教育數學在農村初中首輪實驗的探索與思考——“重建三角”在成都市青白江區祥福中學實驗分析

張龍軍，熊莉莉，張景中，李興貴，饒永生

教育數學在農村初中首輪實驗的探索與思考——“重建三角”在成都市青白江區祥福中學實驗分析

張龍軍1，熊莉莉2，張景中1，李興貴3，饒永生1

（1．廣州大學，廣東 廣州 550006；2．成都市青白江區祥福中學，四川 成都 610300；3．成都師范學院 數學學院，四川 成都 611130）

從1989年教育數學思想的提出，到2012年教育數學體系基本形成，并構建了較完善的初中數學改革方案．近年越來越多學校參與基于教育數學思想的數學創新教學改革實驗，2015年四川省成都市和南充市15所初中學校相繼進入教育數學實驗，教育數學的成果走進課堂，優化數學教材內容結構體系，促進了學生數學學習，發展了教師數學素養，推動了數學教育的發展．2016—2018年祥福中學進行了一輪3年完整的初中數學教學改革實驗，學生逐漸養成了主動學習意識和習慣，善于從實際或設想的情境中發現和提出數學問題．

教育數學；重建三角；教學改革；農村初中

1 問題提出

1989年，《從數學教育到教育數學》首次提出了教育數學的理念，所謂教育數學，就是為教育而做數學[1]．把數學本身變得容易些，改造數學使之更適合教育，是教育數學的目的和任務．張奠宙指出：“教育數學是數學教育形態，是指通過教師的努力，啟發學生高效率地進行火熱的思考，把人類數千年積累的數學知識體系，使學生容易地接受．”[2]教育數學的活動早已有之，歐幾里得著《幾何原本》、柯西寫《分析教程》，都是教育數學成功的經典工作[3]．把復雜的數學論文理出頭緒寫成專著，把深奧的數學定理證明初等化，使更多的人理解，也屬于教育數學的內容．判斷教育數學成果優劣的原則是教育數學3原理：在學生頭腦里找概念、從概念里產生方法、方法要形成模式[4]．

教育數學提出從難點和新點入手改造數學，提出新定義新概念、建立新方法新體系、發掘新問題新技巧、尋求新思路新趣味．初等數學的幾何和三角、高等數學的微積分，是數學教育上世界公認的難點，教育數學提出了具體可操作的改造方案[5–6]．幾何“孤立性”、三角“滯后性”和代數“該用不用”是初中數學難學的主要原因，其中，三角沒有發揮計算工具的作用．“重建三角”新體系用幾何引出三角，用三角推導幾何，計算與推理緊密聯系，代數處處有用，既消除了傳統教學的難點，又幫助學生認識數學的結構和體系，提升數學抽象和邏輯推理核心素養．

經過二十多年的發展，教育數學理論體系逐漸形成[7–8]，基于教育數學思想的初中數學創新教學改革方案逐步完善，越來越多的中小學參與教育數學實踐．2012年廣州市海珠實驗中學等15所中學相繼進行了教育數學實踐．2015年四川省成都市棕北中學、祥福中學、龍王中學和人和學校等7所中學，邛崍市冉義中學等5所中學，以及南充市嘉陵區陳壽中學等15所中學相繼開始教育數學實踐．至2018年，成都市棕北中學、成都市青白江區祥福中學完成了一輪七～九年級的實驗，成都市鹽道街中學完成了七～八年級的實驗．2018年12月，由中國高等教育學會教育數學專業委員會主辦的“中國教育數學實踐論壇”在成都市青白江區祥福中學舉行，論壇通過教學觀摩、實踐經驗交流、專家互動等方式展示了教育數學在四川的課堂實踐及實踐成果．教育數學的成果走進課堂，推動了數學教育的發展．研究者選擇青白江祥福中學為樣本，分析重建三角新體系在農村初中的教學實踐成果，考察學生和教師的成長與發展，挖掘并繼承教育數學實踐的成功經驗．

