三～六年級學生分數概念的錯誤理解及其發展

鞏子坤，楊 婷，張 都，周心怡

三～六年級學生分數概念的錯誤理解及其發展

鞏子坤1，楊 婷2，張 都3，周心怡4

（1．杭州師范大學 經亨頤教育學院，浙江 杭州 310012；2．浙江工業大學附屬實驗學校，浙江 杭州 310014；3．余杭區閑林中學，浙江 杭州 310000；4．杭州市新華實驗小學，浙江 杭州 310015）

基于分數的7個子概念，采用4套包含式問卷，選取306名三～六年級學生，考察其分數概念的錯誤理解類型及發展趨勢．結果發現，三～六年級學生出現的主要錯誤是：錯誤理解“等分”概念，錯誤理解“單位量”概念（包含3個子類型），不會用數線表示分數與錯誤理解“等值分數”概念（包含3個子類型）等8類錯誤；其中6類錯誤的錯誤率峰值出現在四年級，兩類出現在五年級．重要的頑固型錯誤是：四年級學生錯誤理解“等分”概念；五年級學生錯誤理解“單位量”“分數在數線上的表示”概念．建議：在四年級適當加入分數內容；提高三年級“等分”“單位量”概念、五年級“分數在數線上的表示”概念的教學比重；教師應當對8類主要錯誤有針對性地進行教學．

三～六年級學生；分數概念；錯誤理解類型

1 問題提出

“分數”是小學數學核心概念之一，也是小學教學中重要且困難的知識．說其重要，是因為分數將小學階段的整數、小數、比例、四則運算等知識融會貫通了．說其困難，是因為分數包含許多子概念，如單位量概念、平均分概念、等值概念等；是因為可以從不同的角度來理解分數，如部分與整體、算子、商等[1–2]；是因為學習分數時涉及兩種情境量，連續量情境和離散量情境．諸多因素組合交織在一起，導致學生難以正確理解分數概念．因此深入分析學生構建分數概念過程中出現的錯誤及其原因，對于幫助學生正確地、系統地建構分數知識乃至關于數的知識體系至關重要．

國內外諸多學者對此進行了研究．呂玉琴[3]對等分概念的錯誤類型進行研究，發現學生在離散量和連續量中都會出現錯誤．李仙蘋[4]、劉愛東[5]發現學生誤認為“平均分”后的各部分大小、形狀等都要相等，并且對于已經給出的“平均分”圖形，不能進行整合．劉丹丹[6]也指出學生不僅在等分概念中存在錯誤，對于單位量概念也模糊不清．Figueras[7]指出學生在確定單位量時出現的錯誤有：忽略條件中給定的單位量、只受分子（母）影響．劉春暉、辛自強[8]采用Stafylidou和Vosniadou編制的分數任務，考察了五～八年級學生在分數表征的3個層次出現的錯誤類型：整數偏向現象（將分數表征為兩個互相獨立的自然數）、對單位“1”理解有誤以及過分重視“部分—整體”概念中的整體[9]．國外眾多學者如Behr[10]、Mark[11]、Hunting[12]等人指出：由于缺乏等值分數概念，學生在解決分數問題時會把分子和分母看作是兩個不相關的整數，而不是把分數看作一個數，所以在比較大小時會出現多類錯誤．湯錦云[13]研究了學生在數線上表示分數時出現的錯誤．雖然，國內外有關于分數相關概念錯誤類型的研究，但是，這些研究比較零散，缺少對分數眾多概念錯誤類型的整體研究，并且目前較少有學者對學生的錯誤類型進行發展研究．

基于《義務教育數學課程標準（2011年版）》（簡稱《數學課程標準》）[14]，人教版小學《數學》教材中分數的學習安排如下．三年級初步認識分數，主要學習等分、單位量、分數表征、分數的比較和分數運算（同分母分數加減）這5類分數概念；五年級增加了等值分數、分數在數線上的表示、分數與除法的聯結這3類分數概念；六年級安排了分數作為比值的意義這一概念．由于分數運算與分數概念學習關聯性不強，分數作為比值的意義僅在六年級學習，因此，對分數的7個子概念進行整體研究（依次為等分、單位量、分數表征、分數比較【三年級學習】、等值分數、分數在數線上的表示、分數與除法的聯結【五年級學習】），研究問題是：（1）學生在學習分數概念時會產生哪些類型的錯誤？（2）這些錯誤是怎樣發展變化的？

2 研究設計

2.1 研究對象

在杭州市某小學三～六年級中，從每一個年級隨機選取兩個平行班級共306名學生（三年級84人，四年級84人，五年級69人，六年級69人）作為被試；分別對各年級平行班的期末成績進行方差分析與多重比較，結果顯示，同一年級的各個平行班之間均不存在顯著性差異（所有的>0.05）．問卷調查和訪談均在這些班級進行．

