一元二次方程壓軸題解題技巧

李祥

對一元二次方程在中考壓軸題中的考查主要體現在兩個方面，一是對根與系數關系的考查，二是結合一元一次方程（不等式）、一次函數、二次函數等知識點在實際問題中的綜合運用，對能力要求較高。現結合2021年各地中考題進行解讀，希望能幫助同學們更好地解決一元二次方程的壓軸題。

例1 （2021·四川瀘州）關于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m=0的兩實數根x1、x2滿足x1x2=2，則（x12+2）（x22+2）的值是（）。

A.8B.16C.32D.16或40

【分析】根據一元二次方程根與系數的關系，解得m=2或m=-1，再分別代入一元二次方程中，利用完全平方公式變形解題即可。

解：由一元二次方程x2+2mx+m2-m=0知a=1，b=2m，c=m2-m，

∴x1x2=[ca]=m2-m=2，即m2-m-2=0，

∴（m-2）（m+1）=0，

∴m=2或m=-1。

當m=2時，原一元二次方程為x2+4x+2=0，∴x1+x2=[-ba]=-4。

∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，

∴（x12+2）（x22+2）=（x1x2）2+2（x12+x22）+4=（x1x2）2+2（x1+x2）2-4x1x2+4=22+2×（-4）2-4×2+4=32。

當m=-1時，原一元二次方程為x2-2x+2=0，∵Δ=（-2）2-4×1×2=-4<0，原方程無解，不符合題意，故舍去。故選C。

利用韋達定理解出m的值是基本要求，而用韋達定理的前提是此一元二次方程有根，這才是考查的難點。因此，把m的值代入方程，驗證根的判別式，才能真正確定符合題意的m的值。

例2 （2021·重慶）重慶小面是重慶美食的名片之一，深受外地游客和本地民眾歡迎。某面館向食客推出經典特色重慶小面，顧客可到店食用（簡稱“堂食”小面），也可購買搭配佐料的袋裝生面（簡稱“生食”小面）。已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的總售價為31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的總售價為33元。

（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的價格分別是多少元？

（2）該面館在4月共賣出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份。為回饋廣大食客，該面館從5月1日起每份“堂食”小面的價格保持不變，每份“生食”小面的價格降低[34a]%。統計5月的銷量和銷售額發現：“堂食”小面的銷量與4月相同，“生食”小面的銷量在4月的基礎上增加[52a]%，這兩種小面的總銷售額在4月的基礎上增加[511a]%。求a的值。

【分析】（1）設每份“堂食”小面和“生食”小面的價格分別是x元、y元，根據題意列出二元一次方程組，解方程組即可;（2）根據題意列出一元二次方程，解方程即可。

解：（1）設每份“堂食”小面和“生食”小面的價格分別是x元、y元。根據題意列方程組，得[3x+2y=31，4x+y=33，]解得[x=7，y=5。]

答：每份“堂食”小面的價格是7元，“生食”小面的價格是5元。

（2）根據題意，得4500×7+2500（1+[52a]%）

×5（1[-34a]%）=（4500×7+2500×5）（1+[511a]%），

解得a1=0（舍去），a2=8。

答：a的值為8。

本題考查了二元一次方程組的應用和一元二次方程的應用，解題的關鍵是找準題目中的等量關系，列出方程，再運用相關知識解方程。本題的難點是面對眾多數量，如何將等量關系可視化。我們可以通過列表將數據整合，然后根據各個數量的含義，列出文字表達式，進而列出方程。我們在解方程（組）時要膽大心細，不要被復雜的方程（組）嚇倒，堅定地按照解法步驟解下去。一般來講，應用題的答案是需要驗證的，如果都不符合題意，則要重新回到題目，看是否漏了條件。

例3 （2021·浙江湖州）今年以來，我市接待的游客人數逐月增加，據統計，游玩某景區的游客人數三月份為4萬人，五月份為5.76萬人。

（1）求四月和五月這兩個月中，該景區游客人數平均每月增長百分之幾;

（2）若該景區僅有A、B兩個景點，售票處出示的三種購票方式如表所示：

[購票方式 甲 乙 丙 可游玩影點 A B A和B 門票價格 100元/人 80元/人 160元/人 ]

據預測，六月份選擇甲、乙、丙三種購票方式的人數分別有2萬、3萬和2萬。并且當甲、乙兩種門票價格不變時，丙種門票價格每下降1元，將有600名原計劃購買甲種門票的游客和400名原計劃購買乙種門票的游客改為購買丙種門票。

①若丙種門票價格下降10元，求景區六月份的門票總收入;

②問：將丙種門票價格下降多少元時，景區六月份的門票總收入有最大值？最大值是多少萬元？

【分析】（1）設四月和五月這兩個月中，該景區游客人數的月平均增長率為x，則四月份的游客為4（1+x）萬人，五月份的游客為4（1+x）2萬人，再列方程，解方程可得答案。

（2）①先分別計算購買甲、乙、丙種門票的人數，再計算門票收入即可得到答案;②設丙種門票價格降低m元，景區六月份的門票總收入為W萬元，再列出W與m的關系式，利用配方法求最大利潤即可得到答案。

解：（1）設四月和五月這兩個月中，該景區游客人數的月平均增長率為x。

根據題意，得4（1+x）2=5.76。解這個方程，得x1=0.2，x2=-2.2（舍去）。

答：四月和五月這兩個月中，該景區游客人數平均每月增長20%。

（2）①丙種門票價格下降10元，則購買丙種門票的人數增加0.6+0.4=1（萬人），購買甲種門票的人數為2-0.6=1.4（萬人），購買乙種門票的人數為3-0.4=2.6（萬人），所以門票收入為100×1.4+80×2.6+（160-10）×（2+1）=798（萬元）。

答：景區六月份的門票總收入為798萬元。

②設丙種門票價格降低m元，景區六月份的門票總收入為W萬元。

根據題意，得W=100（2-0.06m）+80（3-0.04m）+（160-m）（2+0.06m+0.04m），

化簡，得W=-0.1（m-24）2+817.6。

∵-0.1<0，∴當m=24時，W取最大值，為817.6萬元。

答：當丙種門票價格降低24元時，景區六月份的門票總收入有最大值，為817.6萬元。

本題考查的是一元二次方程的應用，配方法是解決利潤最大值題型的關鍵。當然，在學習了后面的知識之后，我們還可以用新知識再次認識這道題。

（作者單位：江蘇省無錫市新安中學）