2 “重建三角”在農村中學首輪實驗的設計與數據分析

祥福中學因地域原因，學生基礎相對薄弱，入校成績在區域內處于中下游水平．多數學生缺乏數學學習興趣，沒有學好數學的信心．2016年2月，青白江區教育局組織全區數學教研員和數學優秀老師參加了“基于教學實踐的張景中教育數學培訓”，組織數學教師進行理論學習，閱讀《一線串通的初等數學》，學習重建三角的相關資料，邀請成都師范學院的專家教授臨校進行指導．2016年3月，祥福中學初中數學重建三角首輪教育數學實踐正式啟動．祥福中學在實踐中開展教研活動，在研討中改進，與其它實踐學校交流實踐過程中所遇到的問題和經驗．以課題帶動教學實驗，申報教研和科研課題《農村初中“重建三角”教學實踐研究》和《以“三角知識”為主線的初中幾何教學研究》，研究重建三角的體系與北師大初中數學教材的融合方式：在七年級下引入銳角三角函數定義、正弦三角形面積公式和正弦定理，在八年級上引入余弦定理、射影定理、正切在一次函數中的運用，在八年級下引入直斜定理、正弦和（差）角公式、余弦和（差）角公式，在九年級上引入正切和（差）角公式、三共定理．在教研的基礎上，教研組教師一起編寫導學案，把新方法新體系落實在課堂上，編寫校本教材，建設教育數學教學實踐資源庫，為以后教育數學實踐做準備．

祥福中學2015級學生共6個班257人，其中1班（44人）和5班（44人）作為景中教育數學實驗班，分別由艾永俊和熊莉莉執教，在七年級下學期開始進入新體系的學習．2班、3班、4班和6班作為實驗對照班，在三角函數等章節調整上和實踐班同步進行，不同的是較少的引入新體系中的新概念、新方法．數學教研組一起參與整個教學實驗設計，實驗班教師負責新體系內容的講授，收集每個學期全區數學統考成績，對班級、學校和全區的數學成績平均分、優秀率等進行對比分析，對照班教師負責觀察課堂、收集教學反饋．

2018年6月首輪教育數學實踐結束．祥福中學堅持了3年完整的教學實踐，克服實踐中的各種困難，教學上取得了優異的成績，縮短了教學周期，減輕了學生數學學習負擔，提高了學生數學學業水平，同年中考學生數學學科合格率與優秀率有了明顯提高．如圖1，在3年的教育數學實驗中，在每個學期的全區統一進行學業水平測驗中，把七年級上期末成績作為實驗前測，實驗班平均成績126.5分，區排名第2名，從七年級下開始，實踐班級數學平均分穩居區排名第1名，實踐班級平均成績高于區平均成績30分以上，年級平均分和區平均分的分差逐漸縮小．特別是在七年級下期末測驗中，實踐班學生已經能夠靈活用正弦定理進行幾何無輔證明，實踐班級平均成績132.3分，全校120分以上優秀率為33.4%，實踐班級優秀率達87.6%，全區滿分人數共10人，實踐班級有3人．

圖1 祥福中學2015級教育數學實踐班七至九年級期末數學成績平均分及排名

從課堂觀察和教學反饋看，學生和老師快速地進入新體系，接受并喜歡新方法，學生的數學思維得到拓展，思維更為發散，學生在數學課堂上提出的問題越來越多，在解決問題的過程中更加勤于思考，解題方法途徑更多，新體系、新方法為學生數學核心素養發展奠定了良好的基礎．在九年級下學期第二次診斷性測驗中，全校數學成績40分以下的學困生只有19個（均出現在對照班），學困率12.1%，遠低于上屆20.6%的學困率．在2018年成都市初中學業水平考試中，全校265人，參加中考227人（中考指標到校，38人直升高中未參考），40分以下26人（2017年中考，40分以下65人），實踐班共46人參加考試，130分以上有2人，120分以上6人，110分以上23人，平均成績在青白江區排名第6名，國家重點高中上線人數排同層次學校第一．根據學校及教師的對實踐班學生的跟蹤訪談調查，2018屆學生進入高中后，表現出后勁足、潛力大的特點，11名優秀生在重點高中數學成績名列前茅，1人考出滿分的優異成績，其他學生也能夠快速適應高中數學學習，數學成績保持在中等偏上．

