在線銷售下基于自由分布的訂貨與配送能力擴張決策

邱若臻,尚昆華

(東北大學 工商管理學院,沈陽 110169)

近年來,隨著電子商務的迅猛發展,越來越多的消費者選擇在網上購物[1]。據中國互聯網絡信息中心(CNNIC)發布的《中國互聯網絡發展狀況統計報告》顯示:2019年,中國網上零售額達1.06萬億元,比上年增長16.5%。截至2020年3 月,中國網絡購物用戶規模達7.10億人,占網民整體的78.6%。自2009年11月11日,天貓“雙十一”購物狂歡節大獲成功后,京東、蘇寧、亞馬遜等各大電商也紛紛采取低價促銷策略[2]。在網絡促銷期間,低價促使市場需求激增,進而產生了巨大的配送需求,從而給在線銷售企業以及負責向客戶交付商品的承運商帶來了巨大壓力。再者,促銷期間所帶來的巨大需求是臨時的,持續時間較短,但承運商的運力擴張成本卻較高,為了應對突增的配送需求,許多承運商通過租用車輛和倉庫、雇傭臨時工、加班及與其他企業合作等方式來臨時擴大運力。因此,為了盡可能地滿足配送需求,如何決策配送能力增量對于承運商而言至關重要。

盡管承運商努力提高自己的配送能力,但未能完全滿足交貨訂單的情況仍時有發生,這就導致了一部分包裹堆積和交貨延遲的情況,如“雙十一”期間,很多消費者購買的貨物需要等待一個月左右才能收到。延遲交貨往往會導致訂單受損和承諾失信,從而客戶滿意度和忠誠度較低[3]。然而,配送能力過剩又將會給承運商帶來巨大的運營成本(如租賃或購買車輛的成本),導致資金短缺。這種延遲交貨還會對在線銷售企業產生不利影響,如食品變質、降低消費者滿意度、甚至會促使許多消費者退貨。此外,對于在線銷售企業,當商品供大于求時,會產生一定的訂貨成本及庫存持有成本;當商品供小于求時,會產生延遲交付和客戶流失等缺貨損失,而由于缺貨會影響服務時效,零售商可能會選擇增加安全庫存,以對沖需求的不確定性,這又將增加庫存成本[4]。對于電子商務行業而言,物流服務是最昂貴的運營方式之一,對促進網上購物起著至關重要的作用[5]。Shang等[6]研究了基于時間的競爭中以準時交貨率來衡量的服務質量。在這種情況下,由于在線銷售企業的訂貨量對市場需求滿足率和客戶滿意度的影響較大,而承運商的配送能力對配送時效的影響較大,因而如何決策訂貨量和配送能力,在平衡銷售訂單滿足率和配送需求滿足率的同時使得供應鏈的利潤最大,是在線銷售環境下供應鏈面臨的兩個重要決策。

在現實中,一些在線銷售企業擁有自己的配送服務(如京東、蘇寧等),但在應對“雙十一”這種網絡促銷時,自建物流依然不能滿足全部的配送需求,此時需要臨時增加配送能力。針對一個具有配送能力的在線銷售企業,提出如下研究問題:①在不確定環境下,在線銷售企業如何制定能夠有效抑制不確定性擾動的訂貨與配送能力決策? ②在線銷售企業自身擁有配送能力的大小對最優決策及利潤有何影響? ③諸如需求均值和方差等市場環境的變化對依據本文方法制定的訂貨量和配送能力決策有何影響? 企業應如何應對? 為解決上述問題,本文在需求不確定環境下,建立僅知需求均值和方差信息的在線銷售企業期望利潤魯棒優化模型,采用對偶理論優化求解在線銷售企業的訂貨及配送能力策略,進一步分析相關參數對企業決策和利潤的影響情況,并通過數值分析驗證了所建模型和策略的有效性。

