空間幾何體中球的切接問題

袁海軍

空間幾何體的外接球是高中數學的重點也是難點，更是高考的熱點.?通常涉及求幾何體的表面積、體積并以較難的選填題來考查.?我們可以通過對幾何體的割補構造或尋求幾何體外接球的球心兩大策略求解此類問題.?而對于其內切球通常采用等體積法來求解.

引例：（2021高考全國？芋卷第11題）已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且AC⊥BC，AC=BC=1，則三棱錐O-ABC的體積為（????）

A.????B.????C.????D.

解析：∵AC⊥BC，AC=BC=1，∴△ABC為等腰直角三角形，∴AB=2r=?，

∴△ABC外接圓的半徑：r=?，又球的半徑為1，

設O到平面ABC的距離為d，?則d?=?=?，

所以VO-ABC=?S△ABC·d=?×?×1×1×?=?.

故選：A.

點評：本題作為選擇題第11題，表面看似較難，實則簡單.?它考查球內幾何體問題，解題的關鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面距離的勾股關系求解.

接下來我們談談空間幾何體中有關球問題的解題策略.

策略一、對空間幾何體的割補構造法，通常構造熟悉的幾何體（如長方體、正方體等）

題型1.?墻角模型

例1.?如果三棱錐的三個側面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4、3，那么它的外接球的表面積是???????????.

解析：三條側棱兩兩垂直，設三條側棱長分別為a，b，c（a，b，c∈R+），則

ab=12，bc=8，ac=6，∴?abc=24，∴?a=3，?b=4，c=2，

（2R）2=a2+b2+c2=29，S=4？仔R2=29？仔.

點評：此法適應于墻角模型（即三條線兩兩垂直，不需要找球心的位置即可求出球半徑），它可以通過構造長方體，直接用公式（2R）2=a2+b2+c2，即2R=?，求出R.

鞏固題1.（2020年高考天津卷第5題）若棱長為2?的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（????）

A.?12？仔????B.?24？仔????C. ?36？仔????D.?144？仔

解析：設外接球的半徑為R，易知2R=?×2?=6，所以R=3，于是表面積S=4？仔R2=36？仔，故選C.

題型2.?對棱相等模型

例2.?在三棱錐A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，則三棱錐A-BCD外接球的表面積為???????????.

解析：已知三棱錐的三組對棱分別相等，可補形構造長方體.

設補形為長方體，三個長度為三對面的對角線長，設長寬高分別為a，b，c，則a2+b2=9，

b2+c2=4，c2+a2=16?∴2（a2+b2+c2）=9+4+16=29，2（a2+b2+c2）

=9+4+16=29，a2+b2+c2=?，4R2=?，S=?？仔.

點評：此法適應于對棱相等模型（補形為長方體）.

此類題型解法的基本步驟：題設：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（AB=CD，AD=BC，AC=BD）.

第一步：畫出一個長方體，標出三組互為異面直線的對棱;

第二步：設出長方體的長寬高分別為a，b，c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列方程組，

a2+b2=x2，b2+c2=y2，c2+a2=z2？圯（2R）2=a2+b2+c2=?，

補充：VA-BCD=abc-?abc×4=?abc.

第三步：根據墻角模型，2R=?=?，

R2=?，R=?，求出R.

例如，正四面體的外接球和內切球半徑可用此法快速求解.

鞏固題2.?若四面體的各條棱長都為?，則該四面體外接球的體積為???????????，內切球表面積為???????????.

解析：可知該幾何體為正四面體，這也是對棱相等模式的一種特殊情況，可補形為正方體，易得正方體棱長a=1.?設其外接球半徑為R，內切球半徑為r，則：

2R=?a=?，R=?，V=?？仔·?=?？仔，

2r?=a=1，∴?r?=?，S=4？仔r2=？仔.

策略二、尋求空間幾何體外接球球心、截面圓心及球心到截面距離的勾股法

題型3.?垂面模型（一條直線垂直于一個平面）

1.?題設：如圖3，PA⊥平面ABC

解題步驟：

第1步：將△ABC畫在小圓面上，A為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑AD，連接PD，則PD必過球心O;

第2步：O1為△ABC的外心，所以OO1⊥平面ABC，算出小圓O1的半徑O1D=r（三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得：

=?=?=2r），OO1=?PA;

第3步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：

①（2R）2=PA2+（2r）2？圳2R=?;

②?R2=r2+O?？圳R=?.

例3.?已知在三棱錐S-ABC中，側棱SA⊥平面ABC，底面ABC是邊長為?的正三角形，SA=2?，則該三棱錐的外接球體積等于?????????.

解析：設其外接球半徑為R，△ABC的外接圓半徑為r，則2r=?=2，（2R）2=（2r）2+SA2=4+12=16，∴R2=4，∴R=2，即三棱錐的外接球體積：V=?？仔R3=?？仔.

點評：此法關鍵是求出小圓的直徑，再用勾股法求出外接球的半徑.?基本思路：外心法（加中垂線）找球心;正弦定理求小圓半徑.

鞏固題3.?已知△EAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，則多面體E-ABCD的外接球的表面積為???????????.

解析：依題意可設所求的外接球球心為O，半徑為R，△EAB的外接圓圓心為O1，半徑為r1，矩形ABCD外接圓圓心為O2，半徑為r2.

