小通道內制冷劑兩相流動摩擦壓降關聯式分析

劉勖誠，谷 波，曾煒杰，杜仲星，田 鎮

(1.上海交通大學 制冷與低溫工程研究所，上海 200240；2.上海海事大學 商船學院，上海 201306)

近年來，緊湊型微通道換熱器逐漸在市場中扮演重要的角色，伴隨著換熱器管徑的減小，換熱器的壓降不斷升高.管內兩相流動的壓降包括4個部分，重力壓降、局部壓降、摩擦壓降和加速壓降.在小通道和微通道中，摩擦壓降為總壓降的主要部分.近20年來，小通道及微通道中兩相流動的摩擦壓降計算問題、通道及微通道中兩相流動的摩擦壓降計算問題逐漸成為研究熱點，新的摩擦壓降關聯式不斷出現.文獻[1]利用矩形多管小通道內水的沸騰壓降實驗，建立了一個分相模型下的關聯式，取得了良好的預測效果.文獻[2]針對制冷劑R22在小通道中的沸騰流動壓降特性進行了研究，著重討論了熱流密度對于壓降的影響.文獻[3]結合流型研究了CO2在水平小通道中的沸騰流動壓降特性，探究了多個參數對摩擦壓降的影響.文獻[4]則對比了制冷劑R1234ze(E)和R134a管內沸騰流動下的摩擦壓降，討論了不同實驗工況對二者的影響.

但在小管徑下，不同關聯式的計算結果相差較大，在換熱器設計過程中，如何選取合適的摩擦壓降計算關聯式仍然是一個問題.文獻[5]對管內兩相流動摩擦壓力損失進行了研究，認為Muller-Steinhagen(M-S)和Heck關聯式的預測能力最好.文獻[6]使用空氣-水在豎直下降管內流動的摩擦壓降數據對多種關聯式進行評估.

本文基于文獻[7]對管道類型劃分的標準，將管道水力直徑Dh>3 mm的管道劃分為常規管道，3 mm≥Dh>200 μm管道劃分為小型通道，200 μm≥Dh>10 μm的管道劃分為微通道.此外，對近年來小通道內兩相流動摩擦壓降的計算方法進行羅列與敘述，主要為均相模型和分相流動模型下的各種關聯式.從關聯式比較評估的角度，對26種關聯式進行分析，為換熱器的分析和計算提供良好的參考.

1 均相模型關聯式

1.1 基本模型

均相模型假設兩相流體充分混合，且以相同速度流動，這樣就可以將兩相下的流體看作單相下的流體進行摩擦壓降計算，所以這個模型也叫作無滑移模型.如果能夠準確地導出兩相區的雷諾數，單相流動摩擦壓降公式就可以用來計算兩相摩擦壓降.

對于均相模型下的兩相摩擦壓降關聯式，采用以Darcy-Weisbach方程為基礎的計算公式：

(1)

式中：(dp/dz)tp,F為兩相流摩擦壓降p沿路程z的微分；f為Darcy摩擦因子；G為質流密度；ρtp為兩相密度.f采用管內單相流動摩擦壓降的計算方法，采用文獻[8]提出的通用型關聯式，其可在任意雷諾數下使用.ρtp和f可由下式定義：

(2)

(3)

式中：ρg和ρl分別為氣相密度和液相密度；x為干度；Retp為兩相雷諾數；Ra為管道粗糙度.式(3)中，Retp由下式定義：

(4)

式中：μtp為兩相黏度.均相模型中不同文獻定義的兩相黏度μtp如表1所示.其中：μl和μg為液相和氣相黏度；pr為相對壓力.

表1 均相模型關聯式

文獻[18]提出，依據均相模型的定義，即兩相充分混合，忽略兩相之間的速度滑移，則均相模型可能只適用于兩相混合程度較高的流型，例如氣泡流、彌散流；隨后，基于一個數據量為 3 908 的數據庫對各模型進行比較分析，認為文獻[13]和文獻[12]1的均相模型關聯式具有準確預測小/微通道壓降數據的能力.

