關于二次函數中面積問題的探究與思考

王莉璠

[摘? 要] 面積最值、等面積、面積比值是二次函數面積問題常見的三種類型，探究三類問題的解法策略及思路十分重要，可提升學生解決綜合性問題的能力. 文章將深入剖析問題難點，基于問題類型開展解法探究并反思教學，提出相應建議.

[關鍵詞] 二次函數;面積;類型;解法;思想

問題綜述，難點剖析

二次函數與圖形面積相結合是中考考查的重點，常作為壓軸題綜合考查學生的能力. 該類問題的得分占比往往不高，主要原因是學生難以構建合理的模型轉化幾何面積. 從圖形特點和問題形式來看，主要有兩大難點. 難點一，所涉圖形多不規則，需要采用合適的方法構建面積模型;難點二，問題往往涉及動點，屬于幾何動態問題，圖形變化多樣，需要采用一定的方法化動為靜. 從問題形式來看可分為面積最值、等面積存在性和面積比值三種情形，因此總結上述三種問題的解法，構建解題策略，即可通解函數與面積問題.

分類探究，策略總結

函數與面積問題的構建形式較為多樣，但總體來看可分兩步進行：第一步，分析圖形特點，構建面積模型;第二步，結合面積模型，轉化、分析求解. 解析過程要充分利用數學的兩大思想：數形結合和模型思想.

題型一：面積最值問題

面積最值，即求面積的最大值或最小值，在函數背景下通常有兩種設問形式，可直接求面積最值，也可求面積取得最值時的動點坐標等.

解析方法有兩種，一是采用鉛垂法，過三角形的頂點作垂線，則可將原三角形分割為兩個同底三角形，兩個三角形的底就為垂線段，高則為兩個定點的橫向距離;二是采用切線法，原理與圓的切線相類似，以平行于三角形固定邊的一條直線來逐步平移靠近二次函數的圖像，當只有一個交點時，該點則為三角形取得面積最大值時的交點.

例1? 如圖1所示，已知拋物線經過點A（-1，0），B（3，0）和C（0，3）三點.

（1）求拋物線的解析式;

（2）若點M是線段BC上異于端點的點，過點M作MN∥y軸，設與拋物線的交點為N，設點M的橫坐標為m，請用含有m的代數式表示MN的長.

（3）在（2）的條件下，連接NB和NC，分析當m為何值時，△BNC的面積取得最大值.

解析：（1）點A和B位于x軸上，可直接設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），將點C（0，3）代入其中，可解得a=-1，整理可得拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

（2）求MN的長，只需表示出點M和N的坐標即可，已知點B和C的坐標，可求得直線BC的解析式為y=-x+3. 點M的橫坐標為m，則點M（m，-m+3），由于MN平行于y軸，且點N位于拋物線上，則點N（m，-m2+2m+3）. 綜合點M和N坐標可得MN的長為MN=-m2+3m（0

（3）求△BNC取得最大面積時m的值，MN將其分割為兩個同底三角形（如圖2），即△CMN和△BMN，則其面積可表示為S =S +S = MN·x -x ，代入線段MN的長和點坐標可得S = ·（-m2+3m）·3=- m- 2+ （0

評析：上述第三問是關于二次函數與面積最值的問題，實際上考題三小問在逐步引導學生利用鉛垂法求解面積最值. 第一問確定拋物線的解析式，第二問作三角形的鉛垂線，推導三角形的底，在完成前兩問的基礎上可直接構建關于圖形面積的函數模型，由函數性質求最值. 因此使用鉛垂法求面積最值分三步進行：第一步，作鉛垂線，分割三角形，表示底邊線段;第二步，基于割補法構建面積模型;第三步，利用函數性質分析面積最值.

題型二：等面積問題

等面積問題，重點突出了圖形的面積相等. 圖形面積模型往往難以直接構建，需要通過等量轉化來簡化模型. 采用的方法為等積轉化法，若三角形同底，則對應高相等，可作底邊的平行線，推導直線解析式;若為高相等，則可推知底相等，此時可考慮圖形的中點.

例2? 如圖3所示，已知拋物線y=ax2+bx（a>0）與雙曲線y= 相交于點A和B. 已知點B的坐標為（-2，-2），點A位于第一象限內，且tan∠AOx=4，過點A作直線AC∥x軸，與拋物線的另一交點設為點C.

（1）求雙曲線和拋物線的解析式;

（2）求△ABC的面積;

（3）分析拋物線上是否存在一點D，使得△ABD的面積等于△ABC的面積. 若存在，請求出點D的坐標;若不存在，請說明理由.