2.2 研究方法

根據研究目的、研究問題以及現實條件，以文獻分析法、問卷調查法為主，以訪談法為輔來探查學生關于分數概念的錯誤理解．

2.3 研究工具

2.3.1 問卷結構

基于文獻綜述，將分數概念分成7個子概念[2-6，8，11-12]，依據《數學課程標準》以及人教版小學數學教材，編制了4套問卷，分別對應三～六年級．4套問卷為包含關系（較高年級的問卷包含了較低年級的問卷），比如，四年級的問卷包含了三年級問卷的所有題目，并增加了幾道題目，題號以低年級為準，如“三–4”表示的就是三年級的第4題，四、五、六年級也都是同一道題目．

2.3.2 問卷信度

以Cronbach’s系數為指標，考察4套問卷的信度，系數均大于0.8，說明問卷信度較好．

2.4 錯誤分類與編號

首先，通過問卷分析，根據錯誤原因總結出學生關于分數的7個子概念的錯誤類型．第一個子概念的第一類錯誤記為11，第二類錯誤記為12；第二個子概念的第一類錯誤記為21，依次類推．

其次，對不同年級同一子概念的同一類錯誤的錯誤率進行卡方檢驗．發現一些錯誤在不同年級間存在顯著性差異，為便于討論，將這類錯誤界定為非頑固型錯誤，其中，部分錯誤的錯誤率會隨年級升高顯著降低，屬于非頑固型可消除錯誤；部分錯誤的錯誤率不會隨年級升高顯著降低，屬于非頑固型不可消除錯誤．一些錯誤類型在不同年級間不存在顯著性差異，將之界定為頑固型錯誤．

主要錯誤是指平均錯誤率高于15%的錯誤，或者是頑固型錯誤．如果一類錯誤既是平均錯誤率比較高的錯誤，又是頑固型錯誤，將之界定為重要錯誤．

3 結果與分析

3.1 “等分”概念的錯誤類型及發展

“等分”就是把一個整體平均分成幾份．

三–1：下列選項中，虛線是分割線，哪幾個圖形是大小等分的等分圖形，請選出來（）．

類型11：認為等分必須面積相等、形狀相同．例如，因為B項中4個三角形不全等而漏選B．

類型12：未能理解等分概念的內涵．例如，選擇A或C，而A、C項顯然未等分．

類型13：憑感覺盲目判斷．例如，選擇F，F選項看似等分，實則未等分．

類型14：離散量情境下等分概念的認知缺失．例如，G、H選項為離散量情境，由于數量、大小不相等而未等分．

綜上所述，對于等分概念學生出現4類錯誤，按其錯誤率進行綜合分析，如圖1所示．

圖1 “等分”概念不同錯誤類型的錯誤率

分析可以得出以下結論．

（1）無論是哪個年級，類型11平均錯誤率最高，并且遠高于其它3種類型．

3.2 “單位量”概念的錯誤類型及發展

在小學數學中，“單位量”通常是指分數中的整體“1”，可以表示一個物體，也可以表示一些物體．“整體”可以表示物體的全部，也可以表示物體的一部分，根據所觀察的對象發生變化，具有相對性．

