類蜂窩夾芯結構等效力學性能優化設計

李 響，李 銳，徐興興，杜凌峰

(1.三峽大學機器人與智能系統宜昌市重點實驗室，湖北宜昌443002；2.三峽大學機械與動力學院，湖北宜昌443002；3.湖北力帝機床股份有限公司，湖北宜昌443002)

0 引言

作為高效節能型復合材料結構的典型代表，夾層結構材料具有重量輕、比強度和比剛度高、吸能特性和穩定性好等眾多優點，它將面板的高強度和高模量與夾芯的低密度和高剛性有機結合起來，在汽車、航空航天、船舶、機械、建筑等領域中有著極其重要的應用價值。隨著夾層結構材料在工程領域中的不斷推廣應用，人們對夾層結構材料的力學性能、吸能性、穩定性、耐撞性、抗疲勞等性能指標提出了更高的要求，包括蜂窩夾層結構在內的傳統夾層結構材料逐漸不能滿足工程設計要求，迫切需要開發新型夾層結構材料。因此，本文作者從仿生學和創新設計的角度出發，于2013年提出了“類蜂窩”夾層結構的概念；在此基礎上，創新設計出 “類蜂窩”、“類方形蜂窩”和嵌套式類蜂窩等多種夾芯結構。為了更好地揭示類蜂窩及其衍生結構的優點，急需開展其最優等效力學性能、最優胞元尺寸等方面的研究。

目前國內外眾多學者針對蜂窩結構的力學性能及其優化設計進行了眾多研究，得到了許多有價值的研究成果。方耀楚[1]分別對二級層級褶皺結構的輕量化和力學性能進行了優化設計，使其在滿足約束條件下性能得到了改善。甘代偉[2]以層波紋板的單元壁厚和波紋夾角作為設計變量，對金屬曲面夾層板的彈性模量和彎曲撓度進行優化設計，并得到了在靜力作用下的最優力學性能。袁勝剛[3]在溫度及三點彎曲載荷條件下，對負泊松比蜂窩夾芯結構進行了優化設計，得到了滿足約束條件并具有最優材料分布和重量最輕的蜂窩夾芯結構。黃華貴[4]研究了層厚比的改變對復合板的拉伸力學性能影響，發現其力學性能會隨著組元層厚比及材料的不同而改變。李清原[5]對變剛度層合板的力學性能進行了研究，并以層合板剛度最大為目標優化其鋪層角度，得到了不同鋪層數量時的最佳優化路徑。徐亮[6]提出一種點陣結構填充的新型冷卻結構，并以點陣結構的桿件直徑和桿件傾角為變量對其1階固有頻率、努塞爾數和相對密度優化設計，得出了各參數的敏感性程度。Khalkhali[7]以波紋夾層結構的重量和撓度最小化為目標函數，采用NAGA-Ⅱ多目標優化算法對其進行優化設計，獲得了在滿足一定約束條件的最佳折中解。Gholami[8]采用粒子群算法對具有蜂窩夾芯的復合夾層結構進行了優化設計，以最小化夾層板重量為目標，總結出當擁有最佳的夾層板時，其每個胞元應該有最小的橫截面積以及最大的允許長度。An[9]對層壓復合面板的堆疊順序和芯層厚度進行了協同優化設計，并采用數值算例驗證了優化的可行性。Hu[10]建立結構模型對正交波紋夾芯板的壓縮和剪切強度進行評估，并通過優化設計得到高強度、輕質量的復合材料夾芯板。Guo[11]以力學性能和散熱性能為目標對一種仿生輕質夾芯板進行優化設計，使其散熱和抗壓性能分別為優化前的14.3和2.1倍，并且在相同承重下，其重量減少11%。目前國內外學者對夾層結構力學性能進行了較為深入的研究，但關于胞元尺寸參數對其力學性能的影響分析還較為缺乏。

本文所研究的類蜂窩夾芯結構相比于正六邊形蜂窩夾芯結構來說，在等效力學性能相同時，擁有更小的等效密度，表明其輕量化程度更高。目前類蜂窩夾芯結構各尺寸參數均為經驗取值，未能反映其最優力學性能，本文將以此開展相關研究。圖1為初始類蜂窩夾芯胞元結構示意圖。

