關于二次函數中45°角存在性問題的解法探究

張軍

[摘? 要] 二次函數中的45°角存在性問題十分常見，問題突破的關鍵是構造對應角度，然后結合函數與幾何知識進行逐步推理論證. 角度構造的解法有很多，下面將剖析問題背景，結合實例具體講解三種構造策略，并進行方法總結，提出教學建議.

[關鍵詞] 45°角;解法;等腰直角三角形;模型;隱圓

問題背景

二次函數與幾何結合是中考重要的考查形式，其中的存在性問題尤其常見，包括線段存在性、面積存在性、幾何角存在性等，而幾何角存在性問題又可分為一般角和特殊角兩大類存在性問題. 45°角有著一定的特殊性，是等腰直角三角形的內角之一，也是直角的二等分角. 二次函數中45°角的存在性問題的解法具有一定的代表性，總結解法可提升學生解決存在性問題的能力，下面深入探究45°角存在性問題的解法.

解法探究

45°角存在性問題屬于代數與幾何的綜合性問題，問題解析需要綜合二次函數與幾何特性，突破的難點有以下幾點：一是問題中往往以動點的形式出現，構建45°角模型是解析的難點;二是問題往往依托45°角探究動點的存在，構建角度與點的關系、轉化函數與幾何條件存在一定的難度. 下面結合對應例題具體講解45°角存在性問題的解題策略.

策略一：構造等腰，“改斜為正”

構造45°角是解析的關鍵一步，解析時可以把握45°角與等腰直角三角形內角的關聯，通過構造等腰直角三角形來生成45°角，同時通過幾何變換來“改斜為正”，便于后續線段、點坐標的求解.

例1? 如圖1所示，已知拋物線y=x2-2x-3與x軸的交點為A和B（點A位于點B的左側），與y軸的交點為C，點D是拋物線的頂點，點Q0，- . 點P是拋物線上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交BQ于點E，試分析是否存在點P使得∠PBE=45°？若存在，請求出點P的坐標;若不存在，請說明理由.

解析：審題可知45°角的頂點為定點，所求點P是拋物線上的一個動點，位置不確定，而點E隨點P的移動在直線BQ上運動. 解析時可將45°角放置在直角三角形中，可考慮過點P作BQ的垂線，構造等腰直角三角形，然后結合相關條件進行問題解析，分點P位于直線BQ下方、直線BQ上方兩種情形進行討論，其中易得點B（3，0），可求得直線BQ的解析式為y= x- .

情形一：當點P位于直線BQ的下方時，過點P作PM⊥BQ，設垂足為M，構造等腰直角三角形△PMB，此時出現了斜直角，可對斜直角進行“改斜為正”.

過點M作y軸的平行線，與x軸的交點設為點G，再過點P作x軸的平行線，與MG的交點設為點H，如圖2所示. 可設點Mm， m- ，易證△BPM為等腰直角三角形，又知BM=PM，可證△BGM≌△MHP，所以BG=MH=3-m，MG=HP= - m，則點P的坐標為 m+ ， m- . 由于點P位于拋物線上，將其代入拋物線的解析式中，整理可得m2-4m+3=0，解得m1=1，m2=3（舍去），所以點P的坐標為（2，-3）.

情形二：當點P位于直線BQ的上方時，過點M作x軸的平行線，并分別過點P和B作該直線的垂線，如圖3所示，可構造△PMH≌△MBG，進而可推得BG=MH，表示點M的坐標，由線段長轉化點P坐標，代入拋物線解析式即可求得點P的坐標.

過點M作MG∥x軸，再過點B作BG⊥MG于點G，過點P作PH⊥MG，與MG交于點H，如圖3所示. 可設點Mm， m- ，易證△PMH≌△MBG，可推得BG=MH= - m，MG=HP=3-m，則可求得點P的坐標為 m- ， - m. 將點P的坐標代入拋物線的解析式中，整理可得9m2-28m+3=0，解得m1= ，m2=3（舍去），所以點P的坐標為- ， .

綜上可知，存在點P使得∠PBE=45°，滿足條件的點P有兩個，坐標分別為（2，-3）或- ， .

評析：上述在探究45°角存在性問題中，充分利用了等腰直角三角形的幾何特征，構造了等腰直角三角形，然后通過“改斜為正”構造全等圖形，轉移線段長表示出關鍵點的坐標，最后采用代入法完成求解，其中的“等腰構造，改斜為正”是方法的核心.

策略二：構造輔助圓，定理轉化解析

45°角存在性問題中也可利用圓的性質來轉化構造，即構造輔助圓，利用圓中同弧所對圓周角等于圓心角的一半先構造90°的圓心角，然后再作圓確定關鍵點的位置，最后結合圓半徑相等及相關幾何性質逐步突破.