類型21：不能將圖形進行整合．例如，漏選D．

類型23：受分母的影響，認為分母是幾，圖中就有幾個黑色的部分．例如，選擇C，C選項中有4個黑色小正方形，對應分母中的“4”．

類型24：受分子的影響[13]，認為分子是幾，圖中就有幾個黑色的部分．例如，選擇E，E選項中有1個黑色小正方形，對應分子中的“1”．

通過分析，還發現了另外兩類錯誤．

A. 正確 B. 不正確 C. 無法確定

類型28：缺少對單位量的認知．例如，選擇C．

綜上所述，對于單位量概念學生出現8類錯誤，按其錯誤率進行綜合分析，如圖2所示．

圖2 “單位量”概念不同錯誤類型的錯誤率

分析可以得出以下結論．

（1）在這8類錯誤中，類型21、類型25、類型26、類型27錯誤率較高，其余4類錯誤率較低．

3.3 “分數表征”概念的錯誤類型及發展

分數表征主要包括符號表征和圖象表征[15–16]．

3.3.1 符號表征

符號表征，即給出圖形，要求學生根據圖形中的涂色部分寫出相應的分數[15]．

三–3：用分數表示下列圖形中的黑色部分．

首先分析三～六年級A、B、C項的答題情況，統計發現只有B項出現錯誤．

類型31：將相連圖形看作一個整體，不能拆分．例如，將B項中兩個相連的黑色小三角形看作一個三角形．

再分析四～六年級的D項的答題情況．

類型32：不能將圖形進行整合．例如，未能將D選項中黑色部分旋轉整合成一個半圓．

三–5：用分數表示圖中黑色部分，并比較兩個分數的大小，在□里填寫“＞”、“＜”或“＝”．

學生的錯誤類型有兩種．

類型33：將分子和分母看作兩個數，分子為涂色部分，分母為未涂色部分，如圖3．

圖3 類型33

類型34：分子與分母位置顛倒，如圖4．

圖4 類型34

三–6：看圖寫分數．

綜上所述，學生出現5類錯誤，按其錯誤率進行綜合分析，如圖5所示．

圖5 “分數符號表征”概念不同錯誤類型的錯誤率

分析可以得出以下結論．

（1）在這5類錯誤中，平均錯誤率最高的為類型32，其次為類型35，其余類型的錯誤率較低．

3.3.2 圖象表征

圖象表征，給出分數，要求學生根據所給的分數對圖形涂色[16–17]．

三–8：看分數，涂顏色．

學生關于B項所表現出來的錯誤類型有兩種．

類型36：認為分數中的分子所表示的是“物體的個數”．例如，只涂3個小正方形．

類型37：認為分子是幾就涂幾行．例如，只涂了3行．

再分析五、六年級的C、D兩項．C、D兩項是在離散量情境下，每個部分又分成幾個小部分，將其定義為“離散連續混合情境”．

類型38：離散連續混合情境下概念認知缺失．例如，認為分子是多少就涂幾個小方塊．

綜上所述，對于圖象表征學生表現出3類錯誤，按其錯誤率進行綜合分析，如圖6．

圖6 “分數圖象表征”概念不同錯誤類型錯誤率

分析可以得出以下結論．

（1）在這3類錯誤中，平均錯誤率由高到低依次為：類型36、類型38、類型37．

3.4 “分數比較”概念的錯誤類型及發展

分數比較，即分數大小比較．研究中不僅考查學生對分數大小的判斷，還考查學生是否完全掌握分數大小比較的理論．由于分數的意義是“分數單位累加的結果”，對于從分數意義上來比較分數的大小，就是比較該分數包含的分數單位（當然，這里指相同的分數單位）的多少[15–16]．

