深挖相似定理，突破問題難點

余春妹

[摘? 要] 二次函數與幾何是中考的考查重點，其中的相似三角形存在性問題尤為重要. 問題解析要關注其中的相似對應，把握相似三角形的判定定理，從函數與幾何的關聯視角切入，合理構建解題思路. 文章將深入探究函數背景中的相似三角形問題，結合實例問題進行探討，突破難點并進行拓展探究，以饗讀者.

[關鍵詞] 二次函數;幾何;相似;最值;分類討論

問題綜述

函數中因動點產生的相似三角形問題十分常見，通常以探究的形式綜合構建，如求解圖形相似時點的坐標，如三角形相似時邊長大小或直線斜率等. 對于三角形相似時點的坐標問題，可先分析已知三角形的幾何特征，然后根據相似對應關系進行分類討論. 如若問題沒有給出三角形的邊長，則可以根據函數解析式以及直線與曲線的交點坐標來表示各邊長，之后根據相似關系構建方程. 下面結合實例加以探究.

問題探究

問題：如圖1所示，二次函數y=ax2+bx+2的圖像與x軸相交于點A（-1，0），B（4，0），與y軸相交于點C.

（1）試求函數的表達式;

（2）點P為函數在第一象限內圖像上的一點，過點P作PQ⊥BC，垂足為Q，連接PC.

①求線段PQ的最大值;

②如果以點P，C，Q為頂點的三角形與△CBO相似，試求點P的坐標.

思路分析：（1）點A和B為拋物線與x軸的交點，根據交點坐標可將拋物線設為y=a（x+1）（x-4），整理可得a=- ，即可求出函數的解析式.

（2）①點P為拋物線上的動點，PQ可視為是△PBC底邊BC上的高，可設出點P的坐標，然后利用幾何性質推導點Q的坐標，將PQ長表示為關于坐標參數的函數，后續利用幾何性質即可確定PQ的最大值.

②該問探究以點P，C，Q為頂點的三角形與△CBO相似，其中的相似對應未定，則需要分類討論，結合三角形相似時的等角關系或邊長對應關系來逐步求解.

過程探究：（1）點C為拋物線與y軸的交點，可得點C（0，2），又知A（-1，0），B（4，0），設拋物線的表達式為y=a（x+1）·（x-4），將點C坐標代入其中，可得-4a=2，可解得a=- ，則函數的表達式為y=- x2+ x+2.

（2）①作PN⊥x軸于N，交BC于點M，如圖2所示，由點B和C坐標可得BC=2 ，根據點B和C的坐標可求得直線BC的解析式為y=- x+2. 設點P的坐標為t，- t2+ t+2，則可推得點M的坐標為Mt，- t+2，有PM=- t2+2t. 分析可證△PQM∽△BOC，由相似性質可得 = ，即PQ=? PM，所以PQ=- t2+? t=- （t-2）2+? ，分析可知，當t=2時，線段PQ取得最大值，且最大值為? .

②以點P，C，Q為頂點的三角形與△ABC相似，由于三角形中存在直角，則相似情形有兩種，分別為△PCQ∽△CBO或△CPQ∽△CBO，下面分類討論.

情形一：當∠PCQ=∠OBC時，△PCQ∽△CBO，此時PC∥OB，則點P關于直線x= 對稱，可求得點P的坐標為（3，2）;

情形二：當∠CPQ=∠OBC時，△CPQ∽△CBO. 由于∠OBC=∠NPQ，則∠CPQ=∠MPQ，又知PQ⊥CM，可證△PCM為等腰三角形，故PC=PM，結合點的坐標可得t2+- t2+ t2=- t2+2t2，可解得t= ，此時點P的坐標為 ， ;

綜上可知，滿足條件的點P的坐標有兩個，分別為（3，2）和 ， .

評析：上述是關于二次函數與幾何的綜合題，第二問分為兩小問，第11問求線段的最大值，把握動點軌跡，建立線段函數是突破關鍵，第22問討論三角形相似時點P的位置，結合相似判定定理開展條件探究，分類討論相似情形十分重要. 從圖像構建形式來看，總體上屬于函數與幾何的動態問題，把握知識聯系，利用幾何性質切入可降低思維難度.

解析探討

上述考題第二問中的相似三角形存在性問題是核心之問，具有一定的解析難度，突破的難點有兩個：一是沒有設定相似對應關系，需要分類討論;二是三角形相似的判定定理較多，如何確定. 下面基于問題難點進行深入反思.