文獻[19]使用空氣-水在小管徑圓管中的實驗數據，發現文獻[14]的均相模型只有在小通道氣泡流中具有良好的摩擦壓降預測能力.文獻[20]提到均相模型只適用于高質流密度、高氣泡空隙率的情況.

文獻[21]使用R134a制冷劑在231 μm×713 μm的矩形多管摩擦壓降的數據，對McAdams關聯式、Akers關聯式、Cicchitti關聯式、Dukler關聯式、Beattie關聯式、Lin關聯式進行比較評估，發現除了Cicchitti關聯式，均相模型關聯式均不同程度低估了壓降數據，Cicchitti關聯式的平均相對偏差是最小的，但其沒有正確地預測趨勢.

文獻[22]使用水-氮氣在矩形小/微通道中的實驗數據，對各種均相模型進行評估分析，結果發現Beattie關聯式具有最好的預測能力，可能是因為Beattie關聯式是專門針對氣泡流和環狀流而開發.

文獻[23]提出，在x=1時，Akers關聯式計算的μtp與μg不一致，Beattie關聯式在低干度下計算的μtp大于μl，這兩個現象都是違反物理意義的.所以文獻[12]4在建立關聯式時，基于ρtp在x=0和x=1的連續性，提出了μtp也應在邊界處具有連續性，即x=0,μtp=μl;x=1,μtp=μg.

2 分相流動模型關聯式

分相流動模型由文獻[24]于1949年提出，該模型假設管中的兩相流體分別占有一定的管道截面，分別以不同的流速流動.此時，兩相的壓降采用單相的摩擦壓降乘一個增強因子的形式，表達式如下：

(5)

(6)

文獻[25]在單相增強模型的基礎上將增強因子φ2和Martinelli因子X兩者建立了函數關系，計算過程如下所示：

(7)

(8)

(9)

(10)

式中：fl和fg分別為液相和氣相摩擦因子，可由文獻[8]計算；C為L-M關聯式參數，物理意義為氣液相相互作用的劇烈程度，為流態函數.不同流態下的C取值如表2所示.其中，層流湍流的臨界點可以粗略地以Rej=2 000(j=l，g)為分界線，但是實際上層流和湍流之間有過渡態.

表2 Chisholm關聯式中不同流態下的參數C

2.1 單相增強模型關聯式

在文獻[25]提出關聯式后，大量的研究人員對Chisholm關聯式形式進行改進，主要是針對L-M關聯式參數C進行各種形式的改進，改進結果如表3所示.其中：PH和PF分別為通道被加熱周長和總周長；X為Martinelli因子；Xtt為氣液兩相均為湍流下的Martinelli因子；α為空泡份額；λ為通道結構常數；Y為Chisholm參數，一種物性參數；fint、ftp、flo、fgo分別為相界面、兩相、全液相、全氣相摩擦因子；A、a、b、c均為隨流態變化的擬合參數；φ為表征表面張力影響的一種無量綱數；jl為液相表面速度；Wec為通道氣芯的韋伯數；Relf為液膜雷諾數；Rel為液相雷諾數；Reg為氣相雷諾數；Relo為全液相雷諾數；Ncon為限制數；Sn為全相蘇拉特曼數；Welo為全液相韋伯數；Wetp為兩相韋伯數；Vμtp為無量綱兩相黏度數；Rego為全氣相雷諾數.

文獻[26]使用水-空氣在小管道中流動摩擦壓降的實驗數據，結合前人圓管和矩形管的數據，基于文獻[25]的模型，對L-M關聯式參數C進行了修改，使其成為Dh的函數.此關聯式能夠良好地預測小管徑內的流動摩擦壓降.

文獻[27]基于水在2.98 mm內徑管道流動沸騰的摩擦壓降數據，發現Chisholm關聯式中X-2項占主導，進而修正了Chisholm關聯式在小管徑中的表現.文獻[28]基于Chisholm關聯式，考慮了表面張力σ的影響，將L-M關聯式參數C修正為X、全液相雷諾數Relo和限制數Ncon的函數.

