反璞歸“根”再出發

茅莉萍

在解決數學問題遇到困難時，同學們可以嘗試回想基本概念與基本方法，往往能有意想不到的收獲。一元二次方程是我們初中階段學習的重要知識，關于一元二次方程的根，同學們就可以到概念中去尋找解題的突破口。蘇科版數學教材七年級上冊第99頁提出“能使方程兩邊的值相等的未知數的值叫作方程的解”，對于只含一個未知數的方程的解，也叫作方程的根。

一、回歸根的概念，構造適當方程

蘇科版數學教材九年級上冊第35頁“探索研究”第17題：

例1 寫出一個一元二次方程，使它的兩個根分別是3、-2。

【分析】根據方程根的概念，可以逆向運用因式分解法解一元二次方程的過程，將所求的一元二次方程轉化為兩個根分別是3、-2的一元一次方程的乘積，故所求的方程可寫成a（x-3）（x+2）=0。不同的a的取值可以對應不同的一元二次方程，同學們選擇一個即可。一般地，取a=1，對應的方程最簡單。

一般地，若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根是x1、x2，可把方程寫成a（x-x1）（x-x2）=0，即ax2-a（x1+x2）+ax1x2=0。

解：以3、-2為根的一元二次方程可寫成a（x-3）（x+2）=0，令a=1，得x2-x-6=0。

變式1 已知方程x2+x-2=0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的兩倍。

【分析】本題可設新方程的根是y，再將已知方程的根用y表示。根據方程根的概念，將用y表示的根代入原方程，就能得到所要求的新方程。

解：設所求方程的根為y，則y=2x，即x=[y2]。把x=[y2]代入已知方程，得（[y2]）2+[y2]-2=0。

化簡，得y2+2y-8=0，

故所求方程為y2+2y-8=0。

變式2 已知a、b滿足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，且a≠b，求[ab+ba]。

【分析】根據方程根的概念，當已知的兩個等式具有相同的結構，就可以把這兩個元看成是關于某個字母的一元二次方程的兩個根。

解：∵a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，且a≠b，

∴a、b為方程x2-15x-5=0的兩個根，

∴a+b=15，ab=-5，

∴原式=[a2+b2ab]=[（a+b）2-2abab]=-47。

二、回歸根的概念，尋找等量關系

蘇科版數學教材九年級上冊第33頁“復習鞏固”第5題：

例2 已知關于x的方程x2-6x+m2-3m-5=0的一個根是-1，求m的值。

【分析】根據方程根的概念，將x=-1代入原方程，可得含有m的等式，即關于m的方程，通過解關于m的方程，就能求出m的值。

解：∵x=-1是x2-6x+m2-3m-5=0的一個根，∴（-1）2-6×（-1）+m2-3m-5=0。

解這個方程，得m1=1，m2=2，

故m的值是1或2。

變式1 已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根為3和-2，求代數式[ab-3bc-aca2+b2+2c2]的值。

【分析】根據方程根的概念，將3和-2代入原方程，可得到兩個關于a、b、c的等式，顯然不能求出a、b、c的具體值，但是兩個方程卻為三個未知數的“消元”提供了可能。根據要求的代數式分子分母“齊次”的特征，找到用同一個字母表示其他兩個字母來解決問題的策略。

解：∵3和-2是方程ax2+bx+c=0的兩個根，

∴[9a+3b+c=0，4a-2b+c=0，]解得[b=-a，c=-6a。]

∵a≠0，

∴[ab-3bc-aca2+b2+2c2]=[-a2-18a2+6a2a2+a2+72a2]

=[-1374]。

變式2 已知a是方程x2-2020x+1=0的一個根，求代數式a2-2021a+[a2+12020]的值。

【分析】本題若嘗試求出a的值再代入計算，顯然比較煩瑣，故應根據方程根的概念，將x=a代入原方程，就能得到含有a的等式。對這個等式進行移項變形，能得到一個關于a的“降次”公式，即a2=2020a-1，可達到對所求代數式化簡的目的。

解：∵x=a是方程x2-2020x+1=0的根，

∴a2-2020a+1=0，

∴a2=2020a-1，

∴原式=2020a-1-2021a+[2020a-1+12020]

=-a-1+a

=-1。

三、回歸根的概念，巧記韋達定理

蘇科版數學教材九年級上冊第21頁至23頁，將“根與系數的關系”即韋達定理作為選學內容呈現，它為后續學習二次函數乃至高中的數學知識都奠定了基礎。

在前文中提到，若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根是x1、x2，可把方程寫成為a（x-x1）（x-x2）=0，即ax2-a（x1+x2）+ax1x2=0的形式，在此基礎上我們可以得到-a（x1+x2）=b，ax1x2=c，即x1+x2=[-ba]，x1x2=[ca]。

像這樣回歸根的概念巧記韋達定理，比起死記硬背，或者用求根公式來推導，便捷且準確率高。同學們不妨嘗試在理解方程根的概念的基礎上記憶，并靈活應用韋達定理，可以使原本的復雜問題簡單化。

例3 已知關于x的方程x2-6x+m2-3m-5=0的一個根是-1，求m的值并求出該方程的另一個根。

【分析】這是例2的改編題。由例2可知，m的值是1或2，在這個基礎上，同學們可以通過將m的值分別代入原方程，確定方程后再求解。雖然能解決問題，但這種做法不如靈活運用韋達定理來得簡便。

解：設原方程的另一個根為x2。

由韋達定理可知-1+x2=6，故x2=7。

所以該方程的另一個根為7。

變式1 已知關于x的一元二次方程（x-b）2=a的兩根為1和3，求a、b的值。

【分析】根據例2的變式1的分析，將1和3代入原方程，可得到兩個關于a、b的二元二次方程，雖能求出a、b的值，但稍顯煩瑣。如能靈活應用韋達定理，此題的計算量就能大大降低。

解：整理（x-b）2=a，得x2-2bx+b2-a=0。

∵方程（x-b）2=a的兩根為1和3，

∴x1+x2=2b=1+3=4，x1x2=b2-a=1×3=3，

∴b=2，a=1。

變式2 已知a、b是方程x2+2017x+1=0的兩個根，求（1+2020a+a2）（1+2020b+b2）的值。

【分析】根據例2的變式2的分析，將a、b代入原方程，變形能得到關于a、b的“降次”公式，但僅有此并不能得到答案，還需靈活運用兩根之積與系數的關系方能解決該問題。

解：∵a、b是方程x2+2017x+1=0的兩個根，

∴a2+2017a2+1=0，b2+2017b+1=0，ab=1，

∴a2=-2017a-1，b2=-2017b-1，

∴原式=（1+2020a-2017a-1）（1+2020b-2017b-1）=9ab=9。

回歸方程根的概念去思考，不僅能幫助我們尋找等量關系，繼而得到新的方程、消元公式、降次公式等，還能幫助我們妙用韋達定理，解決數學問題。

（作者單位：江蘇省無錫市僑誼實驗中學）