入“圍”出精彩 突“圍”顯通達

在學完“一元二次方程”后，我們會發現用它能夠解決許多實際問題，面積問題便是其中一種。對于用籬笆“圍成面積”類的問題，你是否經常遇到？它有哪些變化形式？對于這一類問題你是否理解得通透呢？下面就讓我們一起來看一看吧。

蘇科版數學教材九年級上冊第34頁第10題：

【問題呈現】學校打算用長16m的籬笆圍成一個長方形的生物園飼養小兔，生物園的一面靠墻（如圖1），面積是30m2，求BC的長。

圖1

【解析】設AB=xm，則BC=（16-2x）m。根據題意，得（16-2x）x=30，

解得x1=3，x2=5。

由此可知BC的長為10m或6m。

變式1 若【問題呈現】中的墻長8m，其余條件不變，求BC的長。

【解析】由于BC≤8，由原題目知BC=6m。

【小結】研究“靠墻圍成矩形”時，往往要考慮墻可利用的最大長度，在這一限制條件下求解、取舍。

變式2 如圖2，學校打算用長16m的籬笆圍成一個長方形的生物園飼養小兔，生物園的一面靠墻，墻長8m，中間再用籬笆隔成兩個小矩形。若ABCD的面積是20m2，求BC的長。

圖2

圖3

【解析】設AB=xm，則BC=（16-3x）m。根據題意，得（16-3x）x=20，

解得x1=2，x2=[103]，

∴BC=10m或6m，而BC≤8，則BC=6m。

【小結】由于籬笆的總長度沒有改變，僅僅是增加了隔斷數量，需要同學們仔細觀察與思考：如何用x表示出長和寬，同時仍要注意墻的長度限制。同學們也可以將中間間隔的籬笆數量增加，分割成如圖3所示更多的小矩形繼續去研究。

變式3 如圖4，學校打算用長49m的籬笆圍成一個長方形的生物園飼養小兔，生物園的一面靠墻，墻長25m，中間用籬笆隔成兩個小矩形并留有兩個寬為1米的小門。若ABCD的面積是210m2，求AB的長。

圖4

【解析】設AB=xm，則BC=（51-3x）m。根據題意，得（51-3x）x=210，解得x1=7，x2=10。

∵BC=51-3x≤25，即x≥[263]，

∴x=10，AB=10m。

【小結】本題與變式2相同的地方是籬笆同樣圍成了兩個矩形，不同的地方是增加了兩扇門，門的寬度共2m，因此BC長度容易表示錯，需要謹慎處理。3AB+BC=49+2=51，由AB=xm便可以表示出BC的長，進而解決問題。

變式4 如圖5，某農戶計劃利用65m長的籬笆、長25m的墻AB，建造面積為450m2的長方形ADEF區域來養一些家禽，其中點F在AB的延長線上，求BF的長。

圖5

【解析】設BF=xm，則矩形ADEF的周長為65+25=90（m），

∴AD=[65+252]-25-x=（20-x）m。

根據題意，得（25+x）（20-x）=450，

解得x1=5，x2=-10<0（舍去），

∴BF=5m。

【小結】本題與之前變式不同的地方是利用墻的方式不同，相同的地方是都先用未知數x表示出矩形的長和寬，再根據題意列出方程。

變式5 如圖6，學校打算用長16m的籬笆圍成一個長方形的生物園飼養小兔，生物園的一面靠墻，當BC為多長時，圍成的面積最大？

圖6

【解析】設AB=xm，則BC=（16-2x）m。生物園的面積為x（16-2x）=-2（x-4）2+32，當x=4的時候，面積最大為32。所以當BC=8時，圍成的面積最大。

【小結】在研究“圍成面積”類問題時，不僅要關注圍成面積的大小，還要考慮能否圍成指定大小的矩形、最大能圍成多大面積的矩形等。本題的面積用關于x的二次多項式表示，可以通過配方的方法求得這個多項式的最大值。

同學們還可以將這個問題一般化研究：總長為am的籬笆，一面靠墻圍成一個面積最大的矩形，此時矩形的邊長分別是多少？長和寬有什么數量關系？結論是：當矩形的長是寬的兩倍時圍成的面積最大。證明如下：設AB=xm，則BC=（a-2x）m，面積x（a-2x）=-2（x[-a4]）2+[a28]，當AB=[a4]，BC=[a2]，即BC=2AB時，圍成的面積最大，最大為[a28]m2。

變式6 現有長度為120m的籬笆（可彎曲圍成一個區域）。

（1）如果用籬笆圍成一個長方形雞場，怎樣圍才能使雞場的面積最大？為什么？

（2）如果用籬笆圍成一個正六邊形雞場，那么與（1）中的長方形雞場比較，哪個面積更大？

（3）如果用籬笆圍成一個圓形雞場，圍成的面積有多大？你有什么猜想？（π≈3.14，[3]≈1.732，結果保留一位小數）

【解析】（1）由變式5的探索，同學們應該能夠借助配方法，很快得出圍成邊長為30m的正方形面積最大，最大為900m2。

（2）正六邊形的邊長為20m，面積為[6003]m2≈1039.2m2，比長方形面積大。

（3）面積大約為1146.5m2。猜想：同樣長度的籬笆圍成的圓的面積最大。

【總結】等周長的所有矩形中，正方形的面積最大;等周長的正多邊形邊數越多，其面積也越大;在周長相同的所有封閉平面曲線中，圓的面積最大。對于本文最開始的問題，同學們有沒有更好的方法，使圍成的四邊形雞場的面積更大？繼續研究研究，再與其他同學交流吧。

我們對“圍成面積”類的問題進行了歸類、變式研究、推廣和總結。同學們在平時的學習過程中，也可以按照今天的思路，對一類問題進行歸類——入“圍”出精彩，再經歷變式研究、推廣、總結等過程，才能跳出題海——突“圍”顯通達。

（作者單位：江蘇省無錫市天一實驗學校）