文獻[29-30]建立了一個大型絕熱/冷凝的小/微通道壓降數據的數據庫，此數據庫包含了 7 115 個數據，將這些數據依據氣液相流態，劃分為4個區域，之后應用Relo和蘇拉特曼數Sugo對L-M關聯式參數C進行修改.基于沸騰下的小/微通道壓降數據的數據庫，使用沸騰數Bo和韋伯數We，對絕熱/冷凝下的摩擦壓降計算公式進行沸騰下的修正.最后提出由于液滴的夾帶作用，蒸發和冷凝工況下的摩擦壓降關聯式應有所不同.

文獻[31]利用多種工質在多管中的冷凝壓降數據，對參數C進行擬合，之后將pr和物性修正項(ρl/ρg)加入參數C中，用以表示不同制冷劑與不同飽和溫度下的物性影響.文獻[32]認為邦德數Bd和弗勞德數Fr為C的函數，Fr為中間參數n的函數，并分工況多次擬合參數C和n，最終獲得關聯式.

文獻[33]使用丙烷在常規通道內的冷凝數據，對參數C修改時加入了兩相滑移比率Sr的影響.文獻[34]考慮了肋結構存在的影響，使用R134a制冷劑在多管小通道內絕熱壓降的數據對參數C進行擬合，采用x、pr、Retp和兩相韋伯數Wetp對參數C進行改進.文獻[35-36]則考慮到單管實驗和多口管實驗的差異，即多口管流動不穩定性的影響，進而針對單管和多口管分別建立了關聯式.關聯式加入了新的無量綱數兩相黏度數Vμtp的影響，并依據Rej(j=l，g)對小通道/微通道壓降數據庫進行流態上的劃分，取得了良好的擬合結果.

2.2 全相增強模型關聯式

表3 分相模型關聯式和經驗關聯式

文獻[39]在文獻[38]的關聯式基礎上，考慮了多種無量綱數代表的物理意義，引入3種無量綱數Bd、We和Fr對小通道絕熱壓降數據進行擬合，修正后的關聯式強調了小通道中σ的影響.

文獻[40]建立了一個包含 2 622 個數據點的流動沸騰壓降數據，此數據庫涵蓋了寬廣的條件范圍，比較后發現Muller-Steinhagen的關聯式在小通道范圍內預測能力較差，并引入拉普拉斯數La對原關聯式在小通道范圍內進行修正.

文獻[41]針對丙酮在三角形微通道中的沸騰摩擦壓降進行實驗，并使用質流密度對文獻[42]的“B-系數”進行進一步的修正.文獻[43]測試了冷凝工況下矩形截面多口小通道中多種制冷劑的壓降特性，并開發了新的全相增強關聯式，其平均相對偏差為9.6%.文獻[44]研究了絕熱工況下工質種類、管道截面和水力直徑對摩擦壓降的影響，首次將全氣相雷諾數Rego加入了Muller-Steinhagen關聯式[45]中，使得原公式中的線性項能在不同的制冷劑下進行擬合.文獻[46]在0.15 mm×0.25 mm的矩形多口微通道中對去離子水進行壓降研究實驗，利用獲得的高質流密度數據點，對Friedel關聯式中的Fr進行替換，創新性地將兩相摩擦因子比(fl/fg)加入關聯式中.

3 經驗關聯式

除了以上提到的均相和分相模型，還有一些研究者提出了新的公式形式.文獻[47]開發了一個適用于R134a制冷劑冷凝工況下小通道中所有流型的經驗關聯式，其基于文獻[48]，加入了表征表面張力σ的無量綱數φ以描述小通道中表面張力的主導趨勢.

文獻[18]利用所建立的絕熱流動壓降數據庫，針對環狀流，建立了一種新的經驗型關聯式.此外，使用無量綱數分析方法，發現在小通道環狀流中，液膜雷諾數Relf和氣芯韋伯數Wec占主導作用，進而擬合出f.