1 文獻綜述

與本文研究相關的文獻主要涉及在線零售業的運營管理、能力擴張和魯棒優化等方面。下面針對這三方面展開文獻評述,以凸顯本研究的貢獻。

(1)在線零售業在運營管理領域中引起了廣泛關注,參考文獻可見Gupta等[7]和胡祥培等[8]的綜述。大量文獻集中在定價、促銷、實體展廳、庫存控制以及渠道協調等方面。本文只回顧與本研究相關的供應鏈在線訂貨或庫存決策方面的文獻。針對在線零售企業,Ayanso等[9]開發了一個Monte Carlo仿真模型,以解決B2C環境下銷售不易腐爛物品的企業庫存配給問題。Heidary等[10]針對由一個風險敏感型零售商和一個不可靠供應商組成的供應鏈,研究了零售商在需求不確定和供應中斷情況下的庫存策略。樊雙蛟等[11]針對由顧客感知差異引起的退貨行為,分別構建了促銷期和日常銷售期下的退貨模型,研究了確定需求和隨機需求下的在線零售商定價和訂貨策略。Liu等[12]針對一個考慮在線退貨的雙渠道零售商,探討了BOPS(網上購買和店內取件)渠道對雙渠道零售商定價和訂貨策略的影響,研究發現,當零售商開通BOPS 渠道后,零售商會降低產品的價格,增加訂貨量。Xu等[13]針對一個在線零售商,考慮市場部分覆蓋和全覆蓋兩種情形,探討了消費者失望厭惡對在線零售商定價和訂貨策略的影響,研究發現,當在線零售商不給消費者全額退款時,消費者失望厭惡會損害在線零售商的利潤。吳曉志等[14]針對由一個制造商和一個同時擁有電子渠道和傳統渠道的零售商組成的供應鏈,研究了需求和生產成本同時擾動下的雙渠道供應鏈最優渠道零售價格和生產數量決策。上述研究很好地解決了確定或隨機需求下的在線零售企業的訂貨決策問題,但對配送能力及未知需求分布下的訂貨決策鮮有涉及。

(2)能力和訂貨聯合決策問題。關于能力投資和擴張問題的研究可參考Van Mieghem[15]的綜述。Roshanak等[16]研究了一個具有多個供應商的賣方選擇正確的供應商使采購和庫存成本最低的問題,其中,每個供應商都向其提供不同的折扣方案且有產量限制。Ghadimi等[17]研究了在服務水平保證法下的供應鏈生產能力和安全庫存聯合優化問題,并通過一般無環網絡和生成樹網絡方法進行求解。Glock等[18]研究了一個由隨機顧客需求的短生命周期產品的零售商和接到零售訂單后即開始生產的制造商組成的供應鏈,并提出一個能確定集中和分散環境下最優訂貨量和生產能力的模型,還提出了一個回購合同來協調分散供應鏈。Alim 等[19]針對一個靈活交貨的在線銷售企業,提出了一種庫存與配送聯合優化策略,研究表明,當在線銷售企業使用自己的車輛配送時,靈活交貨的配送方式會減少企業的運輸距離和碳排放。Zhang等[20]針對由一個在線零售商和一個有限配送能力的承運商組成的供應鏈,研究了不同渠道權力決策結構下的在線零售商定價和承運商配送能力增量決策,研究表明,通過收益共享契約可以激勵承運商適當擴大配送能力,進而改善隨機需求下的供應鏈整體績效。可以看出,在電子商務環境下,已有學者關注企業訂貨與配送能力聯合決策問題,但大多仍是針對確定性或已知需求分布的隨機需求情況。在現實中,精確的需求分布信息通常難以獲取,尤其是對于短生命周期產品。在不確定環境中,任何關于分布信息的錯誤假設可能導致很壞的績效結果,這就迫使企業尋找一種合適的建模及求解方法,使得做出的決策及其績效在各種環境中保持可行。

(3)基于自由分布的魯棒優化及其應用問題。作為有效處理不確定性問題的方法,魯棒優化廣受關注[21]。Scarf等[22]最早研究了自由分布下的單周期庫存問題,并利用魯棒優化方法給出了最優訂貨策略。Xu等[23]針對自由分布的單周期單產品庫存控制模型,考慮在碳排放限額和限額交易制度下,建立了基于最小最大準則的庫存魯棒優化模型,并分析了不同碳排放法規對企業訂購決策的影響。Bandi等[24]針對不確定需求下的多周期多產品報童問題,提出了一種基于數據驅動和自適應策略的魯棒優化模型。Yu等[25]首次將損失厭惡引入考慮需求不確定性下的魯棒優化框架中,在僅知需求均值和方差下給出了最優訂貨策略。Abdel-Aal等[26]考慮需求自由分布下的庫存決策問題,利用最小最大魯棒建模準則在不同風險偏好和不確定性集下制定最優訂貨策略。

由上述研究可以看出,供應鏈在線銷售訂貨決策問題研究主要側重于如下幾個方面:多數研究集中于考慮消費者行為,通過優化期望成本或利潤對定價和訂貨進行聯合優化;能力投資和擴張問題研究大多集中在供應鏈生產能力優化,關于配送能力的研究較少;采用魯棒優化方法處理不確定問題大多針對單一庫存決策,鮮有研究將訂貨和配送能力結合并做出魯棒決策。一般情況下,零售商或承運商所擁有的配送能力能滿足大部分的市場需求,但網絡促銷期間的需求量劇增且是不確定的,而且消費者需求的激增會引起較大的配送需求。由于延遲交貨會降低消費者的滿意度和忠誠度,進而對在線銷售企業造成不利影響,故結合實際情況,研究供應鏈在線銷售企業的訂貨與配送能力決策具有重要意義。

