解析幾何試題的高考原題引申

馬海琳

【摘要】2020年是山東首次實行不分文理的高考改革之年，高考作為重要的人才選拔方式，可以說是高中數學課程教學的風向標和指揮棒.本文通過對新高考試題中的解析幾何試題進行相應的解析延伸，旨在為新高考模式下的數學教學工作提供一定的參考，根據命題模式的變化來探索出更加適應學生數學能力發展的教學策略，從而提升學生的數學學習能力以及數學教學的質量，使得學生更能適應新高考模式下的數學教學.

【關鍵詞】解析幾何;數學試題;命題模式;教學策略

新高考模式對于教師和學生而言，都具有一定的挑戰.因此，為了更好地滿足新高考模式下社會對人才的需求，在實際的教學工作中，教師要順應時代發展的潮流，依據培養目標，有的放矢地對自身的教學模式加以創新.學生同樣要有意識地培養自己的學習習慣，提高自身的學習能力，建立相應的數學核心素養.

一、新高考情況概述及案例分析

高考作為我國重要的人才選拔方式，高考試卷的試題設置關系到萬千考生的前途命運，高考試題是眾多的專家、學者以及一線教師在經過多方研討、綜合調研下的集體智慧的結晶.因此，對于高中教師而言，研究高考試題是必要且重要的.通過對高考試題的研究，教師能從中發現如今高考數學的考查方向、整體動向，這能對高中數學的教學工作提供良好的指導和改進.

2020年山東正式開始實行新高考，這也是山東在高考中首次采取文理一套卷的形式進行的改革嘗試.就題目的數量和難度的設置而言，相較于以往的山東高考數學卷，這次數學卷整體上難度不大，在關于解析幾何的題目設置上，考查的是曲線與定點和定值的問題.試題如下：

回顧題目的解答過程，在傳統解析幾何解答的基礎上，增加了構造直角三角形，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質.題目對學生的轉化與化歸、建立數學模型的數學思想和能力進行了全面的考查.直線MN過定點的問題，考生經過分析容易入手，多數考生可以拿到部分基礎分數;后半部分點Q的確定，需要考生有較強的數學能力，起到了一定的選拔功能.

二、高考數學解析幾何試題分析

在進行解析幾何的問題求解時，往往都會涉及大量的運算，在運算過程中，不僅耗費的時間長而且運算的難度比較大，稍有不慎就會導致運算結果的錯誤.因此，在高考試題中，解析幾何往往是讓學生較為頭疼的一個類型，但是若能合理地利用平面幾何的相關知識，用推理代替計算，就能大大減少運算量，從而提升解題的效率[2].平面幾何與解析幾何之間關系密切，將一些簡單的平面幾何中的知識，例如三角形的相似、射影定理、角平分線定理、圓的性質定理等運用到解析幾何中往往會產生意想不到的效果.這就需要教師在平時的教學工作中注意培養學生的創新意識和知識遷移能力，促進學生對知識的靈活運用.這不僅對于學生的數學能力的提升有幫助，還能夠鍛煉學生解決問題的能力，進而促進學生的全面發展.

（一）基本知識點方面的考查

在高考數學的解析幾何的試題中，往往第一題是對解析幾何的基本知識的考查應用，這就要求學生必須掌握橢圓、雙曲線、拋物線等的基礎知識，利用具體的定義來求解相應的軌跡方程.這就要求教師在平時的教學中，對于基礎性知識的講解與應用提高重視.

（二）綜合運用方面的考查

坐標系法往往是解決圓錐曲線和直線位置關系的主要方法，尤其是對于高考中的大題而言，訓練學生在分析幾何條件的基礎上，選擇合適的代數形式對幾何問題進行相應的表示，建立系統性、整體性的思維方式，對學生的成績提升以及未來發展都具有重要意義.

三、高中數學解析幾何的教學策略

解析幾何在高考中有著重要的地位，也是教師在高三數學備考復習中的重點.一方面，數學教師要加強對學生解析幾何基礎知識的教學和基本能力的訓練;另一方面，要讓學生在掌握基礎題型的前提之下，提升解析幾何和平面幾何的綜合應用能力.

（一）進行一定的思維訓練

對試題的具體解決方法的尋找屬于“術”的層面的教學工作.對于高中數學教師而言，在教學工作中，不僅要注重對學生的“術”的培養，也要注重對學生的“道”的培養.教師要站在數學文化、數學思維的角度，將數學結構和解析幾何的分析價值進行明確，教導學生如何根據自己的直覺思維，結合自己的抽象思維，進行相應的歸納總結，對其中的思維想法進行提取，進而促進順利解題[3].正如笛卡爾的數學思想內涵所倡導的那樣，將自己的數學思想進行系統化、整體化，這將不僅有利于學生數學成績的提高，更有利于學生綜合能力的培養.

（二）立足典型試題，總結解題方法

尋找出解決解析幾何題的有效途徑，是教師在進行解析幾何問題講解時的一大重點.教師要針對解析幾何問題中的重要的、常見的、具有代表性的問題，例如上面高考題中的直線MN過定點P的問題，進行相應的訓練，根據本班學生的接受能力和知識基礎進行相應的試題的難度和題型的選擇，為學生精心設計解析幾何試題，針對學生的計算能力、思維能力以及舊知識的復習情況進行充分的測試，在測試中提升學生對知識的掌握程度.另外，教師也要及時發現學生解題中的問題，對于一些共性的問題，教師要在課堂上進行相應的點評講解，對于一些個性的問題，教師則可以采取批注或課下單獨輔導的形式解決.

然而，需要注意的是，教師在進行解題方法總結的過程中，要將學生放在課堂的主體位置，而不是由教師進行知識的歸納、總結，然后讓學生對具體的解題過程和解題技巧進行單純的記憶.這種教學方法，一方面，不利于學生的自主學習能力的發展，因為學生并沒有真正理解教師所總結出來的解題方法的精髓，在如今高考試題不斷創新的大背景之下，并不能有效提升學生的數學成績.另一方面，這種對于教學技巧的灌輸式教學模式，會導致學生僅僅是孤立地進行解題方法的記憶，學生將精力錯誤地用在訓練模仿力和記憶力上，這就導致學生在進行解題時，往往只是機械性地熟練操作，并不能深入理解題目背后的含義[4].教師在立足典型試題總結解題方法時，應該以學生為主體，教師此時不是知識權威者，而應該是引導者，應幫助學生自己總結出相應的規律性、技巧性的解題方法，這不僅有利于學生加深這部分知識的印象，而且學生在課堂中探索出相應的解題方法能夠有效地提升他們在數學學習過程中的滿足感和自信心.同時引導學生進行相應的更深層次的學習，對于他們的數學思維的培養、數學意識的形成都具有重要意義.