4 關聯式比較評估

4.1 關聯式精度和通用性評估

為了橫向比較各種關聯式，確定在不同條件下關聯式的通用性和精度，大量研究者做了相關的研究.但現有文獻主要集中在常規尺寸管道，關注小通道的相對較少.文獻[50]建立了一個 2 092 個數據的摩擦壓降數據庫，發現M-S關聯式預測準確性較高，但是其數據庫包含了較多常規管道或空氣-水二元混合物數據.文獻[40]使用蒸發摩擦壓降數據庫對多種關聯式進行比較，發現Cacallini關聯式和Friedel關聯式在小通道中具有最好的預測能力.文獻[51]分工況對多種關聯式進行比較分析，發現在冷凝和絕熱工況下M-S關聯式、Akers關聯式、Beattie關聯式、Sun關聯式具有較高的準確性；Mishima關聯式則在蒸發工況下具有更佳的預測能力.文獻[23]發現在Dh≤ 3 mm下Kim關聯式和M-S關聯式的預測最準確.

為了比較各種關聯式的通用性和精度，針對制冷劑建立了一個大型的小通道內兩相流動摩擦壓降數據庫.考慮到在蒸發工況下，工質兩相流動存在液滴夾帶現象，而冷凝工況和絕熱工況下此現象不存在[30]，因此有必要分工況對關聯式進行評估.通過對文獻中的插圖進行采點，從30篇文獻中收集了大量的摩擦壓降數據.考慮到不同實驗設備的差異，對數據進一步處理，排除了多口管流量分配不均、流動不穩定性和入口段效應的影響，并剔除了部分無效數據.最終用于蒸發壓降數據點數量為 1 302，用于冷凝/絕熱壓降的數據點數量為 1 576，數據庫數據來源為20篇公開文獻.蒸發壓降數據庫和冷凝/絕熱數據庫數據來源如表4所示.

表4 蒸發、冷凝和絕熱工況摩擦壓降數據庫

使用蒸發壓降數據庫和冷凝/絕熱數據庫對所涉及的26個關聯式分別進行評估計算，各種關聯式在不同工況下的預測表現如表5所示.關聯式評價指標為平均相對偏差(MAE)和關聯式數據落入±30% 誤差帶的百分比θ30.前者越小，后者越大，說明關聯式的預測精度和通用性越好.其定義如下：

(11)

(12)

式中：M為數據庫總量；M±30%為偏差在±30%之內的數據比例；(dp/dz)i,e、(dp/dz)i,p分別為第i個摩擦壓降實驗值和第i個關聯式預測值.

由表5可知，在蒸發工況下預測性能最好的是文獻[44]提出的全相增強型關聯式，MAE達到了25.65%；在冷凝/絕熱工況下預測性能最好的是Kim關聯式，MAE達到了24.68%.不同的關聯式預測值和實驗值的比較情況如圖1所示.其中:(dp/dz)e為兩相流摩擦壓降關聯式實驗值；(dp/dz)p為兩相流摩擦壓降關聯式預測值.

圖1 摩擦壓降關聯式預測值與實驗值比較結果

均相模型關聯式整體在各種工況下的預測能力普遍比較穩定，大部分均相模型關聯式在蒸發工況的MAE=40%～50%，在冷凝/絕熱工況的MAE=30%～40%.但是由于其公式形式難以體現更多的物理意義，所以難以在其基礎上進一步改進以提高其預測能力.

在全相增強模型關聯式中，M-S關聯式原本應用范圍為常規管道，但是現在發現其應用在小通道中依然有良好的預測能力，基于此關聯式改進的Sempértegui-Tapia關聯式在蒸發工況下能夠達到25.65%的預測偏差.此模型的其他關聯式也有不錯的預測能力，例如Zhang關聯式在冷凝和絕熱工況有29.47%的預測精度.整體而言，這種模型具有良好的預測穩定性和改進潛力.值得注意的是，Jige關聯式從Friedel關聯式改進而來的，而且其關聯式形式中并未包含Bd、We等無量綱數.單相增強模型關聯式普遍具有多個無量綱數，但是一旦工況范圍有所增大，部分關聯式預測能力則明顯不足，說明從無量綱數的角度分析兩相流動摩擦壓降機理得到的關聯式，并不一定能夠在多種實驗工況下得到滿意的驗證.