圖1 類蜂窩夾芯胞元結構Fig.1 Structure of quasi-honeycomb sandwich cell

1 類蜂窩夾芯結構優化設計

本文以類蜂窩夾芯結構為研究對象，對其等效力學性能進行優化設計。類蜂窩夾芯結構面內x方向與y方向等效力學性能相同，因此本文將以面內x方向等效力學參數為優化目標。

1.1 類蜂窩夾芯結構優化設計變量及目標函數

研究發現，類蜂窩夾芯結構力學參數與t/l、h/l的相關性相對于l、h、t更高，因此在優化胞元尺寸參數l、h、t的基礎上，將t/l、h/l作為優化對象，即選取t/l、h/l、θ作為設計變量。其中t為胞元厚度、l為六邊形短邊長、h為正方形邊長、θ為六邊形短邊與水平方向夾角。并依據本課題組前期研究工作[12]，優化問題的目標函數為

(1)

式中，α=t/l，β=h/l，Es為夾芯材料的彈性模量，ρs為夾芯材料密度。

1.2 類蜂窩夾芯結構優化數學模型

為保證結論的普遍性，本文對具有代表性的三角形至十二邊形展開研究。類蜂窩夾芯結構為薄壁結構，其壁厚t相對于邊長h、l取值較小，因此綜合考慮類蜂窩夾芯結構力學性能指標，優化數學模型為

(2)

1.3 多目標遺傳算法優化流程及算法設置

本文采用多目標遺傳算法進行優化設計，為獲得準確度更高的優化解，參數設定為最優前端個體系數0.5，種群大小100，最大進化代數200，停止代數200，其具體流程如圖2所示。

圖2 多目標遺傳算法優化流程圖Fig.2 Flow chart of multi-objective genetic algorithm optimization

2 胞元尺寸參數優化分析

2.1 胞元尺寸響應分析

1) 取t/l、h/l大小為初始值，當改變θ大小時，類蜂窩夾芯胞元結構等效力學性能參數的變化如圖3所示。

由圖3可知，夾芯結構的等效彈性模量隨著θ的增大而減小，并且在θ>30°后，其變化趨勢逐漸下緩；等效密度隨著θ的增大先變小后增大，并且在θ=45°發生轉折，此時等效密度能取到最小值。泊松比與等效彈性模量較為相似，都是隨著θ的增加而逐漸減小，但泊松比的遞減曲線比等效彈性彈性模量更為平緩。等效剪切模量與θ成正相關，且增長率隨θ的增大呈上升趨勢。

2) 當θ、h/l采用初始參數，改變t/l的大小對等效力學性能參數的影響如圖4所示。

由圖4可知，夾芯結構的等效彈性模量隨著t/l的增大而增大，且增長率逐漸上升。等效密度與t/l基本上呈線性相關，并隨著t/l的增大而逐步減小。泊松比雖然隨著t/l的增大而減小，但其變化范圍較小，均在0.99之間，表明t/l的改變對泊松比的幾乎沒有影響。等效剪切模量隨著t/l的增加而逐量微小增加。

3) 當θ、t/l采用初始參數，改變h/l對的大小對等效力學性能參數的影響如圖5所示。

圖3 θ對目標函數的響應圖Fig.3 The response graph of θ to the objective function

圖4 t/l對目標函數的響應圖Fig.4 The response graph of t/l to the objective function

圖5 h/l對目標函數的響應圖Fig.5 The response graph of h/l to the objective function

由圖5可得，夾芯結構的等效彈性模量和泊松比基本成線性相關，并且均在小范圍內變化，表明h/l的改變對夾芯結構的等效彈性模量和泊松比的影響可忽略不計。而隨著h/l的增大，等效密度和等效剪切模量都相應減小，其中等效密度的下降率趨于穩定，而等效剪切模量的下降率是逐漸較小，表明h/l的增長對等效剪切模量的影響逐漸減小。

2.2 胞元尺寸協同響應分析

圖6為t/l、h/l、θ協同作用時對等效彈性模量的響應面。如圖6(a)所示，在t/l、h/l協同作用時，無論t/l較大或者較小，都對等效彈性模量的影響很小，并且t/l在兩者中起主導影響因素，隨著t/l的增大,夾芯結構等效彈性模量也逐步增加，其增長率呈上升趨勢。由圖6(b)可知，當角度較小時，t/l對等效彈性模量的影響較大，隨著其增漲而增大，而當角度θ逐漸增大時，t/l對等效彈性模量的影響減小，等效彈性模量趨于穩定值。當t/l較小時，角度θ的變化對等效彈性模量影響較小，當t/l較大時，等效彈性模量隨著角度增大而減小，并且下降率呈逐漸減小趨勢。從圖6(c)所示，夾芯結構的等效彈性模量在角度和h/l的協同作用時，角度θ起主要作用，h/l的影響很小。結合圖6(a)～圖6(c)可得，t/l對等效彈性模量影響最為顯著，其次為θ，h/l對其影響最小。