解析：（1）簡答，根據點坐標與兩曲線的相交關系可得雙曲線的解析式為y= ，拋物線的解析式y=x2+3x.

（2）可求得點C（-4，4），A（1，4），則線段AC=5，又知點B（-2，2），則點B到AC的距離為6，即△ABC底邊上的高為6，所以△ABC的面積為S= ×5×6=15.

（3）探究△ABD的面積等于△ABC的面積時點D的坐標，可將兩個三角形視為是同底AB. 由面積相等可知點C和D到底邊AB的距離相等，即直線CD必然平行于AB.

過點C作CD∥AB，與拋物線的交點就為點D，如圖4所示. 可推知直線AB的解析式為y=2x+2，則直線CD的斜率k =2，結合點C坐標可得直線CD的解析式為y=2x+12，與拋物線解析式聯立，可得x=3或x=-4，即點坐標為（3，18）或（-4，4），其中（-4，4）為點C，舍去，所以點D的坐標為（3，18）.

評析：上述第（3）問探究△ABD與△ABC面積相等時點D的坐標，采用了直線平移法. 這是基于兩三角形存在相同的底，故可推得高相等，進而轉化為兩線平行. 其中隱含了“平行線之間，距離處處相等”的性質定理. 建立幾何特性與等面積之間的關聯是問題突破的關鍵點，也是平面幾何性質在函數中的應用體現.

題型三：面積比值問題

面積比值問題十分常見，通常給出面積之比的條件，探究動點坐標或線段長. 解析關鍵是將面積比轉化為線段比，通常采用等比轉化的方法. 若圖形相似，可將面積比轉化為線段比;若有等底或等高，則可以轉化為高之比或底之比.

例3? 在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+4過點A（3，4），與x軸相交于點B（-1，0），與y軸交于點C，過點A作AD⊥x軸于點D.

（1）求拋物線解析式;

（2）如圖5，點P是直線AB上方拋物線上的一個動點，連接PD，與AB交于點Q，連接AP，當S =2S 時，求點P的坐標.

解析：（1）將點A和B坐標分別代入拋物線解析式，即可求得解析式，即y=-x2+3x+4.

（2）由S =2S 可得S = ·S ，△AQD和△APD在PD上有相同的高，則 = . 過點P和Q分別作PM⊥DB于點M，QN⊥BD于點N，如圖6，則有 = = . 由點A和B可得直線AB的解析式為y=x+1，設點P（m，-m2+3m+4），結合點D坐標可得直線DP的解析式為y= x+ ，可推得點Q的縱坐標為 ，即QN= ，PM=-m2+3m+4. 所以 = ，解得m=1± ，點P在直線AB上方拋物線上，則-1

評析：上述第（2）問在解析面積之比時，先進行面積轉化，再進行等比轉化，是對三角形面積公式的變相應用. 求面積比值條件下的動點坐標，可采用設參法，即首先設定坐標參數，推導相關線段長，然后基于面積比值條件構建關于坐標參數的方程，進而解方程求解.

解后反思，教學建議

上述基于二次函數面積問題的三種類型進行了解法剖析，并結合實例進行了思路講解，下面進行深入反思.

1. 挖掘問題本質，總結知識要點

二次函數的面積問題涉及函數與幾何兩大部分的知識，面積問題實則就是坐標系背景下的幾何類型問題，解析的重點是二次函數的性質、圖形的面積屬性、幾何性質等. 教學中要引導學生認識問題本質，總結問題的知識要點，如函數解析式的求法，面積模型構建方法，解方程的技巧、函數最值的解法等，幫助學生夯實基礎，為后續的綜合探究做鋪墊.

2. 剖析問題類型，歸納問題解法

二次函數面積問題類型眾多，不同類型的解法也不相同，故基于問題類型開展解法探究十分重要，如上述總結了面積最值、等面積、面積比值三種類型的解法，并結合實例探究破解思路. 數學教學中建議參考上述探究模型，采用“類型歸納—解法探究”的模式，有針對性地剖析問題，探究破解方法，同時可結合對比探究方式，分析解法異同，幫助學生形成解題策略，構建完善的方法體系.

3. 關注數學思想，提升數學素養

二次函數面積問題的破解過程需要用到一定的數學思想，如數形結合、模型、方程、等量轉化等思想. 利用數形結合整體分析問題，基于模型思想構建面積模型，從而轉化面積條件，構建方程求解，這是數學思想鏈的分析過程. 教學中建議重點講解數學思想的使用技巧，引導學生結合思想內涵分析問題，讓學生逐步感知思想，體會數學思想的價值，在潛移默化中提升學生的數學素養.