教育數(shù)學觀下的余弦定理教學設計

秦瑾 吳靜 劉家琪

【摘要】傳統(tǒng)的余弦定理教學中，幾何法、向量法、解析法的推導教學屢見不鮮，且對學生的知識廣度要求較高.而張景中院士提倡要優(yōu)化數(shù)學課程結構、重建三角體系，使知識更加適宜教與學.在教育數(shù)學思想的指導下，通過正余弦的轉化設問，構建等式，將三角部分的知識一線串通，形成一種新穎的相對獨立、不依賴舊知識、不需要技巧性的余弦定理教學新方式.

【關鍵詞】余弦定理;教育數(shù)學;新方式

【基金項目】揚州大學大學生科創(chuàng)基金項目，本項目得到“江蘇高校品牌專業(yè)建設工程資助項目（數(shù)學與應用數(shù)學，PPZY2015B109）”經(jīng)費資助.

數(shù)學教學的改進有時是方法的改良，有的是內(nèi)容的改造.張景中院士提倡優(yōu)化數(shù)學課程結構，重建三角體系就是一個開創(chuàng)性的成果.

一、余弦定理傳統(tǒng)教學簡介

余弦定理是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，除了求解三角形問題的重要功能之外，還藏有豐富的奧秘[1]，余弦定理被安排在高中教材必修5第一章“解三角形”的第二節(jié)部分，正弦定理之后.

余弦定理的教學多是復習引入、生活情境引入，希望從新問題出發(fā)，引發(fā)學生對余弦定理的思考探究，再從新的角度采用不同的證明方法對余弦定理加以證實，一定程度上建立了知識間的聯(lián)系.比如，王志國視余弦定理為主干知識節(jié)點，開展微專題“余弦定理”的教學設計[2];昌明從勾股定理出發(fā)，以猜想發(fā)現(xiàn)為先導進行余弦定理課堂教學設計[3];龔有順則基于知識、認知和教學“三序合一”理論進行余弦定理的教學設計[4].

余弦定理的證明，有通過向量的加減運算得到所要求的邊的向量表示，然后運用求向量的模長的方法來進行探究的向量法;運用到三角形內(nèi)角和為180°和正弦定理asin A=bsin B=csin C來探究的幾何法;對三角形建立直角坐標系，通過兩點間距離公式來探究的解析法[5].

無論是課題引入還是定理證明，余弦定理的教學，前提是學生必須對向量、坐標系等知識掌握牢固并能靈活運用，或需要化歸為正弦函數(shù)解決，必須熟練掌握三角恒等變換.因此，傳統(tǒng)的余弦定理教學對學生知識廣度的要求較高，同時從新角度引入余弦定理的證明也需要一些技巧性，需要學生對新問題的解決思路有足夠的洞察力.

二、重建三角體系下余弦定理的知識解讀

張景中院士的重建三角體系，稱余弦定義為余角的正弦，并根據(jù)正弦的性質(zhì)推導出了余弦的相關性質(zhì)[6].在新教學體系中，余弦定理安排在九年級上冊，位于正弦體系和余弦的定義與性質(zhì)之后，可以看出整個余弦部分內(nèi)容的教學都是建立在正弦教學基礎之上的.

本文所提供的引入和證明方法直接從前面所學的正余弦內(nèi)容出發(fā)，類比正弦的教學發(fā)展過程引出，得到相類似的等式，再通過等式的運算變化得到結論.此方法不同于傳統(tǒng)證明方法，不需要運用其他章節(jié)的向量、坐標系等有一定難度的知識點，而直接在所學過的正弦體系和余弦定義性質(zhì)的基礎上展開，對學生知識掌握的起點要求低，同時能夠?qū)⑷遣糠值闹R一線貫穿，思維更加流暢自然，更易于教與學，并且能夠很好地鍛煉學生知識遷移、舉一反三、細致觀察的能力.

這里雖然探討的余弦定理的推導，也在一定程度上依賴于對正弦定理推導的理解，但為我們找到了一種相對獨立、不依賴有一定理解難度的舊知識、不需要技巧性的教學新方式.

三、教育數(shù)學觀下余弦定理的教學設計

本文對于余弦定理的證明推導，從正弦定理的表現(xiàn)形式出發(fā)，通過將表達式的正弦替換成余弦設問，進而對等式進行相應的變化，最終得到余弦定理的表達式;然后再通過一些小問題來研究余弦定理的一些推論;最后以課堂小結的方式來幫助學生加強對本節(jié)課知識點的掌握.

【教學目標】

1.理解余弦定理的推導過程，并能借助余弦定理了解相關推論.

2.經(jīng)歷正余弦的轉化設問、變換等式推得余弦定理的過程，發(fā)展觀察、分析、解決問題的能力和邏輯推理能力，體會分類討論和轉化的思想.

3.在定理的推導過程中，感受三角、幾何、方程的相關性，體會數(shù)學的環(huán)環(huán)相扣以及數(shù)學學習的趣味性.

【教學重難點】

教學重點：余弦定理的推導、余弦定理的推論.

教學難點：余弦定理的推導.

【教學過程設計】

1.復習引入

【教師引語】在前面的學習中，我們已經(jīng)學習過有關正弦與正弦定理的相關知識，通過上一節(jié)課，我們也掌握了余弦的定義和性質(zhì)，同學們思考一下，是否有余弦定理存在呢？接下來我們先回顧一下前面學習的內(nèi)容.

如圖所示，在△ABC中，自頂點A作高線AD，教師引導學生運用正弦定理表示AD：不論∠B和∠C的大小如何，總有b·sin C=c·sin B=AD.

教師提問：若將上述表達式中的正弦換成余弦，等式還成立嗎？若不成立，可以得到什么？

【設計意圖】從正弦定理的一種表現(xiàn)形式出發(fā)構建等式，既帶領學生回顧復習了正弦定理，也再一次彰顯了正弦的特色.余弦的教學依賴于正弦，通過將正弦轉換成余弦設問，自然地將學生的思維過渡到余弦定理的探究教學上，邏輯清晰明了，教學自然流暢.

2.新知探究

學生自主探究之后，教師解答圖中三種情形：

引導學生分組討論，總結三個等式之間的聯(lián)系，并進行課堂交流，最后教師總結：在三種不同情形下，都成立一個相同的等式：c·cos B+b·cos C=BC=a.

【設計意圖】將最初構建的表達式中的正弦換成余弦，學生會發(fā)現(xiàn)等式不成立，并且不同的三角形中也有不同的等式成立，但通過教師最后總結，啟發(fā)學生尋求本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)共性，為進一步推導余弦定理做鋪墊，讓學生體會分類討論的思想，發(fā)展學生細致觀察的能力.

教師引導學生輪換三角形頂點的字母，可以得到：

在任意△ABC中，若以對應小寫字母記為各角的對邊長，就有