圖6 胞元參數對等效彈性模量的響應面Fig.6 Response surface of cell parameter to equivalent elastic modulus

圖7為t/l、h/l、θ協同作用時對等效密度的響應面。從圖7(a)～圖7(b)中可得，當h/l較小時，等效密度隨著t/l的增大而增大，并且其增長趨勢逐漸上升，當h/l較大時，等效密度隨著t/l的增長逐漸減小。并且無論t/l取何值，等效密度均隨θ的增大而先減小后增大，在45°時取到最小值。在圖7(c)中可知，等效密度隨θ的增加而先減小后增大，并隨h/l的減小而減小。

圖8為t/l、h/l、θ協同作用時對泊松比的響應面。由圖8(a)可知，當h/l較小時，泊松比隨t/l的增大而緩慢減小，當h/l增大時，泊松比的下降率逐漸增大。當t/l較小時，泊松比基本不隨h/l的增大而改變，t/l較大時，泊松比隨h/l的增大而迅速下降，但總體上說，t/l、h/l的改變使泊松比在小范圍內波動，影響并不明顯。從圖8(b)～圖8(c)可得，泊松比相對于t/l、h/l來說，對角度的變化更為敏感，隨著θ的增大而逐漸減小，并且下降率呈減小趨勢。

圖7 胞元參數對等效密度的響應面Fig.7 Response surface of cell parameter to equivalent density

圖8 胞元參數對對泊松比的響應面Fig.8 Response surface of cell parameter to Poisson′s ratio

圖9為t/l、h/l、θ協同作用時對等效剪切模量的響應面。從圖9(a)～圖9(b)中可知，h/l對等效剪切模量的影響比t/l稍大，而當θ和t/l協同作用時，它們對等效剪切模量的影響大致相同，都是隨其增加而增大，但同時取較小值時，等效剪切模量的變化較小，敏感性較低，同時取較大值時，等效剪切模量增長更為明顯，增長率呈上升趨勢。由圖9(c)可得，在h/l較小時，等效剪切模量隨θ的增大而增大，在h/l逐漸增大時，等效剪切模量隨角度變化的增長率逐漸降低，而當θ從小到大變化時，h/l的影響逐漸增大，等效剪切模量的下降率呈逐漸增大趨勢。

圖9 胞元參數對等效剪切模量的響應面Fig.9 Response surface of cell parameter to equivalent shear modulus

2.3 類蜂窩夾芯結構優化結果分析

經上述分析，當增大t/l和θ時，夾芯結構的等效彈性模量和等效剪切模量增大，泊松比減小，意味著其承載和形變能力越好，然而其等效密度會大幅上升，使夾芯結構重量急劇上升，但當增大h/l時，等效密度雖有所減小，等效剪切模量卻也隨之降低。綜上所述，該優化問題的目標函數之間相互沖突，無法得到一組優化結果使其同時達到最優，因此根據實際情況對最優解進行選取。表1為類蜂窩夾芯結構優化模型的理論值和優化設計值。

表1 類蜂窩夾芯結構優化模型初始值和優化值Tab.1 Initial value and optimized value of optimization model for quasi-honeycomb sandwich structure

由表1可知，當t/l=0.013 4、h/l=0.693 2、θ=45°時，夾芯結構的等效彈性模量增加了102.14%，泊松比減小了16.27%，等效剪切模量增加了465.62%，但等效密度有些許程度的增大，使整體重量上升，但總體上該結構的力學性能得到了優化，其承載及形變能力得到了較大幅度的提高。

3 結論

將響應面分析法和多目標遺傳優化算法相結合，以類蜂窩夾芯結構的t/l、h/l、θ作為變量，對其等效彈性模量、等效密度、泊松比、等效剪切模量進行優化設計，得到如下結論：

1)t/l對等效彈性模量影響最為顯著，其次為角度，h/l對其影響最小。

2) 在θ=45°時，等效密度能取到最小值，并且角度和t/l對其影響相對于h/l更大。

3) 采用多目標遺傳算法對夾芯結構進行優化設計，使其在增加等效密度46.7%的情況下，增大等效彈性模量102.14%，等效剪切模量465.62%，降低泊松比16.27%，顯著提高了其力學性能。