2 基本問題描述與模型構建

考慮一個自身具有一定配送能力的在線銷售企業,其在互聯網上向消費者銷售單一品種商品,并負責將該產品交付到消費者手中,如圖1所示。

圖1 需求不確定下的在線銷售企業訂購及配送流程

在線銷售企業面臨不確定需求D,網絡促銷來臨前,在線銷售企業以單位訂貨成本c向其上游供應商訂購q單位的產品;促銷期開始時,以固定單位價格p向市場銷售產品。由于市場需求不確定,在銷售期末可能存在未滿足市場需求或庫存剩余的情況,為簡化處理,本文不考慮缺貨損失,并假設超出市場需求的部分無殘值。對于在線銷售企業,假設其原有配送能力為N,當在線銷售企業的實際銷售量超過了交付能力時,可通過加班、雇傭臨時工、租賃或購買更多的車輛等來擴大配送能力。令x為配送能力增量,是決策變量,則總配送能力為N+x。根據文獻[27-28]中的研究,假設配送能力的擴張成本為βx2/2,其中,β為能力擴張成本系數。由于配送能力的擴張成本較高,在線銷售企業將不會大量增加配送能力,故即使在增加配送能力后,仍可能存在總配送能力供不應求的情況。此時,超出總配送能力范圍的商品將不能準時送到消費者手中,這會對在線銷售企業產生一定的延遲交貨損失,令S表示單位延遲交貨損失。不失一般性,假設pc-S＞0。

在上述運作背景下,在線銷售企業利潤函數可描述為

式中,Δ+=max{Δ,0}。

對于在線銷售企業而言,當市場需求分布已知時,其問題為確定訂貨量q以及配送能力增量x來最大化其期望利潤,即max E[π(q,x)]。然而,現實中通常難以獲得精確的需求分布信息。本文假設僅知市場需求D的均值和方差信息,分布形式F未知。不失一般性,令Γ(μ,σ2)為具有均值為μ、方差為σ2的所有需求分布函數的集合,Γ+(μ,σ2)?Γ(μ,σ2)為分布F的非負隨機變量的子集(即則F∈Γ+(μ,σ2)。在最大最小魯棒建模準則下,在線銷售企業問題變為通過確定訂貨量q以及配送能力增量x來最大化最壞分布下的期望利潤(又稱為自由分布問題),即

式中,F∈Γ+(μ,σ2)表示隨機變量D服從屬于Γ+(μ,σ2)的未知分布F。可以看出,要求解模型式(2),關鍵在于獲得最壞分布下具有封閉形式的期望利潤表達式。下面將針對上述問題采用對偶理論分析屬于Γ(μ,σ2)的最壞分布以及在最壞分布下的期望利潤。

對于魯棒優化模型式(2),首先考慮如下內層優化問題:

式中,函數g(D)為包含隨機變量D的分段函數,表達式為

可以看出,求解問題式(3),等價于求解

根據對偶理論,問題式(5)的對偶問題可描述為:

式中,y0、y1和y2是對偶變量。對于問題式(5)、(6),令F*(D)和分別為問題式(5)和對偶問題式(6)的最優解,則式(5)、(6)等價的充要條件為如下互補松弛條件成立,即

時,對于任意的D∈R+,原最優解F*(D)的概率非零,也即光滑曲線

與分段函數g(D)的接觸點是原最優解的可行點。特別地,函數g(D)和G(D)最多有3個且至少有2個接觸點。根據訂貨量和總配送能力的大小關系,可將函數g(D)與G(D)的接觸問題分為如下兩種情況:

(1)總配送能力小于訂貨量,即N+x＜q,如圖2所示。當N+x＜q時,分段函數g(D)由如下3條直線構成:

假設G(D)與g(D)有3個接觸點,則G(D)通過與l0、l1和l2相切或與原點相交以及與l1和l2相切可得兩種3點分布情形[見圖2(1a)];假設G(D)與g(D)有2個接觸點,則G(D)通過與l0、l1和l2中任意兩條相切或與原點相交以及與l1或l2中任意一條相切可得5種兩點分布情形[見圖2(2a)]。

圖2 N+x＜q 時函數g(D)和G(D)的相交或相切情形

(2)總配送能力大于等于訂貨量,即N+x≥q,如圖3所示。當N+x≥q時,分段函數g(D)由如下兩條直線構成:l0:y=p D,l3:y=pq。此時,G(D)與g(D)只有2個接觸點,G(D)通過與l0和l3相切或與原點相交且與l3相切得到圖3(2a′)和(2b′)兩種兩點分布情形。

圖3 N+x≥q 時函數g(D)和G(D)的相交或相切情形

下面將針對圖2、3 所示9 種情形進行求解分析,從而得到問題式(3)的最優解。具體地,通過求解9 種情形下的對偶問題式(6),得到最優和對偶問題的最優目標值,該最優目標值等價于問題式(5)的最優目標值U(D)。進一步,可得在線銷售企業在最壞分布下的期望利潤為:Π(q,x)=U(D)-cq-βx2/2。

3 策略求解與分析

如前文所述,對于所有的F∈Γ+(μ,σ2),最壞分布可歸結為9 種情形。為方便描述,進行如下定義:

