教學(xué)時(shí)重點(diǎn)關(guān)注知識(shí)背景的思想內(nèi)涵，如函數(shù)知識(shí)中的數(shù)形結(jié)合、代數(shù)方程的方程思想、幾何相似或全等中的分類討論等，充分利用考題探究、知識(shí)教學(xué)來(lái)提升學(xué)生的核心素養(yǎng).