教育數學的實踐帶來的不僅僅是成績的提高，學生和教師都在教學實踐中快速成長．學生利用面積法和三角變換解題時，新方法使解題變得更容易，這對學生來說是真正意義上的減負．根據課堂觀察和對學生的訪談，學生數學學習興趣、自信心都有較大的提高．例如，有學生在七年級下學期學習三角形全等的證明時，已經有意識地用前面學習正弦定理來證明，學生對于新方法表現出較高的積極性，能靈活應用新方法進行無輔證明，降低了解題難度，學生解決問題的能力得到較大的提高，能用不同的思維方式證題和解題．學生的進步也促進教師更加積極地進行教育數學的實踐．以往面對數學教學中存在的各種問題，教師習慣于從教育學和心理學理論中尋找解決問題的方案．在第一輪的教育數學實踐中，教師更多的是在數學上下功夫，從數學內部思考解決問題的方法，教師的數學素養、教研水平得到較大的提高．

教育數學實踐還帶來了學校教學和科研的一系列變革．雖然實踐班每學期都在補充新概念、新方法，但沒有影響教學進度．通過“重建三角”一線串通整合教材的新體系，2個實踐班和4個對照班全部在九上就順利結束了新課，縮短教學周期，為中考贏得寶貴的復習時間．學生學業成績的提高代表學校辦學水平的提升，學校獲得家長和社會的認可．教師更加勤于治學、熱心教研，有效地促進了學校教學效益的提高．這一系列的效果讓學校堅定地支持進行教育數學二輪實踐，更加重視在教研和科研中提高教師素質．

3 “重建三角”教學實驗的實證分析

3.1 重建三角實踐的理論溯源

幾何學是研究空間的學科，空間是位置的抽象化，線是路徑的抽象化，點和線構成了空間集合的基本結構[9]．早期的幾何基于直觀現實，通過實驗、觀察、歸納和分析，發現事物內在的本質和聯系，提出幾何問題和幾何思想，稱為實驗幾何學．實驗幾何主要運用歸納推理的方法，從大量事例中尋找一般規律，其實演繹需要歸納的支持，幾何學的公理，幾何推理的基本法則，本身無法演繹地證明，它們是人類經驗的總結，基本上是歸納的結果[10]．實驗是小學數學中幾何內容的研究方法，但是存在費時費力、存在誤差的缺陷．中學幾何在實驗幾何的基礎上逐步過渡到推理幾何，基于實驗確立的基本性質，主要運用綜合分析、邏輯演繹的推理方法推證空間的系列性質，分析各種性質之間的邏輯關系．推理幾何首先研究的是恒等形，后來逐漸推進到相似性的研究．中學教材中也是按照歷史發展的順序，先學習全等三角形，再學習相似三角形．重建三角先研究相似再推進到恒等的探討，因為判定兩個三角形相似只需2個條件，判定三角形全等則需要3個條件．

從實驗幾何進入推理幾何有沒有更加容易學習的路徑？自1974年，張景中在中學教學中發現用面積法講幾何和三角很受學生歡迎；到1982年，《數學教師》發表長篇連載《平面幾何新路》共18章；2004年后，“重建三角，全局皆活”的初中數學課程結構性改革的思路形成[11]．“重建三角”找到了由面積法進入推理的學習平面幾何一條新路．長度、面積和體積都是直觀的，是集合測度的具體模型，面積法本質是“消點”，類似代數方程的“消元”．由面積公式出發，提前引進“比”，反復由面積比和線段比的轉化中得到三共定理，面積公式里有正弦，用面積定義正弦，引進正弦定理，讓三角提前出現，把幾何、代數和三角統一和簡化．一種思想理論從提出、實踐到最終成熟進而指導實踐大約要經過30年．從1974年至2004年，以面積法重建幾何和三角的思想從萌發、提出到形成體系也經過了30年的發展，從2004年到現在的十幾年里，重建三角在實踐中取得了顯著的效果，有力的促進了數學教育的發展．

中學教材中幾何變換（對稱、平移和旋轉）是獨立成章的，主要是生活中的幾何變換，課標提出的9條基本事實沒有關于幾何變換的．也就是說幾何變換的性質不能作為證明的嚴格依據，幾何證明不能用變換的方法．如何把幾何變換融進圖形的全等和相似章節中，或者把幾何變換作為公理充實幾何變換的知識，還需要進一步的研究和實踐．中學三角的內容以幾何理論為基礎，是從幾何概念出發的，可以簡化幾何問題中的計算，三角兼具函數和計算的特點．三角通過多種變換在幾何和代數上有實際的應用，三角變換是以簡化計算為目的的邏輯推理．代數課程中有大量的符號推理，多是寓推理于運算之中，三角中的大量計算也是離不開推理的，這都是計算推理，計算型推理化解了傳統教學的難點．