首先考慮情況(1),即總配送能力小于訂貨量(N+x＜q),企業增加一定量的配送能力后,其總配送能力仍然小于在線銷售企業的訂貨量。此時,對于所有的F∈Γ+(μ,σ2),最壞分布下的期望利潤Π(q,x)有7種情形,分別對應3點分布2種和兩點分布5種(見圖2)。

命題1當N+x＜q時,令Πk(q,x)表示情形k對應的最壞分布期望利潤,k∈{1a,1b,2a,2b,2c,2d,2e},則有如下結果:

(1)不確定需求服從3點分布。

(1a)若(p+S)/S≥q/(N+x)且

(2)不確定需求服從兩點分布。

命題1給出了當企業總配送能力低于訂貨量水平時,最壞分布下的期望利潤解析表達式。進一步考慮情況(2),即總配送能力大于或等于訂貨量(N+x≥q),該情況下不存在延遲交貨損失。此時,對于所有的F∈Γ+(μ,σ2),最壞分布下的期望利潤Π(q,x)對應于不確定需求服從2種兩點分布的情形(見圖3)。因此,有命題2成立。

命題2當N+x≥q時,不確定需求僅服從兩點分布,令Πj(q,x)表示情形j對應的最壞分布期望利潤,j∈{2a′,2b′},則有如下結果:

(2a′)若N+x≥2q且σ2＜(μ-)(2qμ),或N+x＜2q且

(2b′)若N+x≥2q且

命題1、2 的證明見附錄。命題1、2 表明,對于所有的F∈Γ+(μ,σ2),每種情形都對應一個區間范圍,且此區間均可用均值μ和方差σ2的大小關系來表示。此外,每種情形均對應不同的最壞情況期望利潤函數。例如,對于給定的在線銷售企業相關參數,假設(p+S)/S≥q/(N +x)且不確定市場需求均值μ在區間[D0,D1]內,當方差σ2不斷增大時,最壞分布將從情形(2a)變化到(1a)、(2c)及(2e),而相應情形下得到的期望利潤也有所不同。

在命題1、2基礎上,在線銷售企業問題為尋找最優的訂貨量和配送能力增量,以最大化其在最壞分布下的期望利潤(由命題1、2給出)。下述命題3和命題4給出了最壞分布下的期望利潤Π(q,x)最大化時的魯棒訂貨量和配送能力增量決策。為方便描述,進行如下定義,即

同上,首先考慮情況(1),即總配送能力小于訂貨量(N+x＜q)。在命題1基礎上可求得7種最壞分布下相應的最優訂貨量和配送能力增量的表達式或應滿足的條件,有命題3成立。

命題3當N+x＜q時,在線銷售企業在最壞分布下的最優訂貨量和配送能力增量可通過如下步驟獲得:

(1)不確定需求服從3點分布。

(1a)若(p+S)/S≥q/(N+x)且

(1b)若(p+S)/S＜q/(N+x)且

(2)不確定需求服從兩點分布。

(2b)若(p+S)/S＜q/(N +x)且σ2＜(μ-D1)(D2-μ),或

則最優訂貨量q*=q2b,最優配送能力增量x*=x2b。特別地,當p-S-2c≥0時,

(2c)若(p+S)/S≥q/(N+x)且

則最優訂貨量q*=q2c,最優配送能力增量x*=x2c。

(2d)若(p+S)/S＜q/(N+x)且

則最優訂貨量和配送能力增量滿足

(2e)若(p+S)/S≥q/(N+x)且

對于情況(2),當配送能力大于或等于訂貨量,即N+x≥q時,在命題2的基礎上可求得2種最壞分布下相應的最優訂貨量和配送能力增量的表達式或應滿足的條件,有命題4成立。

命題4當N+x≥q時,在線銷售企業在最壞分布下的最優訂貨量和配送能力增量可按如下步驟求得:

(2a′)若N+x≥2q且σ2＜(μ-)(2qμ),或N+x＜2q且

則最優訂貨量q*=q2a′,最優配送能力增量x*=x2a′。

(2b′)若N+x≥2q且

則最優訂貨量和配送能力增量滿足

命題3、4的證明見附錄。命題3和命題4給出了在線銷售企業最壞分布情況下相應的最優訂貨量和配送能力增量的表達式或其應滿足的關系式。其中,情形(2b)、(2c)和(2a′)的最優解(q*,x*)存在解析式,情形(1a)和(1b)的最優解無法用解析式表示,故給出了其應滿足的關系式,其余情形僅能通過規劃問題來得到滿足約束條件的最優解。由命題3、4還可知,最優決策與在線銷售企業自身擁有的配送能力有關,當原有配送能力變化時,最優決策滿足的條件隨即發生變化,進而影響最優決策的取值。根據命題3和命題4,當不確定需求及在線銷售企業的參數關系符合上述中的任一情形時,都能得到相應的訂貨量和配送能力策略,使得在線銷售企業在最壞分布下的期望利潤最大。在線銷售企業可根據已有樣本數據對需求參數進行估計,并結合其他參數信息,對最壞分布的情況進行判斷,從而做出最優決策。