由表5可知，以文獻[24]為基礎的的單相增強型模型中，Mishima關聯式以及Kim關聯式具有良好的預測能力，Kim關聯式在蒸發、冷凝和絕熱工況分別具有29.34%和24.68%的預測精度.但是部分單相增強型關聯式則預測偏差較大，例如Macdonald關聯式、Rahman關聯式和Li關聯式，其平均相對偏差MAE達到了100%甚至200%.這說明這3種關聯式擬合的兩相相互作用導致的壓降部分，即參數C偏差較大.使用多種無量綱數擬合參數C的方法可能導致關聯式通用性較差，跳出了原有的擬合數據庫便會出現較大的偏差.

表5 關聯式預測值與實驗值比較

4.2 關聯式公式形式評估

在所提及的摩擦壓降模型中，均相模型近20年來的研究相對較少，主要有兩個難點：① 從f導出Retp，進而導出μtp，f=0.03～0.043時，對應3個Retp的值，如圖2所示.文獻[17]則假設所有的實驗數據均在湍流區，避開該問題再擬合數據.② 保持邊界條件下提出具有物理意義的關聯式形式.特別是將σ的影響加入μtp的計算關聯式中，現有的均相模型關聯式均沒有體現σ的影響.

圖2 當Ra/Dh=0.001時單相流動下f與Re的變化曲線

在單相增強型模型中，研究者主要針對兩相相互作用的壓降項，即參數C進行擬合，擬合所用的參數為多種無量綱數.但前文對各種關聯式的通用型和精度進行驗證、分析和比較后發現，這種方法可能通用性較差，在多種工況和設備條件下難以取得良好的預測效果.相比而言，從壓降隨干度變化曲線出發構建的全相增強型關聯式則具有相對較好的預測穩定性.表5中有6種全相增強型關聯式的預測偏差MAE在40%以下.因此，本文推薦以全相增強型模型為基礎開發通用型的摩擦壓降關聯式.

全相增強型關聯式主要是從M-S關聯式及Friedel關聯式中改進，M-S關聯式的改進工作可以沿著Sempértegui-Tapia關聯式的改進方式繼續深入，即對每一組工況的摩擦壓降數據的低干度(x<0.7)區域進行線性擬合，改進線性擬合后的斜率擬合項以繼續提高擬合精度.

另外，所提到的預測能力較好的關聯式在開發時使用的數據庫數據量較大，Kim關聯式使用的數據量為 7 115，M-S關聯式使用的數據量為 9 300，Sempértegui-Tapia關聯式使用的數據量為 1 468.因此，開發關聯式應盡量擴大數據庫的數據量，以提高擬合后關聯式的通用性.

除了以上的通用型關聯式形式，近年來還有一些關聯式與流型結合起來，具有較強的創新性，例如文獻[18，69].但是這些關聯式使用的數據庫相對有限，同時由于數據的不完整和工況的多樣性，難以通過其他研究者的數據對其進行驗證.

5 結論

對近年來小通道內兩相流動摩擦壓降關聯式的發展情況進行了綜合介紹，包括了均相模型、單相增強模型、全相增強模型和經驗型模型.通過建立大型的摩擦壓降數據庫，對26個關聯式進行了橫向評估與分析，得出以下結論.

(1)近幾十年來，新的摩擦壓降關聯式不斷地被提出，針對小通道和微通道的關聯式類型主要是單相與全相模型關聯式.經驗型關聯式和均相模型關聯式較少.

(2)通過建立數據庫對26個關聯式進行評估，發現在蒸發工況下預測性能最好的是Sempértegui-Tapia關聯式，在冷凝/絕熱工況下預測性能最好的是Kim關聯式，綜合考慮工況下，Kim關聯式預測能力最好.

(3)在小通道中，全相增強型關聯式相比于單相增強模型關聯式具有更好的預測能力，在全相增強模型基礎上開發的新關聯式適用性更好.