1. 相似關系的探討

確定三角形的相似對應關系是后續定理分析的前提，相似對應關系不明是引出分類討論、造成問題多解的重要因素. 在不設定特殊條件的情形下需要討論三種情形，若存在特殊角度或點位置限制，則會減少討論情形. 上述題目中只給出△CPQ與△CBO相似，但沒有設定對應情形，故需要結合問題進行分類討論，但由于直角的存在，有∠PQC=∠COB，使得最多存在兩種相似情形. 若將上述問題變更如下：若△PCQ∽△CBO或△CPQ∽△CBO，試求點P的坐標，則由于問題的相似對應關系確定，故無須分類討論.

2. 判定定理的探討

考題探究除了需要關注解析過程外，還需關注其中的解法定理，總體上三角形存在性問題的突破思路為假設相似存在，結合相似三角形判定定理推導圖像特性，根據幾何特性與函數關系進行結論推導. 其中確定適用的判定定理在突破時尤為重要，由教材內容可知相似三角形有三大判定定理，其中定理1是關于三角形的兩邊與夾角，定理2是關于三角形的兩角，定理3是關于三邊比例關系. 判定定理1和2均含有對應角相等的條件，通常探究相似三角形存在性問題從尋找一組對應角相等入手，定理的解題步驟如下：

對于判定定理1，解題應用分三步：第一步，探尋一組對應角相等;第二步，分兩種情形列比例方程;第三步，解方程檢驗，確定最終結論.

對于判定定理2，解題應用分兩步：首先確定一組等角，然后探究另一組角相等.

判定定理3的解題應用較為少見，需要根據三邊對應成比例來列連續比例式，然后構建方程組求解.

上述相似三角形存在性問題的解題依據為判定定理2，探討兩個直角三角形相似只需再確定一組等角即可. 需要注意的是，若其中一組銳角相等，則直角三角形的銳角三角比確定，可直接將其轉化為討論另一直角三角形的三角比.

拓展探究

三角形相似與三角形全等之間有著緊密的聯系，其中的對應邊關系是兩者轉化的紐帶，即對于相似三角形，若有一組對應邊相等則可轉化為全等三角形. 在實際探究時可以相似三角形為中間關系來探討三角形全等，即首先確定兩三角形為相似關系，再引入一組等邊.

例題：（2020年陜西中考卷）如圖3，拋物線y=x2+bx+c經過點（3，12）和（-2，-3），與兩坐標軸的交點分別為A，B，C，它的對稱軸為直線l.

（1）求該拋物線的表達式;

（2）P是該拋物線上的點，過點P作l的垂線，垂足為D，E是l上的點. 要使以P，D，E為頂點的三角形與△AOC全等，求滿足條件的點P、點E的坐標.

解析：這里主要探究考題的第（2）問，由坐標點可確定拋物線的解析式為y=x2+2x-3. 根據條件可確定點A（-3，0），B（1，0），C（0，-3），即AO=CO=3，則△AOC為等腰直角三角形. 由作圖過程可知∠PDE=90°，故只需PD=DE（構建相似三角形），且長度為3（構建全等三角形），具體如下.

如圖4，當PD=DE=3時，以P，D，E為頂點的三角形與△AOC全等. 可設點P（m，n），當點P在拋物線對稱軸的右側時，可得m=2，故n=5，則點P（2，5），可推得點E的坐標為（-1，2）或（-1，8）.

而當點P位于拋物線對稱軸的左側時，由拋物線的對稱性可得P（-4，5），此時點E的坐標同上.

綜上可知，點P的坐標為（2，5）或（-4，5）;點E的坐標為（-1，2）或（-1，8）.

評析：上述是關于拋物線背景下的全等三角形存在性問題，解析時充分把握三角形全等的判定定理來構建思路，解析過程雖未直接點明，但本質上是三角形相似關系的特殊性衍生. 探究學習時要關注幾何中特殊的關聯定理，深刻理解知識本質.

總結思考

函數背景中的相似三角形存在性問題存在一定的解析難度，問題的綜合性較強，在探究學習時需要關注以下幾點：一是深刻理解三角形相似的判定定理，結合函數背景探究定理的使用方法及條件的構建思路;二是關注函數與幾何的綜合方式，把握點、線、面、形之間的幾何與代數關聯，即可由拋物線解析式求點，由點定線，由線解面，同時可逆向推導.

開展綜合性考題的探究教學，旨在引導學生掌握問題的解析方法，培養學生的解題思維，同時通過探究過程來提升學生的核心素養，后者是教學的重點所在. 因此教學中要立足考題，開展思想方法的滲透，借助函數與幾何作圖過程培養學生的建模能力，在問題的解析過程中滲透數形結合思想，在多情形探討中滲透分類討論思想. 教學中倡導設問引導探究，關注學生的思維活動，讓學生參與探究過程，充分提升學生的核心能力.