由于命題3和命題4涉及數學規劃問題求解,難以直接進行最優訂貨和配送能力策略關于相關系統參數的靈敏度分析,為了給出更有意義的理論結果,本文將主要針對具有清晰或隱式表達式的決策給出靈敏度分析結果。針對命題1～4的結果,有如下推論成立。

推論1當N+x＜q時,在線銷售企業最壞分布下的最優決策有如下結論成立:

推論1給出了具有清晰或隱式表達式的訂貨量和配送能力增量決策的靈敏度分析結果。其中,情形(1a)和(1b)的結果可由隱函數求導法則得到。推論1(1a)表明,在情形(1a)條件下,當J1/J＜0時,訂貨量q*隨著原有配送能力N的增大而增大;反之,q*隨著N的增大而降低。當J2/J＜0時,配送能力增量x*隨著原有配送能力N的增大而增大;反之,x*隨著N的增大而降低。推論1(1b)與推論1(1a)類似。推論1(2b)表明,在情形(2b)條件下,當

時,訂貨量q*隨著不確定需求均值μ和標準差σ的增大而增大,隨著單位延遲交貨損失S和單位訂貨成本c的增大而降低,q*與N無關。當

時,q*隨著μ的增大而增大,隨著σ、S和c的增大而降低,q*與N無關。配送能力增量x*隨著單位延遲交貨損失S的增大而增大,x*與N、μ、σ和c無關。推論1(2c)表明,在情形(2c)條件下,訂貨量q*隨著N的增大而降低,隨著μ的增大而增大,并給出了q*隨著參數σ、S和c變化情況的條件;配送能力增量x*隨著S和c的增大而增大,x*與N、μ和σ無關。

推論2當N+x＜q時,在線銷售企業最壞分布下的最優期望利潤有如下結論成立:

(2b)若(p+S)/S＜q/(N +x)且σ2＜(μ-D1)(D2-μ),或

(2c)若(p+S)/S≥q/(N+x)且

推論3若N+x≥2q且σ2＜(μ-)(2qμ),或N+x＜2q且

推論3①表明,在情形(2a′)條件下,訂貨量q*隨著不確定需求均值μ的增大而增大,隨著單位訂貨成本c的增大而降低。當p-2c＞0時,q*隨著標準差σ的增大而增大;反之,q*隨著σ的增大而降低,q*與N和S無關。配送能力增量x*與參數N、μ、σ、S和c無關。推論3②表明,在情形(2a′)條件下,期望利潤隨著μ的增大而增大,隨著σ和c的增大而降低與N和S無關。

4 數值實驗與分析

為了驗證基于自由分布的在線銷售企業訂貨及配送能力魯棒策略在應對需求不確定性方面的有效性,對命題3和命題4進行數值計算。考慮兩種情形:情形I(N=0)表示在線銷售企業無原有配送能力,情形Ⅱ(N=2)表示在線銷售企業有原有配送能力,以分析在線銷售企業有無配送能力對最優決策及期望利潤的影響。此外,由于需求分布未知,本文還考慮將魯棒策略及期望利潤與已知分布(如正態和均勻)下的最優策略及期望利潤進行比較,并進一步比較魯棒策略代入正態分布和均勻分布模型下得到的期望利潤。其中,已知在正態分布和均勻分布下的優化問題為:max E[π(q,x)]。其余參數設置為:p=50,c=12,S=16,β=2,μ=5,σ=1。此外,為清晰地表述不同分布情況下的決策及利潤,數值中:上標R、N 和U 分別表示未知分布(對應魯棒優化)、正態分布和均勻分布下的解,RN和RU分別表示將魯棒策略代入正態分布和均勻分布獲得的利潤;上標R1、N1和U1分別表示情形I(即N=0)下魯棒優化、正態分布和均勻分布的解,RN1和RU1分別表示情形I下將魯棒策略代入正態分布和均勻分布獲得的利潤,情形II(即N=2)與情形I的表達方式類似,即將數字1替換為2來表示。

4.1 在線銷售企業原有配送能力N 對最優策略及期望利潤的影響

首先分析在線銷售企業原有配送能力N對最優策略及期望利潤的影響(見圖4、5)。由圖4(a)可知,隨著N的增加,3種分布下的訂貨量(qR、qN和qU)均呈遞增趨勢;由圖4(b)可知,隨著N的增加,3種分布下的配送能力增量(xR、xN和xU)均呈遞減趨勢。該結果說明,隨著原有配送能力的增加,企業所需增加的配送能力越來越少,由于總配送能力增加,故訂貨量呈增加趨勢。上述結論表明,原有配送能力將顯著影響企業訂貨量和配送能力決策,在線銷售企業應根據自身原有配送能力的大小,適當調整訂貨和配送能力策略。