例2? 如圖4所示，已知拋物線y=x2-2x-3與坐標的x軸相交于點A和B（點A在點B的左側），與y軸的交點為點C，點P是拋物線對稱軸上的一個動點，試分析是否存在點P使得∠APC=45°？若存在，請求出點P的坐標;若不存在，請說明理由.

解析：審題可知45°角的頂點P是一個動點，則所求∠APC的兩邊不固定，無法通過旋轉構造全等三角形來轉移線段長，此時可嘗試以所求角的固定對邊為斜邊來構造等腰直角三角形△ACF，然后以點F為圓心，FA長為半徑作圓，利用圓周角定理即可推得該圓與拋物線對稱軸的交點滿足∠APC=45°. 后續進行幾何推理，表示線段長即可求出點P坐標，具體過程如下.

如圖5、圖6所示，作AC的中點E，將點A繞點E順時針旋轉90°，得到點F，則△AFC為等腰直角三角形. 以點F為圓心，FA長為半徑作圓，與拋物線對稱軸x=1的交點為點P，則∠APC=45°，圓與對稱軸的交點即為所求點P.

過點F作FG⊥x軸于點G，過點C作CH⊥FG，交GF延長線于點H，可證△AFG≌△FCH，則有AG=FH，GF=CH. 結合拋物線解析式可得點A（-1，0），B（3，0），可求得點C（0，-3）. 設CH=m，則AG=OA+OG=m+1，則GH=2m+1=3，解得m=1，所以點F的坐標為（1，-1），結合勾股定理可求得AF= = ，又知PF=AF，所以點P的坐標為（1，1+ ）或（1，-1- ）.

評析：上述在探究45°角存在性問題時引入了輔助圓，結合圓周角定理構造了90°的圓心角，然后進行位置推導，由勾股定理確定關鍵點坐標. 其中充分利用了圓的性質求點坐標，由全等模型推導45°角，由勾股定理推導線段長.

策略三：構建等角模型，模型結論調用

實際解題時還可以通過構造“一線三等角”模型，結合三角形相似或全等性質解決問題，常見的模型為“一線三直角”全等模型，則位于中間的三角形為等腰直角三角形，可生成45°角，從而完成角度構建.

例3? 如圖7所示，已知拋物線的解析式為y=- x2+bx+c，點A（3，2）位于拋物線上，且與直線y=-x+ 交于點B和C，其中點B的坐標為（4，m）.

（1）求拋物線的解析式;

（2）設點M為拋物線的頂點，分析在y軸上是否存在一點Q，使得∠AQM=45°？若存在，請求出點Q的坐標;若不存在，請說明理由.

解析：（1）代入點坐標可求得拋物線的解析式為y=- x2+x+ ;

（2）探究45°角存在，需要構建相應的幾何角，可引入“一線三直角”全等模型，利用模型的特殊性即可構造等腰直角三角形，生成45°角，過程如下.

如圖8、圖9所示，作AN⊥AQ，交直線QM于點N，可推知△ANQ為等腰直角三角形，設點Q的坐標為（0，m），又知點M的坐標為（1，4），則可得直線QM的解析式為y=（4-m）x+m，構造三垂直全等模型，可得△QEA≌△AFN，則AF=QE=m-2，NF=AE=3，所以點N的坐標為（m+1，5），將點N代入直線QM的解析式中，可得（4-m）（m+1）+m=5，可解得m1= +2，m2=2- ，所以點Q的坐標為（0，2+ ）或（0，2- ）.

評析：上述在探究45°角存在性問題時引入了“一線三直角”全等模型，利用模型特點構造了所需角度，后續通過性質推導求出了相應的點坐標. 該類問題中往往存在多解情形，在實際解題時要注意分類討論，結合題干條件進行選項排除.

總結反思

上述充分把握函數與幾何知識關聯探究了45°角存在性問題的解法策略，三大解法均圍繞45°角進行幾何構建，其中策略一直接構造等腰直角三角形，策略二借助隱圓，策略三引入“一線三直角”全等模型，在實際探究時需要關注以下兩點.

關注一：關注定理、模型特性，深入理解知識內涵. 教材的定理、定義是模型構建的基礎，深刻理解其中的知識內涵，掌握對應的拓展技巧極為重要. 如相似模型中的比例關系、全等模型中的全等關系、將軍飲馬模型中的軸對稱轉化等. 教學時注意引導學生關注知識特點，總結定理結論，充分應用拓展，擴寬學生的解題視野.

關注二：注重解析過程，培養解題思維. 考題探究的思維過程極為重要，要引導學生思考問題突破的關鍵點、難點，探索問題突破的思維方向，從整體上構建問題的解析思路. 實際探究時可采用分段突破的方法，將問題難點進行細化，分階段逐步轉化條件，引導過程合理設問，挖掘問題特點，對比方法特點，從根本上使學生掌握問題解法.