基于PAD技術的數學概念課“創課導學”實踐

簡璐 蔣香玲

“創課導學”教學法具有鮮明的直觀性、形象性，能將抽象的數學概念形象化，有助于學生深刻理解數學概念.下面，筆者以人教A版高中數學必修1“3.1.1 方程的根與函數的零點”教學為例，介紹“創課導學”教學法在數學概念課中的具體運用.

一、教學內容分析及數學概念課“創課導學”授課路徑設計

系統學習函數的概念、性質及三個基本初等函數，學會運用函數解決實際問題，是高中數學的重要學習任務.“方程的根與函數的零點”一課的學習目標之一，是發現與理解方程的根與函數的零點之間的關系，探究函數零點的存在性定理.然而，由于學生的函數思維不夠深刻、抽象能力不足，采取傳統教學方法很難達成這一目標.于是，我們借助PAD技術引導學生探究函數零點概念的生成與發展過程，最終達到運用知識解決問題的目的.

遵循“創課導學”教學法和概念課教學策略，我們設計了本課的教學流程（如圖1）：在“問題導向”環節，通過給出具體實例，創設問題情境，讓學生自主探究二次函數圖象與一元二次方程的根的存在性和根的個數間的關系，引出函數的零點概念，向學生呈現數學概念的生成與辨析過程;在“實驗導學”環節，借助PAD、PowerPoint2010、Excel、交互智能平板、動態幾何畫板等現代信息技術，采取以形輔數、數形結合的學習方法，讓學生對在“問題導向”環節中獲得的知識進行反復實驗、論證，嘗試總結、提煉出一般方程與相應函數的關系，培養邏輯推理、抽象概括的能力，形成函數的零點概念;在“目標解惑”環節，呈現習題，讓學生嘗試遷移運用所學知識和方法解決相關問題，真正掌握函數的零點概念.

具體來說，就是在“問題導向”環節，以紅軍四渡赤水的故事導入，呈現“問題導向任務單”（如圖2）.在“實驗導學”環節，讓學生利用PAD技術作圖和計算，自主繪制函數圖象，運用變量思想確定參數并開展模擬實驗，計算函數值，探究函數的零點的存在性定理，生成相關概念.在這個環節中，學生經歷了直觀感知、類比歸納、抽象概括等思維過程，體驗了函數的零點概念的生成與發展、拓展與延伸.在“目標解惑”環節，設計相關練習題，引導學生研究圖形、比較數據、辨析函數值符號，判斷函數的零點是否存在，了解零點存在的條件，最終歸納出函數的零點的存在性定理.

“零點”作為方程與函數的結合點，揭示了函數與方程二者聯系的本質.因此，用函數的觀點研究方程，就是將局部問題置于整體體系中研究，將靜態結果放在動態過程中研究，這樣能較好地培養學生的整體觀、發展觀.學習本課，可為學生后續學習“用二分法求方程的近似解”提供認知基礎.

二、基于PAD技術的數學概念課教學實踐

沿著既定的教學路徑，我們在本課教學中設計了“情境引入，問題導向→實驗導學，生成概念→深層推進，辨析概念→目標解惑，鞏固概念→簡單應用，總結提升”5個教學環節.

（一）情境引入，問題導向

師：這是歷史上著名的紅軍四渡赤水戰役，其中包含了許多數學問題.（播完視頻后展示圖片，如圖3.）看看這張圖片，你覺得哪種情形說明紅軍已經渡過了赤水河？為什么？若將赤水河當作坐標系中的x軸，紅軍走過的路線當作函數圖象，你覺得這和方程與函數的知識有什么關聯？

生：紅軍在1月28日、2月7日出現在河的兩岸，說明已經渡過了赤水河.如果將赤水河當作x軸，紅軍走過的路線當作函數圖象，則函數圖象穿過了x軸.

師：非常好！看來大家對函數和方程有了一定的了解.請你們再看看這兩個方程.（課件出示方程[x2-][2x-3=0]和[lnx+2x-6=0.]）根據前面的觀察和學過的知識，你能判斷這兩個方程有實數根嗎？你是用什么方法判斷的？

生：能.比如方程[x2-2x-3=0，]可以用判別式法、因式分解法、求根公式法進行判斷.

師：用同樣的方法能否判斷方程[lnx+2x-6=0]的根的情況？

生：不能.

師：我們能否找到一種可以判斷各種一元方程的根的情況的方法？

教師用歷史故事創設問題情境，體現了“數學應用”的思想;以學生的經驗為基礎，提出具有探究性、趣味性、開放性的問題，激發學生的學習興趣和探究欲望，讓學生在解決問題的過程中培養抽象思維能力.