圖4 不同參數N 下的訂貨量和配送能力增量

由圖5(a)可以看出,3種分布下的期望利潤均隨原有配送能力N的增加呈遞增趨勢。特別地,由于不確定性的存在,魯棒期望利潤低于正態分布和均勻分布下的最優期望利潤。需要注意的是,圖中魯棒期望利潤(ΠR)是最壞分布下所能獲得的利潤,表示企業所能獲得的利潤下界。換言之,當現實中任何一種需求分布發生時,采取文中方法得到的魯棒訂貨量和配送能力策略都將獲得不低于最壞分布下的期望利潤,這一點可以進一步從圖5(b)中觀察到。由圖5(b)可知,魯棒策略代入均勻或正態分布得到的期望利潤與相應分布下得到的最優期望利潤相差較小,但仍大于魯棒期望利潤。特別地,魯棒策略導致的績效損失隨著原有配送能力的增加而增大,當N=0時,魯棒策略用于正態和均勻分布下的績效損失最小,損失比例分別為0.45%和0.19%;當N=4.5 時,績效損失最大,損失比例均為2.90%。該結果說明,在線銷售企業的原有配送能力較大時,會導致一定的利潤績效損失,但與已知分布下的利潤績效相比,損失值很小。上述結論表明,當在線銷售企業原有配送能力發生變化時,無論需求的真實分布如何,魯棒策略都具有很強的適用性,進一步說明本文所建模型在應對不確定性方面具有良好的魯棒性。

圖5 不同參數N 下的期望利潤

4.2 需求均值μ 和標準差σ 對最優策略及期望利潤的影響

為了分析不確定市場需求的分布特征對最優策略及期望利潤的影響,首先固定σ=1,令μ在范圍[1,10]內變動,然后固定μ=5,令σ在范圍[1,5.5]內變動,結果如圖6～9所示。

由圖6知,隨著需求均值μ的不斷增大,3種分布下情形I和情形II的最優訂貨量(qR1、qN1、qU1和qR2、qN2、qU2)以及最優配送能力增量(xR1、xN1、xU1和xR2、xN2、xU2)均呈遞增趨勢。這是由于需求均值越大,表明市場需求越大,故在線銷售企業會增加訂貨量來滿足需求;當現有配送能力不足時,在線銷售企業會增加配送能力來滿足需求。綜合情形I和情形II結論,表明無論在線銷售企業是否擁有配送能力,不確定需求均值對3種分布的最優決策的影響程度基本相似。

圖6 不同參數μ 下的訂貨量和配送能力增量

由圖7(a)知,隨著需求標準差σ的增大,3種分布下情形I和情形II的最優訂貨量(qR1、qN1、qU1和qR2、qN2、qU2)均呈遞增趨勢。由圖7(b)可知,對于情形I,隨著σ的增大,未知分布下的配送能力增量(xR1)呈現比正態和均勻分布下(xN1和xU1)更為急劇的下降趨勢。當在線銷售企業自身無配送能力時,增加配送能力所需的成本較大,為了防止運力供大于求,隨著標準差的增大,在線銷售企業傾向于不斷減少配送能力。此外,標準差越大,說明市場需求波動風險越高,由于魯棒優化方法對應風險厭惡決策,故在配送能力擴張方面更為謹慎。當企業無任何原有配送能力時,隨著配送能力的增加,魯棒訂貨量呈顯著遞增趨勢。對于情形II,隨著標準差σ的增大,魯棒配送能力增量(xR2)較為平穩,正態和均勻分布下配送能力增量(xN2和xU2)均呈緩慢遞增趨勢。這是由于在線銷售企業自身有配送能力時,無需大量增加配送能力,故隨著標準差的增大,在線銷售企業會靈活調整配送能力以應對需求不確定性。綜合圖7可知,情形I的最優配送能力增量水平高于情形II。上述結論表明,當在線銷售企業無原有配送能力時,需求標準差對其最優決策的影響程度較大。

圖7 不同參數σ 下的訂貨量和配送能力增量

根據圖8(a),對比情形I和情形Ⅱ可以發現,當在線銷售企業有原有配送能力時,市場需求較大(μ越大)時,情形II的期望利潤高于情形I且差額較大。這是由于具有配送能力的在線銷售企業受市場配送需求波動的影響較小,且其只需增加少量配送能力即可滿足大部分需求。由圖8(b)可知,情形I和情形II下的魯棒策略代入已知分布得到的最優期望利潤與相應分布下得到的最優期望利潤相差較小,進一步說明本文得到的魯棒策略適應性較強。

