關注數學元認知，把握教學中的初小銜接

卓林燕

【摘要】學習是不斷在原有的認知結構上進行同化或異化形成一個新的認知結構的過程.因此，在教學中要注重數學核心素養，充分利用元認知來引導學生的學習.在一些數學概念的學習上，特別要關注小學與初中、初中與高中的銜接.

【關鍵詞】數學元認知;教學;初小銜接

本文以“圓”為例進行分析，說明初中教學中如何關注數學元認知，真正把握教學中的初中和小學的銜接，提高數學認識的教學效率.

一、“圓”為什么要分三個階段學習

學習知識顯然包含兩個要素，一個是“學習”，另一個是“知識”.“學習”是有主體的，比如有教師和學生，同時還包括主體的行為和思想.“知識”即是內容，除了規定學習的目的外往往又決定了學習的方式和方法.所以，如何學習到知識或更有效地學習到知識是受兩個要素制約的.學習（的主體）和知識都有個成長或發展的過程，是一個階段一個階段變化的，基本上都是從低級到高級，由簡單到復雜.

有的知識，在人的成長過程中的某一階段就可以一次學習掌握了，比如“九九乘法表”這一知識.而有的知識是需要分階段學習的，比如數學中“圓”這個知識，通常不會在同一個階段就學習完畢，而是要放到小學、初中、高中三個階段學習，這就是所謂知識的“螺旋式”上升.為什么“圓”這個知識要分三個階段來學習呢？也是兩個方面決定的.

從知識角度講，能從客觀現實世界中認識“圓”這一形狀，并進行周長面積的計算是知識發生的第一階段;進一步抽象出“圓”的數學定義，完全轉化為數學圖形并對其性質進行探索是知識發生的第二階段;把“圓”這一本身抽象出的圖形轉化成另一種更為抽象的數學知識“函數”是知識發生的第三階段.“圓”還能發生到哪個階段暫且不說（比如小學求面積中化圓為方的極限思想）.顯然，筆者這里列舉的三個階段分別適合小學生、初中生和高中生的學習.

從學習角度講，小學生、初中生（筆者現在是教初中的，所以最了解的是初中，本文也是以初中的知識和初中生的學習為主）和高中生（本文主要是談初中和小學的銜接，高中的就不提了）是三個完全不一樣的主體，他們所具有的行為能力和思想方法是完全不同的，本質上講是他們的“元認知”不同.小學正式學習“圓”這一概念是在六年級，之前在其他年級中涉及“圓”.六年級的學生在計算能力上，對小數、分數的加減乘除運算已經比較熟練了，圖形方面也認識了三角形、長方形和梯形并會計算它們的周長和面積，學習“圓”算是水到渠成.這是小學學“圓”的充分條件.再者，所謂“方圓天地”，小學數學最后階段如果不學習“圓”的知識，那么小學階段的學習就不圓滿了.這是小學學“圓”的必要條件.與小學循序漸進的學習過程不同，在初中前兩年的學習中沒有“圓”相關的內容出現，到九年級了才直接進入“圓”的學習.九年級的學生有三角形、四邊形、圖形的對稱性等知識打底，計算能力和推理能力也比較強了，特別是抽象能力也較強了，才可以學習“圓”的定義和相關性質.另一方面，與小學六年級這一畢業年級類似，初中數學最后階段如果不學習“圓”，不懂得“方圓”轉化，那么初中階段的學習也就不圓滿了.

二、“圓”（起始課）在小學和初中兩個階段學習的不同之處

從內容來看，小學圓的起始課使學生認識圓，知道圓各部分的名稱;掌握圓的特征，理解直徑和半徑的相互關系;初步學會用圓規畫圓.初中這節課是使學生理解圓、弧、弦等有關概念;學會圓、弧、弦等的表示方法;掌握點和圓的位置關系及其判定方法并會應用于實際.

從教學環節來看，小學課堂大都是“借方識圓→借方想圓→借方畫圓→借方議圓”，帶領學生一起走進“圓”的世界.初中課堂則是“畫圓→憶圓→定義→練習→應用→小結”，層次分明、環環緊扣.

從上述兩個方面可以看出，“圓”在小學和初中兩個階段學習的不同之處的根本原因在于小學生和初中生的“元認知”（對認知的認知）不同.小學生的“元認知”能力較弱，學習基本停留在“認知”這一層次.而初中生不同，特別是到了九年級，具有了一定的“元認知”能力.因此，“認知”和“元認知”有什么不同，這兩個階段在“圓”的教與學上就有什么不同.

首先，認知活動的對象是外在的、具體的，是我們直接看到、聽到、觸摸到的東西.而元認知的對象是內在的、抽象的，是主體自身正在進行的認知活動，即我們透過表象認知其內在本質、規律的能力.小學“圓”主要就是從車輪、杯蓋等實物入手的;初中“圓”從圓的圖形開始學習.另外很顯然的，用圓規畫圓是具體的，用“點與圓的位置關系”來判定爆破影響面是抽象的.

其次，認知活動的內容是對認識對象進行某種直接具體的物理或智力操作，例如，小學生以游戲為載體，通過圓形輪子、方形輪子的轉動認識了解“圓”.元認知活動的內容是對認知活動進行調節和監控，例如，初中生通過閱讀教材來認識了解“圓”，有明確閱讀目的、閱讀重點、對閱讀活動不斷進行調節、自我提問以檢查閱讀效果、隨時采取修正策略等.

最后，認知活動可以直接使認知主體取得認知活動的進展，例如，小學生在獲得“直徑長度的一半等于半徑”后，教師就可以用“半徑等于2厘米，直徑等于多少”“直徑等于10米，半徑等于多少”這類問題來檢測學習進展.而元認知只能通過對認知活動的調控，間接地影響主體的認知活動，例如，初中生在完成“自學”后，一般通過自我檢查就可以確認自己的閱讀是否達到（教師或學習的）預期目標.而在解決“爆破影響面”的問題時，要無中生有，此處無“圓”卻有“圓”，沒有“元認知”能力是萬萬不可的.

認識到這些不同，就不難明白：在小學這節課的教學中要花大量的時間進行動手操作（畫畫、折疊之類的）;在初中這節課的教學中要花心思在概念與性質的形成和鞏固上.

三、用“元認知”來剖析“圓”這節課的重難點

元認知即認知的認知.具體地說，是關于個人自己認知過程的知識和調節這些過程的能力：對思維和學習活動的知識和控制;是個體對自己的認知加工過程的自我覺察、自我反省、自我評價與自我調節.每個階段的認知都是過去、現在和未來的統一體.