類型41：概念不明確．例如，答案正確，理由不完全正確．

類型42：概念混淆．認為分子大的分數反而小，混淆了同分母分數比較大小和同分子分數比較大小．

四–6：比較下列兩個分數的大小，并在□里填寫“>”、“<”或“=”．

四年級學生的錯誤率非常高，通過訪談了解到他們出現錯誤的原因是沒有考慮單位轉化．這些錯誤可以分為兩種．

綜上所述，對于分數比較概念學生會出現5類錯誤，按其錯誤率進行綜合分析，如圖7所示．

圖7 “分數比較”概念不同錯誤類型的錯誤率

分析可以得出以下結論．

（1）在這5類錯誤中，類型41、類型44、類型45的平均錯誤率較高，其余類型錯誤率較低．

3.5 “等值分數”概念的錯誤類型及發展

等值分數是指在“整體1”相同的情況下，雖然兩個分數所表示的份數不一樣，但是所表示的大小是一樣的．

四年級學生還沒有學習“等值”這一概念，會出現以下3種錯誤：整數偏向錯誤、差值比較錯誤和加法錯誤．

整數偏向錯誤是指在進行分數比較時，將分子和分母看成兩個整數，再進行整數間的比較．整數偏向錯誤分3種類型．

差值比較錯誤分兩種類型．

加法錯誤是指學生將兩個分數的分子與分子相加，分母與分母相加，得到兩個分數的和．

由于只有四年級學生才會表現出有關等值分數概念的錯誤，所以根據四年級學生的答題情況分析出6類錯誤的排序，如圖8所示．

圖8 “等值分數”概念不同錯誤類型的錯誤率

由圖8可知，對于等值分數概念的6類錯誤來說，錯誤率由高到低分別為類型54、類型55、類型51、類型56、類型52和類型53．

3.6 “分數在數線上的表示”概念的錯誤類型及發展

分數在數線上的表示，即在數軸上標出分數．

將上述3類錯誤進行綜合分析，結果如圖9所示．

圖9 “分數在數線上的表示”概念不同錯誤類型的錯誤率

分析可以得出以下結論．

（1）在這3類錯誤中，錯誤率由高到低依次為：類型62、類型61、類型63．

3.7 “分數與除法的聯結”概念的錯誤類型及發展

分數與除法的聯結是指將分數看作兩個量相除的結果．

五–19：動物園里有7只大象，3只熊貓，熊貓的數量是大象的幾分之幾？請說明理由．

類型72：未理解分數與除法的關系．不能根據已知分數找到與之意義相同的除法表示．

綜上所述，對于分數與除法的聯結概念學生會出現兩類錯誤，按其錯誤率進行綜合分析，如圖10所示．

圖10 “分數與除法的聯結”概念不同錯誤類型的錯誤率

分析可以得出以下結論．

（1）在這兩類錯誤中，類型71的錯誤率高于類型72．

4 結論與建議

4.1 結論

4.1.1 錯誤排序及發展

針對分數的7個子概念，選出錯誤率高于15%的主要錯誤，并按照平均錯誤率的高低排序如圖11所示．

圖11 錯誤率高于15%的主要錯誤

由圖11可知，8類平均錯誤率高的錯誤中有6類錯誤（類型11、類型25、類型21、類型54、類型55和類型51）的錯誤率峰值出現在四年級，其中類型54、類型55和類型51僅在四年級出現．由于人教版小學數學教材僅在三年級上冊、五年級下冊和六年級上冊涉及到分數知識，而四年級沒有，時間跨度較大．這表明，對于學過的知識，如果教材不螺旋上升，學生可能會產生遺忘或建構偏差，從而影響后續學習．

此外，針對分數的7個子概念，先按照錯誤頑固與否，再按照錯誤率從高到底排序，發現三年級學習的4個分數子概念中存在12類頑固型錯誤（類型11、類型27、類型41、類型26、類型38、類型23、類型13、類型28、類型24、類型12、類型37和類型34），其中學習“單位量”概念時存在的頑固型錯誤最多，有5類（類型27、類型26、類型23、類型28和類型24）．

五年級學習的3個分數子概念中存在5類頑固型錯誤（類型62、類型61、類型63、類型71和類型72），其中學習“分數在數線上的表示”概念時存在的頑固型錯誤最多，有3類（類型62、類型61和類型63）．

三～六年級學生共存在5類非頑固型可消除錯誤（類型21、類型31、類型42、類型43和類型14）．

4.1.2 重要錯誤

關于分數7個子概念的8類主要錯誤詳細信息如表1所示．

表1 8類主要錯誤

由表1可知，類型11、類型27、類型62是3類重要的錯誤．

4.2 建議

（1）在四年級加入適量分數內容，避免教材出現“空窗期”．

由于8類主要錯誤中的6類錯誤的錯誤率峰值均出現在四年級，而四年級又沒有安排分數內容的學習，建議適當降低教材中分數知識的密集度．例如，將分數的單位量概念單獨作為一塊教學內容安排在四年級，讓學生深刻體會單位量的意義以及分數單位的價值，這樣既分散了難點，又加強了各部分分數知識之間的聯系，避免分數知識的學習出現“空窗期”．五年級學生用分數表示部分與部分之間的關系與三年級學生的測試結果無顯著性差異[16]，也正是“空窗期”所導致的．

（2）提高三年級“等分”概念、“單位量”概念和五年級“分數在數線上的表示”概念的教學比重．

在7個分數子概念的學習中，均存在頑固型錯誤，其中，三年級學習的4個分數子概念中，學生對于“等分”概念、“單位量”概念存在的頑固型錯誤最多；五年級學習的3個分數子概念中，學生對于“分數在數線上的表示”概念存在的頑固型錯誤最多．因此，建議教材提高三年級“等分”概念、“單位量”概念和五年級“分數在數線上的表示”概念的教學比重，幫助學生正確理解分數概念．

（3）教師應當根據學生的主要錯誤，有針對性地進行教學．

教師在進行分數知識的教學時，要把握分數知識的前后聯系，結合學生的實際情況，合理安排教學內容，比如對于四年級學生出現的非頑固型不可消除錯誤、頑固型錯誤，在對五年級學生進行教學時，要格外關注；其次，根據學生學習分數概念時出現的8類主要錯誤，有針對性地進行教學與糾正．

5 不足與展望

受研究條件限制，調查對象為杭州市某小學的306名學生，整體而言，學生的水平相對農村學生而言，還是比較高的，這也導致了研究結果的代表性不足．問卷設計也是一件十分困難的事情，包含式問卷的好處是減輕了學生的測試負擔，但問題也同時存在．