圖8 不同參數μ 和需求分布下的期望利潤

由圖9可以看出,情形I和情形II的期望利潤均隨σ的增大呈遞減趨勢,說明較高的市場波動將對企業利潤產生不利影響。此外,由圖9進一步看出,3種分布下情形II的期望利潤均高于相應情形I的期望利潤。圖8、9的結論表明,在線銷售企業一方面可通過市場營銷活動刺激市場需求的增加;另一方面可通過對往年的市場數據進行分析并做出合理預測,以降低市場需求不確定性,從而制定更加準確的運作策略以提高期望利潤。

圖9 不同參數σ 下的期望利潤

4.3 單位延遲交貨損失S 對最優策略及期望利潤的影響

圖10、11進一步給出了延遲交貨損失S對最優策略及期望利潤的影響。

由圖10可知,對于情形I,隨著延遲交貨損失S的不斷增大,魯棒訂貨量(qR1)呈遞增趨勢,正態和均勻分布下的訂貨量(qN1和qU1)均呈遞減趨勢,最優配送能力增量(xR1、xN1和xU1)均呈遞增趨勢。對于情形II,隨著S不斷增大,魯棒訂貨量(qR2)呈遞增趨勢,正態和均勻分布下的訂貨量(qN2和qU2)均呈先遞減后不變的趨勢,最優配送能力增量(xR2、xN2和xU2)均呈遞增趨勢。無論在線銷售企業自身是否具有配送能力,為了盡可能地滿足市場需求,風險厭惡決策者(對應未知分布)傾向于提高訂貨量水平以減少缺貨損失,風險中性決策者(對應正態或均勻分布)則依據期望利潤最大化模型制定決策。同時,隨著延遲交貨損失逐漸增大,決策者不斷增加配送能力以滿足大部分的配送需求,從而避免延遲交貨帶來的巨大損失。綜合情形I和情形II的結論可知,當在線銷售企業無配送能力時,單位延遲交貨損失對其最優決策的影響較大。

圖10 不同參數S 下的訂貨量和配送能力增量

由圖11(a)知,3種分布下的情形I和情形II的魯棒期望利潤均低于相應的正態和均勻分布下的期望利潤,但差額較小。由圖11(b)知,無論情形I還是情形II,魯棒策略用于正態和均勻分布時的期望利潤與正態和均勻分布下的最優期望利潤相差較小,進一步說明本文模型具有良好的魯棒性。此外,由圖11還可看出,情形I和情形II的期望利潤均隨S的增大呈遞減趨勢,且不同分布下情形II的期望利潤均遠高于相應情形I的期望利潤。上述結論表明,當單位延遲交貨損失較大時,在線銷售企業可通過放棄一部分銷售收益來避免增加配送能力帶來的巨大損失。

圖11 不同參數S 的期望利潤

4.4 單位訂貨成本c對最優策略及期望利潤的影響

圖12、13給出了不同單位訂貨成本c下的企業最優決策及期望利潤變化情況。

圖12 不同參數c 下的訂貨量和配送能力增量

由圖12可知,隨著單位訂貨成本c的增大,訂貨量(qR1、qN1、qU1和qR2、qN2、qU2)均呈遞減趨勢,配送能力增量(xR1、xN1、xU1和xR2、xN2、xU2)則變化較小。這是由于無論在線銷售企業是否具有配送能力,當單位訂貨成本增大時,意味著采購成本較高,企業會選擇降低訂貨量,同時適度地降低或維持一定的配送能力增量來滿足配送需求。

由圖13可以看出,情形I和情形II的期望利潤均隨c的增大呈遞減趨勢,且每種情形下不同分布的期望利潤值差額較小。特別地,魯棒策略導致的績效損失隨著單位訂貨成本的增加而增大,在情形I和情形II下,魯棒策略用于正態分布時的最小績效損失比分別為0.16%和0.73%,最大績效損失比分別為1.31%和2.92%;而用于均勻分布時的最小績效損失分別為0.08%和0.60%,最大績效損失比分別為0.91%和2.52%。可以看出,當需求分布未知時,采取本文方法得到的魯棒策略雖然會導致績效損失,但損失比很小,說明本文模型得到的魯棒策略能夠有效抑制需求不確定性擾動,并確保良好的運作績效。

圖13 不同參數c 下的期望利潤

5 結論

基于在線銷售企業網絡促銷時期面臨的問題,本文在市場隨機需求概率分布不確定條件下,研究了在線銷售企業的訂貨量和配送能力魯棒策略問題。通過構建在線銷售企業的利潤函數模型,建立了相應的魯棒優化模型,并采用對偶理論將魯棒對應模型轉化為易于求解的數學規劃問題。此外,為了驗證魯棒策略的有效性,將魯棒策略與需求服從正態和均勻分布時的策略進行比較。數值結果表明:

(1)無論需求分布是否確定,在一定范圍內,在線銷售企業的最優訂貨量都隨自身原有配送能力的增加而增加,最優配送能力增量隨自身原有配送能力的增加而降低。需求均值越大或標準差越小,企業所能獲得的利潤越高。