斯托利亞爾提出，幾何中所謂的“歐幾里得”傳統到今天已經失去它當初的意義，而在教育方面也可能找到更加合理的中學幾何體系，幾何的歐幾里得—希爾伯特體系非常繁瑣，而且把幾何從其它數學中孤立出來，阻礙滲透現代思想，中、高年級學習幾何的目的是引進演繹方法，自覺地學習幾何演繹體系．因此，對傳統幾何課程的處理，一種是直接刪去代之以現代化的數學內容；另一種是“中學幾何的重新建立，就是建立新的現代幾何結構”，用公理化或解析化的方法對其體系和系統進行改造[12]．“重建三角”以幾何引出三角，由三角推導幾何，采用公理化的方法對初中數學整體結構進行系統處理．中學幾何內容的教學廣泛采用的是綜合幾何的方法，是在對圖形觀察、實驗、歸納或類比的基礎上，做直觀的分析，再進行邏輯論證．重建三角注重從已有問題中提出新問題，不僅要推證所要的結果，還要分析推理的方法，學習公理化．數學不同于數學化，公理體系不同于公理化，形式體系也不同于形式化．數學化就是數學的抽象，公理化是數學的推理，而形式化是數學的模式，重建三角新體系重視讓學生在思考、分析和解決問題的過程中感悟數學基本思想，獲得數學學習經驗．

3.2 重建三角的基本思路與認知起點變革

三角是聯系幾何與代數的一座橋梁，是溝通初等數學和高等數學的一條通道，函數、向量、坐標、復數等許多重要的數學知識與三角有關，大量實際問題的解決要用到三角知識[13]．重建三角就是用面積方法建立三角學，用三角推導幾何，利用三角訓練代數變換能力，幾何、三角和代數緊密聯系、彼此滲透．

重建三角新體系具體實施設計分5個部分[5]．第一站由小學的幾何知識引進正弦，由三角形兩邊一夾角的面積公式導出正弦定理，用正弦定理解三角形，導出正弦的增減性，分析三角形邊角的大小關系，用正弦定理導出三角形相似和全等的角邊角判定法則．第二站由面積公式導出正弦和角公式，通過解簡單的一次和二次方程求出特殊角的正弦，順便得出勾股定理，完全解答解直角三角形問題，在計算半角正弦時引出二次方程，導出正弦的差角公式．交代負角正弦的意義，為引進余弦做準備．第三站引進余弦和余弦定理，解任意三角形問題、相似三角形和全等三角形的判定問題得到完全解決．用平角度量角的大小，為將來學習弧度制做鋪墊．第四站四邊形，學習傳統的平面幾何推理的知識，前3站建立了豐富的解決問題基本工具：面積方法的工具（共高定理、共角定理和共邊定理）；三角方法的工具（正弦定理、余弦定理及正弦和角公式）；幾何方法的工具（全等三角形和相似三角形）．用這些工具證明定理和解題．第五站圓和正多邊形，計算弦長時復習正弦，計算切線長時引進正切和余切，導出有關正多邊形的計算公式時用到了正弦和正切，用簡單而嚴謹的方法推出圓的面積公式和周長的計算公式．

“三角下放”提前兩年把九年級下學期要學的銳角三角函數前移到七年級，把小學學習過的“三角形內角和定理、三角形面積等于底和高乘積的一半”這兩個公式作為邏輯認知的起點，經過思考探索得到一系列新知識和解題工具，從中可以體會如何發現問題、提出問題，學習反面思考、求異思維等思維方法．面積起點低而且直觀性好，由面積計算引出正弦是重建三角體系真正的起點，有了正弦，就可以順勢引入其它三角函數，引進正弦，同時也就引進了一種數學思想，即對應的思想，函數的思想，為函數、向量、解析幾何、復數等知識的學習做必要的準備．利用正弦獲取幾何知識的基本思路是建立方程，含有正弦的面積公式

包含了好幾個等式，每個等式都可以看成一個方程，由面積公式可以得到一系列的公式和正弦定理．

“三角下放”還把高中要學的正弦定理、余弦定理以及和差角公式等三角變換提前到初中學習，學生開始有疑惑，再提出質疑，到最后如獲至寶，體會到了新方法在解決問題時的簡單快捷．大部分學生通過對三角的正弦值有了最初的認識，這對于以后高中學習三角函數奠定了初步基礎，學生高中學習三角時能夠聯想到用單位菱形的面積去定義角的正弦值，提供了學習三角新思路，學生進入高中后三角函數的學習會更加容易．重建三角展現出知識內在生成性，正弦的引入如在學生的大腦植入了一粒種子，這顆種子在數學的推理下迅速生根、發芽和成長，學生頭腦中的數學知識一下就豐富起來．知識之間存在巨大的張力，這對學生的思維也是巨大的挑戰．

新課程更多的強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，重建三角更多的是從學生已有的知識經驗出發，提出新問題，引發思考，探求解決的過程中得到新的數學知識，在獲得數學理解的基礎上發展思維能力．重建三角的新體系重思考的過程，重分析的過程，重解決問題的過程，學生可以在學習新知識的過程中，把握和理解知識間的聯系，從而融會貫通、舉一反三．

3.3 重建三角與教材融合的結構體系變化

平面幾何證明和演繹系統難學是公認的，中學教材中平面幾何有內容在減少、證明難度在降低的趨勢．證明與演繹系統的學習有一個循序漸進的過程，在低年級主要采取的是觀察的、實驗的方法，然后是非正式的、直覺的和不嚴格的途徑，到了一定的年級才轉向較為正式的、公理化的、演繹的和嚴格的幾何[14]．新課程改革后，一種普遍的認識是，發現結論比證明結論更重要，證明不僅僅是演繹的，還是歸納的，如果直接由小學的實驗幾何過早地進入證明，會脫離學生的認知實際，增加學習難度，讓部分同學失去學習數學的興趣和信心．因此，北師大版初中數學教材把平面幾何的學習分為3個階段．

第一階段從七年級上到八年級下，主要內容包括基本平面圖形、相交線與平行線、三角形、生活中的軸對稱（簡單的軸對稱圖形）、勾股定理．所以，第一階段幾何是實驗性的，以發展合情推理為主，借助觀察、比較、類比、歸納等合情推理獲得幾何命題，循序漸進地進行說理訓練，用類生活語言把由因得果的依據明確地表達出來，理解條件與結論的邏輯關系，經常性地進行文字語言、符號語言、圖形語言的相互轉換訓練，注重畫圖、識圖技能的訓練，為第二階段的演繹推理做充分的準備．

第二階段安排在八年級上的最后一章和八年級下的第一章，主要內容是平行線的證明和三角形的證明．此階段以演繹推理為主，以已經認識的基本事實作為證明的出發點和依據，學習綜合法證明．證明與平行線的性質及判定有關的結論，證明三角形內角和定理，證明與等腰三角形和直角三角形的性質及判定有關的結論，證明線段垂直平分線和角平分線的有關性質．分析思路時輔助線的添加和綜合法證明的表達方式是幾何證明學習的難點．

第三階段從八年級下到九年級下，主要內容包括平行四邊形、特殊平行四邊形、圖形的相似、直角三角形的邊角關系、圓．把歸納推理與演繹推理合二為一、融為一體，邊探索邊證明，進一步提高學生推理能力的水平，逐步提升綜合能力．

根據重建三角的基本思路和北師大初中數學平面幾何內容定位，根據祥福中學實際，在多次交流、討論和教學實踐中逐漸形成了融合的體系結構．

七年級下學期教材調整內容：第一章整式的乘除→第二章相交線與平行線證明（補充同旁內角與直線位置關系、同旁內角互補與同位角、內錯角的關系）→第三章變量之間的關系→第四章三角形（補充正弦定義與正弦三角形面積計算公式、正弦函數表與正弦定理、相似三角形角角定理與性質、正弦與等腰三角形（角平分線與中垂線）、正弦定理與三角形的全等）．在《相交線與平行線》一章的第一節《兩直線的位置關系》后補充三角形的外角及與外角有關的兩個結論，推出平行線的判定定理：兩直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行，再推出同位角、內錯角相等，兩直線平行．增加補充外角0.5課時，由于平行線判定定理整合到一節課，縮短了1課時．在《三角形》一章中增加正弦三角形面積公式、正弦定理、三角形相似之角角判定定理3課時，由于角角判定定理與三角形全等判定定理整合到一節課，又縮短了3課時．由于角角判定定理的前移，先講相似，那平行線分線段成比例就水到渠成，可節省不少時間，學生也更好理解，降低難度．正弦三角形面積公式是新幾何體系的邏輯中心，由正弦三角形面積公式順利推出另一個最重要定理——正弦定理，出現正弦定理之后，判定相似手到擒來．因此用正弦定理證明了（原九上第四章）圖形的相似（AA判定定理）．讓學生提前接觸到相似的核心判定定理，分解相似難點．AA判定定理的證明既復習了正弦定理，也由它輕松證明相似的特例——全等，間接推出全等的其它判定定理，而正弦定理也能直接證明全等的AAS和ASA判定定理．

八年級上學期教材調整內容：第一章實數→第二章勾股定理與三角函數→第三章二元一次方程組→第四章位置與坐標→第五章一次函數（補充斜率及直線位置關系）→第六章圖形的平移與旋轉→第七章數據的分析．先學實數，復習正弦三角形面積公式，推出直斜定理，直斜定理在下調的（原九下第一章）《直角三角形的邊角關系》這一章里很好用．讓學生熟悉三角函數，可給學生練習相似和三角函數的綜合題，這樣既復習相似角角判定，又加深三角函數的認識．比如用余弦定義“算兩次”去證明勾股定理，正弦三角形面積公式也能直接證明勾股定理，再由勾股定理推出八上需引入的余弦定理．

八年級下學期教材調整內容：第一章一元一次不等式和一元一次不等式組→第二章平行四邊形→第三章特殊的平行四邊形及梯形→第四章分解因式→第五章分式與分式方程→第六章圖形的相似與投影（補充直斜定理、正弦和（差）角公式、正弦和（差）角公式、余弦和（差）角公式、三共定理）→第七章反比例函數．復習正弦三角形面積公式，通過面積“算兩次”順勢推出正弦和角公式．由正弦和角公式簡單推出正弦差角公式，余弦和（差）角公式．這樣很難的正余弦和（差）角公式由一個公式即可推出．當然，正弦差角公式、余弦和（差）角公式還有其它方法推出，也可讓學生感受．復習余弦定理推出相似SSS和SAS判定定理．由正弦三角形面積公式推出相似三角形面積之比等于相似比的平方．這時很多的相似題既可用兩次相似也可用三共定理解決，既訓練用傳統輔助線解決問題的能力，又能通過三角法解決問題．

九年級上學期教材調整內容：第一章一元二次方程→第二章二次函數→第三章圓（補充正弦定理與圓、正切和（差）角公式）．在講了圓的定義后復習正弦定理，推出正弦定理的比值等于三角形所在外接圓的直徑．復習正、余弦和（差）角公式，用它推出正切和（差）角公式．九上學習了圓后，在以圓為背景的問題中，學生就能大量、靈活地利用這些新知解題，出現了很多經典案例，九上結束全部新課．

4 “重建三角”教學實驗反思

4.1 重建三角在初中學生學習中的實踐考證

在教育數學教學實踐中，學生逐漸養成了主動學習意識和習慣，善于從實際或設想的情境中發現和提出數學問題，對問題進行探索思考，樂于用前面已經學習的數學知識或類比前面知識探索的成功經驗解決問題，敢于對所學數學知識問個為什么，為什么這樣計算，為什么這樣推理，為什么這樣作圖，方法能不能再改進，為什么先學這些后學那些，等等．例如，正弦表上的數值是如何求出來的？如果把一個三角形分成兩塊計算，得到的方程能推出些什么新的東西？由正弦面積公式列出方程，得到正弦和角公式，把和角取特殊值直角，可以輕松得到勾股定理．學生學會了動手計算作圖測量，嘗試通過推理預見圖形的性質，不做具體計算預見計算的結果，可以用抽象的模型概括實際問題．學生在學習的各個階段都會回憶起此處的學習經驗，從中學到的思考問題的方法會伴隨終生．

“重建三角”的知識系統展開明快，通過計算發展思維，通過邏輯推理感受人類精神的力量，推理具有簡捷嚴謹的代數風格，容易理解和記憶，不是增加課本知識而是代替課本的90節課，減少了40多節課，學生可以有更多的時間思考、討論和探索，能普遍提高學生的學習興趣，真正的目的是提高學生的數學核心素養[15]．這樣初中階段學生能把三角形的作圖、證明和計算全部學完，使學生掌握系統的知識，更早體會方程和函數的思想方法，認識到數學基本內容直接的內在聯系，深度理解，利于應用．例如，可以由余弦定理得出勾股定理和它的逆定理，從而認識到余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例，它們是特殊三角形的邊角關系和一般三角形邊角關系的兩種表現形式．

4.2 重建三角在初中數學結構變革中的合理性

傳統的中學數學課程中，三角的教學分兩個階段：第一個階段是九年級上學期或下學期，主要內容是銳角三角函數的定義、特殊角的三角函數值、解直角三角形、解斜三角形和三角函數的應用，稱為第一個循環；第二個階段是高中，主要內容是任意角的三角函數、三角函數的圖象和性質、兩角和與差的三角函數、反三角函數和簡單三角方程，稱為第二個循環，主要放在高一上學期或下學期學習，新課程改革后多放在高二下學期學習，對三角變換的學習要求也有減弱的趨勢，初中的解直角三角形安排在相似三角形之后，解斜三角形則放在高中學習．高中的三角函數安排在高一學習函數之后，其本質是體現周期規律的超越函數．從內容來看，初中三角屬于幾何，以直角三角形邊的比定義銳角三角函數，教材中一般先定義正弦，再定義余弦和正切，有的教材根據數學史上先出現正切，所以先定義正切；初中三角重視三角函數的應用，把三角作為解幾何問題的工具；高中三角屬于分析，三角是作為數學研究的對象，是函數的一類．因此，兩個階段三角內容的性質是不同的．

弗賴登塔爾也曾提出中學里應當提前兩年學三角，把正弦作為最早的函數例子[16]，教育數學找到了具體可操作的方案，實現了三角下放的設想．三角下放，主要是把初三的三角下放到初一學習，擴大角的范圍，引入三角形的邊角關系（正弦定理、余弦定理），引入三角函數基本關系及恒等變形公式（和差角公式、半角正弦、正余弦倍角公式、和差化積、積化和差），為高中三角的學習打下思想基礎，將來高中學習三角函數就容易了．重建三角一方面構建了教材的基本內容的內在關系，各部分聯系更加緊密．另一方面，新的體系是對傳統內容的系統化處理，利于教學中對整體結構的理解．例如，三角形的內角和定理和平行線的判定定理和性質定理是等價命題，可以相互推出．現在多數的教材中，平行線都是安排在三角形之前，主要是考慮到平行線比三角形圖形結構簡單，不會割裂三角形內容的系統完整性，存在的問題是平行線判定定理和性質定理由于推證繁難，往往不作為定理推證，直接由觀察直觀得出，作為公理提出．重建三角由小學學習過的三角形內角和定理出發，延長三角形的一條邊推出三角形的外角和定理，延長三角形的兩邊，得到三線八角，進而可以簡單地推證出平行線的判斷定理和性質定理，是把三角形放在平行線前面．實際上，復雜的圖形結構往往更加直觀，如北師大版初中數學中，是按照立體圖形（幾何體）—平面圖形—相交線與平行線—三角形—平行線的證明—三角形的證明的邏輯順序展開，這個安排既考慮了直觀性又使相關定理的推證簡單化．

4.3 重建三角在教師教學實驗中的反思

一種新的教學理論體系要在教學實踐中檢驗和改進，離不開一線教師的認可和踐行．1982年，張景中在《面積關系在幾何證題中的應用》[17]中提出了幾何證明的面積關系法，即用不同的方法計算同一個圖形的面積，把所得的不同形式的結果用等號連接，可得一個或幾個等式，消去某些與問題無關的量，以得到要證的幾何結論；并用面積法證明了正弦定理和余弦定理，提出初等幾何中常用的基本定理都和面積公式有聯系．此后，因為用面積法證明幾何問題避免了挖空心思地找輔助線，一線教師自覺地把面積法作為數學競賽培訓的主要內容或課外學習的內容．2004年新課改后，重建三角的初中數學課程結構體系最初在個別學校的一些班級試教一兩節內容，再到建立實驗班進行整個初中階段的教學實踐，最后推廣到全校或全區采用新的體系，以點到面地進行規模化實踐[18-21]，新體系逐漸得到教師的認可，并積極在教學中實踐應用．教師逐漸認識到重建三角體系中新知識的補充不會增加負擔，反而減輕了學生的課業負擔，提高了成績．教師在實踐中把重建三角的體系融入教材體系中進行數學課程設計，形成了適合當地實際的校本教材，教師把重建三角中新知識引入數學課堂進行教學設計，形成了獨具特色的豐富的課堂教學資源．例如祥福中學在教學實踐中形成了相對完整的“重建三角”學案，編寫了教育數學校本課程《教育數學初中幾何讀本》，匯編了3年實踐學生用三角法解題的全部案例集《三角法創新實踐印記》．

教師在實踐中對教材進行整體性和系統性研究，對數學課程設計中各個知識在教材中的呈現有了更加深刻的理解和認識，教學設計時更加注重數學味道，教師頭腦中有了系統化的數學知識，就會更加重視讓學生經歷數學知識系統建構的過程，理解知識間的邏輯關系，形成知識系統的線索，重視提前發展學生的推理能力．在傳統數學教學中，教師相信“熟能生巧”，學生自覺地進行著“刷題”的模式，重建三角體現了內容的相互聯系，展現了不同解題方法在解決同一個問題時本質上的一致性，例如一個正弦面積公式就可以有很多不同的應用．用一個公式就可以解決很多問題，教師在教學實踐中更加注重幫助學生找問題解決的“通性通法”，分析不同方法的內在聯系，例如，由平行四邊形的鄰角互補、對角相等，證明平行四邊形的對邊相等，可以用到全等三角形的角角判定法、相似三角形的角角判定法、正弦定理、共角定理等5種方法，不同的方法本質上是一致的．

首輪實踐中，全等與相似、面積法和三角法自然融合，重建三角的體系和北師大教材章節自然融合，凝聚著參與實踐的一線教師和教研員的聰明智慧．在二輪實踐中，將進一步擴大參與實驗的班級和年級，嘗試以重建三角的體系為主體把課標或教材的內容融入新體系中，以校本課程為基礎編寫實驗教材，建設可操作、可復制和可推廣的課程體系．

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An Initial Exploration and Experimentation of the Educational Mathematics in Rural Junior High Schools——Experimental Analysis of the “Reconstruction Triangle” in Xiangfu Secondary School of Qingbaijiang District, Chengdu

ZHANG Long-jun1, XIONG Li-li2, ZHANG Jing-zhong1, LI Xing-gui3, RAO Yong-sheng1

(1. Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 550006, China;2. Chengdu Qingbaijiang District Xiangfu Middle School, Sichuan Chengdu 610300, China;3. Chengdu Normal University Mathematics College, Sichuan Chengdu 611130, China)

From 1989 to 2012, the educational mathematics system formed and constructed a relatively perfect junior high school mathematics reform program. In recent years, more and more schools have participated in the experiment of innovative teaching of mathematics based on the educational mathematics system. In 2015, 15 junior middle schools in Chengdu and Nanchong, Sichuan Province began experimenting with educational mathematics. The benefits of the educational mathematics system entered the classroom, including optimizing the content structure system of mathematical textbooks, promoting students’ mathematical learning, developing teachers’ mathematical literacy, and promoting the development of mathematical education. From 2016 to 2018, Xiangfu Middle School carried out a 3-year complete experiment of junior high school mathematics teaching reform, achieving good results. This paper analyzes and considers the teaching achievements of rural schools represented by Xiangfu Secondary School in educational mathematics practice and inspects the growth and development of students and teachers in educational mathematics practice.

educational mathematics; reconstruction of triangle; reform in education; rural junior middle school

2021–08–07

廣東省高等教育教學研究和改革項目——基于教育數學的數學教學理論與實踐（粵教高函[2018]1號）；中國教育學會2017年度“十三五”教育科研規劃重點課題——張景中院士教育數學在初中數學教學中推廣實驗的實證研究（1728140045A）

張龍軍（1983—），男，河南西平人，博士生，主要從事教育數學研究．

G632.4

A

1004–9894（2021）05–0033–06

張龍軍，熊莉莉，張景中，等．教育數學在農村初中首輪實驗的探索與思考——“重建三角”在成都市青白江區祥福中學實驗分析[J]．數學教育學報，2021，30（5）：33-38．

[責任編校：陳漢君、陳雋]