此外，該研究為橫向調查，如果采用縱向追蹤調查，可以更全面、真實地了解學生分數概念理解、發展歷程，深入分析錯誤理解及其產生根源．

[1] 章勤瓊，徐文彬．論小學數學中分數的多層級理解及其教學[J]．課程·教材·教法，2016，36（3）：43–49．

[2] 李健，鄭瑩．分數概念的演變及其教學啟示[J]．內江師范學院學報，2018，33（12）：30–35．

[3] 呂玉琴．影響分數二分之一概念的因素[J]．國民教育，1993，8（5–6）：2–11．

[4] 李仙蘋．小學五年級學生分數知識學習的錯誤類型之研究[D]．天津：天津師范大學，2012：39–56．

[5] 劉愛東．小學生分數概念典型錯誤及成因分析[J]．遼寧教育，2015，4（17）：89–92．

[6] 劉丹丹．小學六年級學生分數知識理解水平現狀的調查研究[D]．長春：東北師范大學，2016：42–43．

[7] FIGUERAS O, FILLOY E, VOIDEUOROS M. Some difficulties which obscurethe appropriation of the fraction concept [R]. The 11th International Conference for the Psychology of Mathematics Education, 1987: 366–372.

[8] 劉春暉，辛自強．五—八年級學生分數概念的發展[J]．數學教育學報，2010，19（5）：59–63．

[9] STAFYLIDOU S, VOSNIADOU S. The development of students’ understanding of the numerical value of fractions [J]. Learning and Instruction, 2004, 14 (5): 508–518.

[10] BEHR M J, WACHSMUTH I, POST T R, et al. Order and equivalence of rational numbers: A clinical teaching experiment [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 1984 (2): 33–40.

[11] MACK N K. Learning fractions with understanding: Building on informal knowledge [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 1990 (21): 16–32.

[12] HUNTING R P. Rachel’s schemes for constructing fraction knowledge [J]. Educational Study in Mathematics, 1986, 2 (1): 49–86.

[13] 湯錦云．小學五年級學童分數概念與運算錯誤類型之研究[D]．屏東：屏東師范學院，2002：34–35．

[14] 中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2011年版）[M]．北京：北京師范大學出版社，2012：45–46．

[15] BRENNER M E, HERMAN S, HO H Z, et al. Cross-national comparison of representational conipetence [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 1999, 30 (5): 541–547.

[16] BEHR M, POST T, LESH R. Representations in mathematics learning and problem solving [J]. Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics, 1987 (4): 323.

[17] 郭立軍．整體把握與單元教學研究[M]．北京：北京師范大學出版社，2017：129–142．

Misconceptions and Development of Grades 3 to 6 Students on the Concepts of Fractions

GONG Zi-kun1, YANG Ting2, ZHANG Du3, ZHOU Xin-yi4

(1. Jing Hengyi School of Education, Hangzhou Normal University, Zhejiang Hangzhou 310012, China;2. Experimental School Affiliated to Zhejiang University of Technology, Zhejiang Hangzhou 310014, China;3. Xianlin Junior High School, Zhejiang Hangzhou 310000, China;4. Hangzhou Xinhua Experimental Primary School, Zhejiang Hangzhou 310015, China)

Based on the seven subconcepts of fractions, using four sets of inclusive questionnaires, 306 students in Grades 3 to 6 were selected to investigate types of misconceptions and development trends. It was found that the main mistakes were as follows: misunderstanding the concept of “equipartitioning,” misunderstanding the concept of “one whole” (including 3 subtypes), not using the number line to represent the fraction, and misunderstanding the concept of “equivalent fraction” (including 3 subtypes). The peak rate of 6 types of mistakes appeared in Grade 4, and the others appeared in Grade 5. Students made persistent mistakes in the seven subconcepts of fractions: Grade 4 students had the most mistakes on the concept of equipartitioning and Grade 5 students had the most mistakes on the one whole concept and the representation of fractions on the number line. We propose the following suggestions: Offer appropriate fraction content to fourth grade; provide more opportunities for students to learn the concepts of equipartitioning and one whole in the third grade and the expression of fractions on the number line in the fifth grade; and teachers should pay more attention to major mistakes.

students in Grade 3 to 6; cognition of fraction; misconception type

G622

A

1004–9894（2021）05–0014–07

鞏子坤，楊婷，張都，等．三～六年級學生分數概念的錯誤理解及其發展[J]．數學教育學報，2021，30（5）：14-20．

2021–07–10

教育部人文社會科學研究規劃基金項目——6～15歲兒童的概率概念認知策略及其發展研究（15YJA880020）；杭州師范大學省優勢特色學科培育項目成果（18JYXK004）

鞏子坤（1966—），男，山東滕州人，教授，主要從事數學核心概念認知與發展研究．

[責任編校：周學智、張楠]