(2)在線銷售企業自身具有配送能力時,其在不同分布下得到的期望利潤一般均高于無配送能力的情形。

(3)無論需求分布是否已知,在線銷售企業的總配送能力始終小于或等于訂貨量。

(4)當在線銷售企業無配送能力時,其最優策略及期望利潤受不確定性因素的影響較大,反之則較小。

(5)基于本文模型得到的魯棒策略下的期望利潤與正態和均勻分布下得到的期望利潤相差較小,且與魯棒策略應用于正態和均勻分布下得到的期望利潤相差也較小。這說明,即使需求存在不確定性,本文模型得到的魯棒策略仍能保證在線銷售企業獲得較為理想的利潤績效。

根據上述結論,得到如下管理啟示:

(1)當需求不確定時,無論在線銷售企業自身是否擁有配送能力,其均可通過對需求參數進行估計,并根據得到的需求均值和方差信息做出合理的訂貨和配送能力決策。此外,通過營銷活動刺激需求增加并提高對市場需求的預測精度均有利于企業利潤的增加。

(2)在線銷售企業應確定適當的自有配送能力以平衡運營成本和銷售利潤,從而提高期望利潤。

(3)當配送能力不足需要擴張時,在線銷售企業應采用適當的配送能力決策,使總配送能力水平不超出其訂貨量水平以減少擴張成本,從而獲得更高的期望利潤。

(4)在線銷售企業自身無配送能力時,應權衡其不確定風險承擔能力與配送服務的運營成本,從而決定是否開發配送服務來應對不確定性因素產生的影響。

(5)當面對不確定市場需求時,管理決策者可通過魯棒優化方法得到最優策略,以有效抑制需求不確定性擾動產生的負面影響。

本文只考慮了單一決策主體的訂貨量與配送能力決策問題,進一步可考慮供應鏈上多個決策主體以及通過不同的供應鏈契約對其進行協調問題研究。此外,還可考慮從多級供應鏈和數據驅動不確定性建模等方面進行拓展,研究基于數據驅動的供應鏈訂貨及配送能力決策問題也是未來的研究方向。

附錄A

命題1的證明

證明思路:通過求解圖2中每種情形下的對偶問題式(6),得到最優和對偶問題的最優目標值,該最優目標值等價于問題式(5)的最優目標值U(D)。進一步,可得在線銷售企業在最壞分布下的期望利潤Π(q,x)=U(D)-cqβx2/2。

對于情況(1),即總配送能力小于訂貨量(N +x＜q)。以不確定需求服從3點分布的情形(1a)以及兩點分布的情形(2a)為例,證明過程如下:

(1)不確定需求服從3點分布。

(1a)當N+x＜q時,g(D)由如下3條直線構成:l0:y=p D,l1:y=(p-S)D+S(N +x),l2:y=(p-S)q+S(N+x)。假設光滑曲線G(D)=y0+y1D+y2D2與g(D)相切于D0、D1和D23點,且滿足條件0≤D0＜N+x,N+x≤D1＜q和D2≥q,如圖2所示。根據相切條件,切點滿足如下方程組:

將式(A2)代入式(A1),得τ=此時,滿足原可行解F*(D)的互補松弛條件的對應對偶解為:

命題2的證明與命題1證明類似,在此略去。

命題3的證明

在命題1的證明基礎上,最大化每種情形最壞分布下的期望利潤(由命題1給出),以尋找最優的訂貨量和配送能力增量。

對于情況(1),即總配送能力小于訂貨量(N+x＜q)。以情形(1a)、(2a)和(2b)為例,證明過程如下:

(1)不確定需求服從3點分布。

(1a)由命題1知

命題4的證明與命題3證明類似,在此略去。

推論1的證明

對于情況(1),即總配送能力小于訂貨量(N+x＜q)。

(1)不確定需求服從3點分布。

(1a)由命題3知最優訂貨量q*和最優配送能力增量x*滿足式(8)、(9)兩個關系式,根據隱函數求導法則,可分別對q*和x*關于參數N、μ、σ、S和c進行求導。以參數N為例,由命題3可得如下方程組:

由?q*/?N=-J1/J得到最優訂貨量q*關于參數N的一階偏導數。當-J1/J＞0時,訂貨量q*隨著原有配送能力N的增大而增大;當-J1/J＜0時,q*隨著N的增大而降低。

由?x*/?N=-J2/J得到最優配送能力增量x*關于參數N的一階偏導數。當-J2/J＞0時,配送能力增量x*隨著N的增大而增大;當-J2/J＜0時,x*隨著N的增大而降低。其余參數的分析與N相似。由于情形(1a)的最優解無解析表達式,故未對相應情形的最優期望利潤進行靈敏度分析。推論1(1a)證畢。

(1b)由命題3知最優訂貨量q*和最優配送能力增量x*滿足式(10)、(11)兩個關系式,根據隱函數求導法則,可分別對q*和x*關于參數N、μ、σ、S和c進行求導。以參數N為例,由命題3可得如下方程組: