從《原本》談中學平面幾何課題式教學研究

王海青，曹廣福

從《原本》談中學平面幾何課題式教學研究

王海青1，曹廣福2

（1．惠州學院 數學與統計學院，廣東 惠州 516007；2．廣州大學 數學與信息科學學院，廣東 廣州 510006）

平面幾何內容是中學數學的重要組成部分，也是后續立體幾何與解析幾何的學習基礎．研究探討了中學數學課題式教學的組織實施方式及其基本思想，梳理了歐幾里得《原本》的編寫特色與風格及其重要數學思想，剖析了平面幾何教學內容結構與教材編排情況，在此基礎上對中學平面幾何模塊教學內容進行課題式教學設計探索．基于對平面幾何模塊內容的總攬，重點探討其中兩個子課題的教學設計思路，即以“三角形內角和定理”為探究起點的課題式教學設計、凸顯“勾股定理”重要價值的課題式教學設計．

《幾何原本》；平面幾何；課題式教學；三角形內角和；勾股定理

1 中學數學課題式教學的涵義

課題是指要研究和解決的問題，特別是一些有創新性的或前沿性的問題．撰寫一份課題申報書或者完成一個課題研究常常要回答以下幾個問題[1]：研究什么問題？為什么要研究這些問題，它的重要性體現在哪里？解決這些問題的關鍵是什么？尋求何種方法解決這些問題？這些問題的解決能給我們帶來什么？因此，課題的核心就是問題，課題研究要經歷發現問題與提出問題、分析問題與解決問題的科學研究過程．但大部分數學課程都已經有比較完整的理論體系，所以課題式教學與課題研究也不盡相同．課題式教學不應僅看作是按照課題研究的形式開展教學，而是教師把課程當作課題來研究，根據學科結構和知識模塊“再創造”[2]教材，重組教學內容重構教學流程，引領學生圍繞能揭示本質的核心問題進行探究活動，使之在經歷類似于課題研究一樣的活動過程中生成知識習得思想方法．

作為數學學科，教學應反映數學的本質——抽象思維模式，知識的本質——思想的載體，以及研究的本質——解決問題．中學生與高校學生的知識儲備、思維水平及認知特點有較大差異，因此在中學數學課堂中實施課題式教學與高校的課程教學也會有所不同．基于此，這里將中學數學課題式教學定義為：教師基于對數學專題或模塊內容整體結構與發展脈絡的理解，挖掘知識產生的問題與背景并結合學生的“數學現實”重構教學，引領學生在知識的整體框架下圍繞核心問題與核心概念經歷發現問題與提出問題、分析問題與解決問題的過程，引發學生“再發現”數學知識及其蘊含的思想與價值，實現對教學內容的有限“再創造”．

中學數學課題式教學的內涵與理念也正反映了教育家杜威所強調的“關注學生現實生活和實踐”[3]的哲學思想，并踐行“教師主導學生主體”[4]的教學理念．其實質就是教師把課程當作是課題來研究進而重構教學內容，使教學過程成為“再創造”知識與思想方法的科學研究過程，這個過程突出體現以問題為內核的探究過程．這里的“再創造”是有指導的有限再創造，“數學現實”[5]是指學生的數學基礎與生活實際．所以，中學數學課題式教學的實施有助于落實《普通高中數學課程標準（2017年版）》[6]提出的“四基四能”課程目標，也有助于教師和學生整體把握教學內容，促進學生數學學科核心素養連續性和階段性發展．

數學學科的抽象性與形式化、中學數學教材的編寫特點、課程標準的教學目標以及中學生的思維能力與認知水平，決定了中學數學課題式教學需遵循適當性和量力性教學原則．教學設計需結合學生的實際重構教學內容，創設恰當的、真實有效的問題以及情境驅動教學，引領學生實現對數學的有限再創造．數學在解決現實問題、科學問題和數學自身的問題中產生與發展，所以教學上提出的問題應是符合學生實際的現實問題、科學問題或數學問題．創設的教學情境根據具體知識也包括“現實情境、科學情境、數學情境”3類[6]，它們應“具有一定的生活意義、數學價值或科學價值”[7]．

2 中學數學課題式教學的組織實施方式

根據課題研究需回答的幾個問題，中學數學課題式教學的設計則需相應地明確以下4個問題：產生數學知識的背后問題是什么？這些問題的重要性與教學價值體現在哪？教學中這些問題的關鍵和解決辦法是什么？問題的解決生成哪些重要概念與原理，形成哪些重要思想與方法？實際上這就是要從數學學科結構和歷史脈絡出發，深入到數學內部去回答教什么、為什么教以及如何教的問題，如此才能真正有效實施中學數學課題式教學．

因此，中學數學課題式教學有賴于教師對專題或模塊內容的組織與設計做充分的教學準備．教師需依據數學學科結構和數學史，像做課題一樣剖析專題或模塊教學內容，理清知識的來龍去脈、豐富的內涵和廣泛的應用性，及其背后的精神實質和思想方法，以便向學生呈現一個能總攬專題或模塊的大致輪廓．再根據知識的內在邏輯聯系設計出一個個子課題，并基于對子課題的意義、地位、主要問題及解決途徑的理解開展課時教學．學生則在教師引領下把學習內容當作課題一樣進行研究性學習、探究性學習，經歷發現問題與提出問題、分析問題與解決問題的過程，形成概念與原理，習得思想方法．

文獻[1]給出了課題式教學的基本架構．同樣，中學數學課題式教學組織與實施方式也強調對數學專題或模塊教學內容總攬的基礎上對一個個子課題進行分析研究，以問題引領和驅動具體課時內容的教學完成課題目標．中學數學課題式教學的基本流程要遵循以下3個步驟．首先，教學上先讓學生對專題或模塊內容的結構、知識背景及意義有一個大致的整體性認識．其次，對教學內容分解成一個個子課題，引導學生圍繞問題及其情境進行探究性學習并經歷類似于課題研究的科學研究過程，掌握相應的知識與方法．最后通過對一個個子課題的解決完成對專題或模塊內容的整體研究達成總體教學目標，學生獲得靈活的整體認知結構，不斷增強實踐能力，認識數學的價值，提升創新意識與數學素養，樹立科學精神．需要指出的是，完成每個子課題的課時數依據其所包含的教學內容量來決定，根據教材的編排結構，每個子課題也并非一定是在連續的課時教學中完成，主要強調圍繞一類核心問題沿著同一條研究主線進行．

3 中學數學課題式教學的基本思想

根據前面對中學數學課題式教學的涵義及其教學組織實施方式的探討可知，該教學法在教材處理、教學準備與教學流程設計、教師的教學方式、學生的學習方式等方面都是在經歷類似于做課題研究的科學研究過程．教師在做課題式教學研究，學生在做課題式學習研究，最終實現教師在提升自身教科研能力的同時又促進了學生學習能力與數學素養的養成．總體而言，中學數學課題式教學的實施需遵從以下6個基本的教學思想．

3.1 基于教材統整專題或模塊的教學內容

實施中學數學課題式教學，教師首先要對基礎教育階段的教材結構與知識體系有完整的認知和把握，了解各個專題或模塊內容在不同學段不同年級的分布情況及其教學目標與要求．基于對教材內容的整體理解才能把握相應專題或模塊教學內容的結構及其知識點的聯系，才能在教學設計與教學組織過程中做到承前啟后、有的放矢．常言道，教師的教學不能“照本宣科”完全按照教材去教，要結合學生實際，對教材內容再創造、再組織．但這不等于“脫離教材”自立家門重新搞一套，而是要“緊扣教材”，基于教材而高于教材地用好教材，要對教材進行剖析，融入自己的理解，根據學生的情況組織教學內容．

3.2 基于數學學科結構和數學史梳理專題或模塊整體架構

數學教科書根據數學的特點和編寫需要，基本上按照概念的定義、定理與性質的證明、法則的推導、例題的講解、習題的布置等順序編排成形式化的邏輯演繹體系，而知識產生與形成的背景及問題則少有出現．這讓學習者在一堆符號化的邏輯推理中很難體會到蘊含在知識背后的數學思想及其重要價值．“數學并不是按照教科書中的方式發展的”[8]，但教材不是百科全書式的科普書籍，主要是簡明扼要地呈現主干知識為主．這也就需要教師基于數學的學科結構和數學史對教材內容進行再加工，理清知識產生、形成與發展的來龍去脈，及其承載的重要數學思想方法、科學家的精神品質等．從而明晰知識背景與問題本原，明確知識的教學價值及其與其它知識間的密切而豐富的聯系，把握專題或模塊的整體架構．

3.3 基于“先行組織者”策略呈現專題或模塊的大致輪廓

美國數學教育家Ausubel所提倡的“先行組織者”[9]教學策略，是指學生正式學習某個單元知識之前，教師向他們介紹熟悉的、要比舊知識本身具有更高的抽象、概括和綜合水平的，并且能使學生原有的認知結構與新知識相關聯的引導性材料，為新舊知識的連接做準備．中學數學課題式教學強調學生對專題或模塊內容的意義、背景與整體知識結構的認識和理解，為后續的學習提供支撐．因此，在正式開始專題或模塊教學之前，教師要向學生介紹相應數學知識的背景與整體框架、主要內容與價值、主要思想與方法，它們與前后章節乃至其它學科間的聯系．目的是為新的學習內容提供觀念上的固著點以促進學生的學習，也為后面具體教學的問題情境創設提供預設和鋪墊．

3.4 基于學生現實強調問題驅動生成新知揭示本質

中學數學課題式教學重視將具體教學內容融入到真實有效的核心問題中，并引導學生圍繞問題進行探究性教學活動，這符合數學知識的形成過程．數學本身就是在解決各種各樣的現實問題、科學問題和數學問題中逐步形成、發展和完善，因此以問題驅動教學是生成概念和獲得原理的最佳途徑．但問題及其情境需依據歷史并結合學習主體——學生的現實即其數學基礎和生活實際來創設，才能有效推進教學促使學生在已有知識基礎上生成新知．以問題驅動教學，讓學生在適當的問題情境中進行探索活動經歷類似于做課題的科學研究過程，有助于他們再發現知識并深刻體驗到數學概念與原理背后所蘊含的思想方法，感受到數學的價值、作用與魅力．

3.5 基于高觀點視角指導核心概念與原理的教學

高等數學的知識體系與思想觀點對初等數學教學具有高屋建瓴的指導作用．教師若能從高等數學的視角審視初等數學的知識，將有助于更好地理解教學內容以整體設計教學和對關鍵問題的把握、變式與引申．正如德國數學家F. Klein所言：只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單[10]．事實上，高等數學是在初等數學的基礎上發展而來，初等數學的許多知識是高等數學的特殊情形．所以，中學數學中有些重要的概念和性質、定理、法則需要站在高等數學的高度，從數學的學科結構出發去認識才能揭示其本質，這有利于設計課題研究式的教學過程，有利于突破教學重點、分解教學難點．

3.6 基于全體學生注重適度彈性教學設計

《普通高中數學課程標準（2017年版）》[6]與《全日制義務教育數學課程標準（2011年版）》[11]指出基礎教育數學課程“應面向全體學生，人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不斷的發展”．所以，教學設計應具備一定的彈性，既面向全體學生也關注學有余力學生的需要．但數學教材的編寫是立足于中國各地區全體學生的共同需要，考慮學生和教學環境的共性．而每一位教師面對的是各自地區具有不同特性的學生，教師需基于教材結合學生實際組織教學內容．“課題式教學不僅回歸了教育的本質，而且極大增強了課堂的彈性．”[1]顯然，課題式教學在彈性教學設計上有著天然的優勢，它自帶課題研究的基因，基于某一問題的課題研究的深度與廣度可以根據實際需要來確定．

4 中學數學課題式教學案例研究

結合中學數學課題式教學的涵義、組織實施方式與基本思想，下面以中學平面幾何模塊內容為例探討相應的課題式教學設計．

4.1 《原本》特色與思想對平面幾何教學的啟示

中國現行的中小學數學教材內容，除了近現代的向量、概率統計、微積分等，其中算術、代數、幾何與三角的內容幾乎都來自古希臘時期歐幾里得的《原本》．因此，了解《原本》的編寫風格與特色、涉及的主要數學思想，有助于教師整體把握中學數學內容進行有效的教學設計．《原本》是歷史上最早的一本以公理化方法組織數學內容的書籍，全書13篇集結了希臘古典時期數學家工作的精華，涉及平面幾何、立體幾何、比例論、相似性、數論、不可公度量等，其中8篇論述了平面幾何與立體幾何的相關定理與性質．書中主要體現了歸納猜想、演繹推理、分類討論、數形結合、歸謬窮竭、等積變換等思想方法．

舉個例子，畢達哥拉斯定理也就是中國的勾股定理，史學家們認為是歐幾里得在《原本》中對該定理給出了第一個嚴謹的推理證明，而畢達哥拉斯學派可能是在實際的測量中根據許多特例歸納得出直角三角形3邊關系，并沒有給出嚴格的證明[12]．假設直角三角形中，∠=90°，=，=，=，要證明等式2+2=2成立．按照當時數學家處理代數式子的思路，很自然地考慮將這個等式轉化為幾何問題來解決，也自然地將2、2、2看作是3個正方形的面積．所以歐幾里得構造了如圖1所示的幾何圖形，再利用全等三角形的性質和等積變換的思想證明得到兩個小正方形的面積之和等于大正方形的面積，即2+2=2．整個證明過程充分體現了將代數問題轉化為幾何問題的數形結合思想，將線段的長度問題轉化為平面圖形面積問題的一維向二維轉化的思想，等面積變換的思想．

圖1 幾何圖形的構造

畢達哥拉斯定理證明所涉及的轉化與化歸、等積變換與數形結合的數學思想方法貫穿整個中學數學的教學，這也正是畢達哥拉斯定理在中學階段具有舉足輕重地位的重要原因．同樣的方式，《原本》對完全平方公式(±)2=2±2+2與平方差公式2–2=(+)(–)的證明就是構造相應矩形和正方形的面積給予幾何證明（如圖2、圖3），正如現在中學教材里給出的直觀幾何解釋一樣．這些在今天看起來不算嚴謹的證明在古希臘時期是沒有問題的，因為當時還沒有出現負數．

圖2 圖形的面積（一）

圖3 圖形的面積（二）

三角學則在亞歷山大時期由于天文學和航海技術發展的需要得以創立和發展．數學家托勒密（約90年—168年）在其著作《大匯編》中給出了第一個三角函數表[12]．古希臘及其后來的阿拉伯數學家主要研究的是球面三角，直到1450年后，由于測量的需要，平面三角的研究才愈加受到重視．阿拉伯人阿爾比魯尼（978—1048）給出了平面三角形的正弦定理，法國數學家韋達（1540—1603年）在1593年給出了平面三角形的余弦定理．隨著數學自身的發展，平面中的正、余弦定理被推廣到維歐氏空間中得到高維正、余弦定理的形式．《大匯編》中也給出了著名的托勒密定理，定理內容為：圓內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積．即如圖4，四邊形是圓的內接四邊形，則有·+·=·，這個定理與正、余弦定理及一些三角恒等式有著密切聯系．

圖4 四邊形的對角線

數學史清晰地反映出數學始于問題．《原本》的內容組織、證明風格特點則突出體現了重要性質定理的證明及推導中所蘊含的數形結合、轉化與化歸、特殊與一般、分類討論、類比聯想、等積變換等數學思想．通過這些思想將相關知識密切聯系起來，由淺入深、層層遞進，不斷引出新的結論．因此，中學數學教材內容中的各個知識點間也有著豐富的聯系，彼此關聯形成有機整體，其蘊含的數學思想就是它們之間的重要連接點，教學組織與實施應通過問題揭示知識間的內在聯系．

4.2 新課程教材中平面幾何的整體知識體系

新課程的改革不僅要求教師更新教學理念改進教學方式，教材內容的編寫與組織也發生了巨變．在新課程改革之前，中學數學教材的體系是代數、幾何、三角分支各自獨立、自成一冊，結構體系整體呈現．基礎教育數學新課程標準下的教材結構體系由集中走向分散，各個模塊內容由獨立走向融合，出現在不同年級的教材中．打破數學各分支結構的界限統整為綜合數學有助于知識的整合，也符合學生螺旋式上升的認知特點，但同時也給學生整體理解和把握各模塊的知識體系結構帶來一定的障礙．強調對模塊知識結構、價值與意義總攬的中學數學課題式教學有助于去除這一屏障．教師在開展某一專題或模塊的課題式教學之前，首先要向學生呈現將要學習內容的背景與整體知識結構、新舊知識間的聯系、重要價值與主要思想方法．

平面幾何模塊的內容分布在小學、初中、高中3個學段，主要集中在初中階段．解三角形有一部分內容如正弦定理、余弦定理安排在高中，小學部分的平面幾何內容主要是讓學生對一些基本圖形有直觀感性的認識，會做簡單的運算．中學階段的平面幾何整體知識框架如圖5，包含了幾何變換、三角形、四邊形、圓及其綜合應用問題．相應的性質與判定即為互逆命題，兩者邏輯關系密切．正如前面對《原本》的分析一樣，平面幾何的教材內容蘊含了分類討論、特殊與一般、數形結合、轉化與化歸、類比聯想、等積變換等重要數學思想．從教材編排的整體結構看，對不同三角形、四邊形的討論涉及到分類討論的思想，從全等三角形到相似三角形的研究屬于特殊到一般，從一般的四邊形到特殊四邊形的探討屬于一般到特殊，在討論具體的性質、判定時則突出體現了數形結合、轉化與化歸、類比聯想、等積變換等思想．

圖5 平面幾何知識框架

在開始平面幾何模塊內容學習前，教師先大致介紹這個模塊內容的整體結構、涉及的主要思想方法、重要的價值及其在實際生活中的應用等，讓學生對知識的整體輪廓有基本的認知，為新的學習內容提供預設和鋪墊，建立支架與固著點．這同時也能緩解學生“為什么要學”的困惑，在情感上獲得意義學習的心向．類似地，在進入到具體單元的學習前，教師也應向學生介紹相應單元的整體知識結構，讓學生了解單元的基本概貌．而當一個單元學習結束，教師則需引導學生復習本單元的知識點及其重要思想、主要的題型與方法，對其進行歸納總結，逐步形成比單元之初的概貌更為具體、完善和豐富的整體知識結構圖．同樣地，當平面幾何模塊內容學習完畢，教師也需引導學生進行類似的復習活動．

4.3 平面幾何模塊課題式教學的兩條研究主線

學生對平面幾何知識結構有了基本了解和認識后，教師接下來需根據模塊內容的內在邏輯關系分解成數個有機聯系的子課題進行課題式教學．每個子課題的教學根據其內容的多少安排一定數量的課時來完成，有些子課題可以在連續的幾個課時中完成，有些則根據教材內容的分布和難度需要經歷一定的時間跨度來完成．

根據前面對平面幾何模塊知識結構和教材編排的分析，子課題的設計可分為體現“一般與特殊”以及“類比聯想”思想的四邊形單元、全等三角形與相似三角形單元的教學，反映“互逆關系”的相應性質與判定定理的教學，突出“知識聯系、思想遷移”的圍繞一系列知識點展開探究的教學．需說明的是這些子課題之間并不是相互獨立而是彼此交錯互為實現的關系．下面著重談以“三角形內角和定理”“勾股定理”為中心圍繞一系列相關知識點展開探究教學的課題式教學設計．

（1）以“三角形內角和定理”為探究起點的課題式教學設計．

四年級下冊已經出現過“三角形內角和定理”教學內容，主要是讓學生以“量、拼、折”動手操作的方式直觀了解“三角形內角和為180°”這個事實，也為八年級上冊進一步學習這個結論的嚴格證明過程作鋪墊．因為在“量、拼、折”中就包含著證明的方法與輔助線的作法，八年級的教學可以在這一基礎上引出對新知的探究．根據知識生成原則，也可以利用學生已有的知識經驗“長方形的四個角都是直角”以及平行線的性質來探討“三角形內角和定理”的教學．由三角形的內角和、外角和可以在平面內推廣到對一般多邊形的內角和與外角和、曲邊形方向改變量的探討，而從平面類比到空間可以推廣到空間多面體平面角的和與多面角截面上閉折線的方向改變量之和等相關內容的討論．這個過程涉及特殊到一般、化未知為已知、類比聯想、不變性等重要數學思想．三角形內角和定理與相關知識點的聯系如圖6，這是教師要掌握的整體知識結構，結合學生實際再進行具有一定彈性的教學設計．正如F. Klein所言，教師掌握的知識要比他所教的多得多，才能引導學生繞過懸巖，渡過險灘[10]．

圖6 三角形內角和定理與相關知識點

面向學生的課堂教學，教師在整體理解知識和了解學生的基礎上，則可以按下面思路進行課題式教學設計，如圖7．虛箭頭部分表示相應的內容為拓展性知識，教師結合教學和學生實際情況進行彈性設計，為學有余力學生提供更廣闊的學習空間．

圖7 課題式教學設計思路

回顧“長方形的4個角都是直角”知其內角和為360°，然后向學生提出問題1：多邊形中最簡單的圖形是三角形，三角形中最特殊的是直角三角形，請問直角三角形的內角和是多少？你能用長方形的內角和為360°來證明它嗎？從長方形到直角三角形自然引出輔助線將長方形分割為兩個直角三角形，再運用平行線的性質可以證明直角三角形的內角和為180°．接著提出問題2：對于一般的三角形，這個結論是否依然成立呢？該如何證明？問題2本身就蘊含了從特殊向一般過渡的思想，而要解決這個一般性問題，需引導學生化未知為已知，回到直角三角形的結論，由此作輔助線將一般三角形分割為兩個直角三角形來計算相應的內角和．

同樣地，引導學生由特殊到一般提出問題3：三角形是最特殊的多邊形，一般多邊形的內角和又怎么計算呢？再次經歷化未知為已知的探究過程，將多邊形分割轉化為三角形來進行計算，得到多邊形的內角和為(–2)×180°，只與邊數有關．從長方形到直角三角形，再到一般的三角形、多邊形，都是在平面內從特殊到一般一步步地進行推廣探索，為了解決提出的新問題，又反過來從一般到特殊，將未知問題轉化為已知結論來進行處理，這個過程中幾何教學的重點與難點——“輔助線”就自然而然地根據需要出現了．

也可以將問題從平面推廣到空間進行探索，通過類比聯想提出問題4：在3維空間中，多面體平面角的和又是多少呢？假設多面體的頂點數為，面數為，邊數為，計算多面體平面角之和的直接方法是利用多邊形內角和公式求出每個面的內角和再相加．也可以利用三視圖的知識將問題從空間轉化過渡到平面上來處理．將多面體投影到一個平面上，投影只改變多面體各條邊的長度而不影響各個面的邊數，因此多面體平面角的和等于投影到平面上的各個多邊形的內角之和．在這個探究過程中會得到著名的歐拉多面體定理：+=+2，2稱為歐拉示范性系數，是一個重要的不變量，不同的歐拉示范性系數代表不同的多面體類型，2對應的是簡單多面體．對于問題4，這里體現了教學設計的彈性，并不要求所有學生都要經歷這個探究過程．教師應結合學生的實際來考慮是否需要在解決前面3個問題的基礎上進一步拓展引申，或作為閱讀材料向學生介紹空間中的探究情形．

另外一個方向，是從三角形的內角和過渡到三角形的外角和．教材將三角形的外角和定理看作是三角形內角和定理的一個推論，事實上“三角形的外角和為360°”要比“三角形的內角和為180°”這個結論更為本質．因為進一步推廣發現“多邊形的外角和也是360°”，它跟多邊形的邊數即形狀沒有關系，也可以看作是一個不變量．這個方向的教學過程既要重點運用舊知推導新知，也要通過動態證明一個物體沿著多邊形的邊運動回到起點剛好轉了一周，突出多邊形的不變性揭示本質．同樣，一個封閉的曲邊形的方向改變量同樣是360°．在初中除了圓，沒有涉及曲邊形的相關內容，教師可根據實際情況考慮作為數學閱讀材料供學有余力且有興趣的學生了解學習．

（2）凸顯“勾股定理”重要價值的課題式教學設計．

從前面對《原本》的分析可以發現，勾股定理的重要價值之一在于其證明過程中涉及的數學思想方法，這些思想方法貫穿初中幾何乃至代數內容的教學，并與平方差公式、完全平方公式、中位線定理、正弦定理、余弦定理、基本不等式等知識點有著直接的聯系，也與著名的費馬大定理和托勒密定理相關，如圖8．可將這些知識點形成有機整體進行課題式教學設計，突出知識間思想方法的遷移．

圖8 勾股定理與其它定理的相關性

由于勾股定理的發現與證明時間不同步，這使得要引領學生自然發現定理成為教學上的難點，且歐幾里得的證明對初中學生來說也有一定難度．為了解決這個難點，可以充分運用古代中國數學家的智慧．古人特別熱衷于對尺規作圖相關問題的探討，比如大家熟悉的“三大作圖不能問題”等，由此也衍生出很多的數學結論．《九章算術》是中國古代的經典數學著作，其第一章“方田”[13]就專門介紹了出入相補原理及其應用．出入相補原理也稱割補術，是對等積變換思想的運用．所以，不管是在古希臘還是在古代中國，面積法的使用都非常廣泛．

正方形在尺規作圖、面積計算等問題中起著至關重要的作用，因為多邊形可以分割成三角形，三角形則可轉化為等積的矩形，而矩形又可以利用直角三角形的射影定理轉化為等積的正方形，即“方出于矩”．將三角形變為等積矩形的過程中就隱含著三角形中位線定理及其證明過程．所以在古代中國，勾股定理的證明很可能也是在處理尺規問題時偶然發現的．如作一個正方形，其面積為兩個已知正方形的面積之和，這個問題的解答對應于劉徽的“青朱出入圖”，詳見圖9．如果問題中的兩個正方形變為兩個全等矩形，構造出的正方形就是“趙爽弦圖”，如圖10．“青朱出入圖”與“趙爽弦圖”是對勾股定理的直觀證明．

圖9 “青朱出入圖”模型

圖10 “趙爽弦圖”的構造

因此，勾股定理的教學可以結合實際先提出學生力所能及的問題I：如何作一個大正方形，其面積為兩個大小相同的正方形面積之和？這是大部分學生可以解決的問題，如圖11，并引導學生歸納總結問題I的作圖構造方式、結論與規律．進一步地，提出更一般性問題II：如何作一個大正方形，其面積為兩個大小不同的正方形面積之和？在解決問題I的基礎上引導學生在大正方形的底邊選擇合適的點構造全等三角形來處理，即如圖9．進一步歸納總結在等積變換過程中所體現的兩個已知正方形邊長與大正方形邊長的關系，即為：2+2=2，得證．然后向學生介紹歐幾里得的證明方法，突出體現兩者在證明過程中思想方法的統一性和東西方文化的差異性．古希臘人追求演繹推理而中國古代數學則崇尚實用和算法，在證明中也反映出了這兩種不同風格的數學文化精神．更為詳細的關于勾股定理的教學設計可以參考文獻[14]．

圖11 正方形的面積

教學還可以結合學生實際提出拓展性問題III：直角三角形的兩直角邊、的平方和等于斜邊的平方，即2+2=2．若邊、所夾的角為銳角或鈍角，3邊的平方和又滿足什么關系呢？當然，利用高中的余弦定理很容易判斷得出結論，但運用初中學生已有的知識基礎也可以解決這個問題．如圖12，在直角三角形中，以點為圓心，直角邊、為半徑作圓，構造兩邊分別等于、的銳角三角形和鈍角三角形并使得第三邊與邊平行，可直觀得到：鈍角三角形中2+2>2，銳角三角形中2+2<2．教師還可以考慮給學生關于費馬大定理的相關閱讀思考材料，體會特殊到一般的數學思想應用，感受數學家孜孜不倦追求嚴謹的科學研究精神．問題III和費馬大定理閱讀材料作為拓展性內容不對教學作硬性要求，教師結合實際進行處理．這兩個內容的目的是要培養學生的發散思維能力，學會運用數學思想方法對原有的問題與結論進行拓展引申和深入思考探究，體會數學知識之間的密切聯系性．

圖12 三角形的邊角關系

對于平方差公式與完全平方公式的教學，教師在引導學生完成兩個公式的代數歸納與推導證明的基礎上，應啟發學生觀察公式中各項所代表的幾何意義并嘗試構造出相應的幾何圖形（如圖2、圖3），將符號化的代數式子轉譯為直觀化的幾何圖式，滲透數形結合的思想．而三角形中位線定理的教學可以順著勾股定理的教學思想向學生提出問題IV：如何將一個三角形轉化為等積的矩形？有兩個解決問題的方向，一是保持三角形的高不變，使底邊長為原來的一半；二是保持三角形的底邊長不變，使高變為原來的一半，如圖13．引導學生在解決問題的過程中自然引出輔助線并發現三角形的中位線定理，再次體會等積變換的思想．

圖13 三角形與矩形的轉化

圖14 直角三角形的高

圖15 斜三棱柱

綜上有，以“勾股定理”為中心的課題式教學設計思路框架如圖16．同樣，虛箭頭部分為拓展性內容，教師應根據實際進行彈性教學組織與設計．

圖16 課題式教學設計思路框架

4.4 回顧與反思

通過對平面幾何的歷史與教材內容的剖析，可以清晰地看到數學知識間是一個相互密切聯系的有機整體，教學應該突出知識間的重要連接點，以便于學生形成良好的認知結構．特別地，教學應注重在舊知的基礎上靈活運用相應的數學思想方法探尋新知的生長點，引發學生對新知的探究．教師引領學生在探究活動中習得概念與原理、體會蘊含其中的數學思想方法，同時也要啟發學生嘗試運用數學思想方法提出問題進行探究學習．如運用特殊到一般、類比聯想（從低維到高維，從有限到無限，由直到曲）可以將原有的問題進行拓展引申和推廣，運用轉化與化歸思想可以化未知為已知、化不規則圖形為規則圖形，這個過程自然地引出輔助線解決了幾何教學的難點．還有重要的分類討論、數形結合等數學思想的運用[16–26]．

此外也可以發現，初等數學的許多結論是高等數學中的特例，高等數學的某些結論是初等數學的一般化．從高等數學的視角解讀初等數學相關知識有助于教師更好地把握知識的整體結構進行恰當的教學設計．事實上，初等數學與高等數學的本質區別不在于使用不同的思想方法、方式研究問題，而在于數學思維的抽象程度、知識的形式化程度不一樣．因此，數學教學過程應該是一個像數學家一樣進行數學研究的過程，在經歷發現問題與提出問題、分析問題與解決問題的過程中習得數學思想方法和處理問題的思維方式．

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On Project-Based Instruction of Plane Geometry in Middle School Based on

WANG Hai-qing1, CAO Guang-fu2

(1. School of Mathematics & Statistics, Huizhou University, Guangdong Huizhou 516007, China;2. School of Mathematics and Information Science, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China)

Plane geometry is not only an important part of middle school mathematics, but also the basis of subsequent solid geometry and analytic geometry. This paper discusses organization and implementation of project-based mathematics instruction in middle school, combs writing characteristics and style of Euclid’sand its important mathematical thought, analyzes structure of plane geometry’s teaching content and arrangement of teaching materials. Then research explores project-based instruction to plane geometry in middle school. Based on overview of content of plane geometry, this paper mainly discusses design ideas of two subtopics. That is, the project-based instruction design with “triangle interior angle theorem” as starting point, and the project-based instruction design highlighting important value of “Pythagorean theorem”.

; plane geometry; project-based instruction; triangle interior angle theorem; Pythagorean Theorem

2021–07–24

廣東省教育科學“十三五”規劃2020年度研究項目——新師范背景下“U—G—S”校地數學教師教育共同體的構建及其運行機制探索（2020GXJK410）；廣東省本科高校高等教育教學改革項目——課程思政融入數學學科教育課程的教學探索與實踐（2020年）；廣東省教育研究院2019年教育研究項目——“U—G—S”協同機制下數學教師職前培養與職后培訓一體化建設研究（GDJY-2020-A-s150）

王海青（1978—），女，廣東河源人，副教授，博士，主要從事數學史與數學課堂教學研究．

G632.4

A

1004–9894（2021）05–0039–08

王海青，曹廣福．從《原本》談中學平面幾何課題式教學研究[J]．數學教育學報，2021，30（5）：39-46．

[責任編校：陳漢君、陳雋]