（二）實驗導學，生成概念

師：請用PAD畫出以下3個函數的圖象，觀察并完成以下任務.（課件呈現表1.）據此，你覺得一元二次方程的根和相應二次函數圖象與x軸交點之間有怎樣的關系？（生用PAD作圖，討論后得出結論：一元二次方程有幾個根，相應的二次函數圖象就與x軸有幾個交點.）

師：這個結論可以推廣到一般的方程與函數嗎？請你用學過的幾類函數的知識來解決，并作圖，舉例說明.

生1：二次函數與x軸有一個交點，對應的一元二次方程有1個根.

生2：對數函數也滿足.

生3：還有冪函數.

師：（投屏學生作圖）根據你們所說，老師做了一下提煉.若方程[f（x）=0]有實數根（x=x0），則函數[y=f（x）]的圖象與x軸有交點（橫坐標x=x0）.對于這個橫坐標，我們賦予它一個新的名稱——“零點”（板書零點的定義，略）.結合定義，你覺得函數的零點、方程的根、函數圖象與x軸的交點，三者之間有什么關系？

生：三者是一樣的.

師：你說得大致對了，但這樣說會更準確.當x=x0時，函數[y=f（x）]有零點;當x=x0時，方程[f（x）=0];當橫坐標x=x0時，函數[y=f（x）]的圖象與x軸有交點.

為了加深學生的理解，教師進一步設計了隨堂檢測題.

教師用兩道例題，讓學生進行函數區間端點的函數值乘積符號的比較，從中學會了判斷零點是否存在的方法;然后根據學生所得的結論，讓學生回歸紅軍四渡赤水的問題并進行繪圖演示（如圖5），解釋是否存在零點與紅軍是否過河的關系，驗證結論是否正確.在這個過程中，學生進行了反向思考、多維度思考，領悟了“連續不斷”的含義，掌握了“零點存在性定理中兩個條件缺一不可”的知識.

教師用一個實例引導學生借助PAD技術畫出函數圖象，完成相應表格，通過數形結合幫助學生學會確定函數的零點及零點個數的方法，并設計不同的解題情境，啟發學生尋找不同的解題方法.在這個過程中，學生“做中學，學中做”，既拓寬了解題思路，又加深了對零點存在性定理的理解，提高了數學思維能力，培養了數學思想.

（五）簡單應用，總結提升

教師出示兩道例題，引導學生學會運用函數的零點知識解決實際問題.

[例題5]請觀察下圖（如圖8）.這是氣象局觀測到的新疆某天的氣溫變化模擬函數圖（一個連續不間斷的函數圖象），由于圖中有一段圖象被墨水污染了，現在小明想了解當天從a時到b時有沒有溫度是0攝氏度的情況，請你幫幫他.問：有沒有可能出現0攝氏度的情況？為什么？如果有，可能出現幾次？

在解決問題過程中，學生進一步理解了確定函數的零點及零點個數的方法，并梳理出“一組關系、兩種問題、三種思想”，即函數的零點與方程的根的關系，求函數的零點問題、判斷零點個數和所在區間的問題，以及函數與方程思想、數形結合思想、轉化與化歸思想.

本課以一個切合教學內容的紅軍四渡赤水戰役為背景引入課題，滲透了愛國主義教育，激發了學生的求知欲和學習熱情;然后，根據“創課導學”教學法的理念，設計了“挖掘現實問題→把現實問題抽象為數學問題→引入課題→形成認知沖突→探索新知→應用新知解決現實問題”的教學思路，以現實問題作為學生探究的對象，并結合學生的知識水平、認知水平進行設問和引導，要求學生利用PAD技術探究問題、解決問題，嘗試總結出一般性的解題方法，提升學科核心素養，為后續學習“用二分法求方程的近似解”“函數模型及其應用”等知識打下了良好基礎.

這節課還告訴學生一個道理：數學知識存在于生活的每一個角落，要學會用數學的眼光看世界，要善于發掘生活、歷史、政治、科學等存在的數學問題，不斷提升我們的數學學科素養.

在落實本課教學過程中，教師既注重學科知識與現實生活的對接，關注學生認知能力、實操能力等的提升，又重視學生探究問題習慣的培養，各教學環節逐層推進、前后呼應，有效達成了提升學生學科學習能力和核心素養的目標.（題圖左為作者簡璐，右為作者蔣香玲）

（責編 蒙秀溪）