方法1：不難得△EAB是等邊三角形，且△EAB的外接圓半徑為r1=?，OO1=1，R=?=2;可得S=16？仔.

方法2：O1M=?，r2=O2D=?，R2=?+?=4，R=2，可得S=16？仔.

題型4.?漢堡模型

題設：如圖5，直三棱柱內接于球（同時直棱柱也內接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

第1步：確定球心O的位置，O1是△ABC的外心，則OO1⊥平面ABC;

第2步：算出小圓O1的半徑AO1=r，OO1=?AA1=?h（AA1=h也是圓柱的高）;

第3步：勾股定理：OA2=O1A2+O1O2？圯R2=（?）2+r2？圯R=?，解出R.

例4.?已知一個正六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該正六棱柱的體積為?，底面周長為3，則這個球的體積為_______.

解析：設底面正六邊形邊長為a，正六棱柱的高為h，底面外接圓的關徑為r，則a=?r?=?，底面積為S=6·?·（?）2=?，V柱=Sh=?h=?，

∴?h=?，R2=（?）2+r2=（?）2+（?）2=1，R=1，球的體積為V=?.

點評：此法適應于漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球），關鍵是先求出底面外接圓的半徑，球心一定落在上下兩個圓心連線的中點，再用勾股定理求出外接球的半徑即可.

鞏固題4.?已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，則此球的表面積等于??????????.

解析：依題意得：BC=2?，由正弦定理得：2r=?=4，r=2，

∴?R2=（?）2+r2=12+22=5，即S=4？仔R2=20？仔.

題型五.?折疊模型

題設：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊（如圖6）

第1步：先畫出如圖6所示的圖形，將△BCD畫在小圓上，找出△BCD和△A′BD的外心H1和H2;

第2步：過H1和H2分別作平面BCD和平面A′BD的垂線，兩垂線的交點即為球心O，連接OE，OC;

第3步：解△OEH1，算出OH1，在Rt△OCH1中，勾股定理：O?+C?=OC2.

例5.?在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B-AC-D，則四面體ABCD的外接球的體積為（??????）

A.??？仔???????B.??？仔?????????C.??？仔????????D.??？仔

解析：依題意可得：所求外接球球心即為線段AC的中點，且2R=AC=5，

∴R=?，故V=?？仔R3=?？仔·?=?，選C.

點評：此題是一種特殊的折疊模型：兩直角三角形拼接在一起（斜邊相同，也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐），關鍵是直接得出兩直角三角形公共斜邊的中點O就是外接球球心.

鞏固題5.?在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，沿BD將矩形ABCD折疊，連接AC，所得三棱錐A-BCD的外接球的表面積為?????????????????.

解析：依題意得：線段BD的中點就是球心O，2R=BD=?，S=4？仔R2=13？仔.

題型六.?空間幾何錐體的內切球問題（以正三棱錐為例）

思路1：題設：如圖7，三棱錐P-ABC上正三棱錐，求其外接球的半徑.

第1步：先現出內切球的截面圖，E，H分別是兩個三角形的外心;

第2步：求DH=?BD，PO=PH-r，PD是側面△ABP的高;

第3步：由△POE相似于△PDH，建立等式：?=?，解出r.

思路2：題設：三棱錐P-ABC是任意三棱錐，求其的內切球半徑

方法：等體積法，即內切球球心與四個面構成的四個三棱錐的體積之和相等.

第1步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積;

第2步：設內切球的半徑為r，建立等式：VP-ABC=VO-ABC+VO-PAB+VO-PAC+VO-PBC？圯VP-ABC=?S△ABC·r+?SPAB·r+?SPAC·r+?SPBC·r=?（S△ABC+S△PAB+SPAC+S△PBC）·r;

第3步：解出r=?.

例6.（2020年全國3卷理數第15題）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的體積為_________.

解析：易知半徑最大的球即為該圓錐的內切球.?圓錐PE及其內切球O如圖8所示，設內切球的半徑為R，則sin∠BPE=?=?=?，所以OP=3R，

所以PE=4R=?=?=2?，所以R=?，

所以內切球的體積V=?？仔R3?=?？仔，即該圓錐內半徑最大的球的體積為?？仔.

點評：涉及到幾何體的內切球問題：若所求的內切球與幾何體的各個表面都有相切，通常采用等體積法，但如果沒有與所有的表面相切，那就要取決于最小的那組內切圓作為大圓了.

鞏固題6.?在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內有一個體積為V的球.?若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，則V的最大值是（）

A.?4？仔 ? B.??？仔 ? C.?6？仔 ? D.??？仔

解析：由AB⊥BC，AB=6，BC=8，？圯AC=10.?要使球的體積V最大，

則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個側面相切.

設底面△ABC的內切圓的半徑為r，

則S△=?×6×8=?（6+8+10）×r，？圯r=2.?又由于2r=4?>3，∴不合題意.

若球與三棱柱的上、下底面相切時，則此時球的半徑R最大.

由2R=3，？圯R=?.???故球的最大體積V=?？仔R3=?？仔.

∴答案B.

題型七.?有關球的截面、弧長問題

例7.?已知三棱錐P-ABC中，AB，AP，AC三條棱兩兩垂直，且長度均為2?，以頂點P為球心，4為半徑作一個球，則該球面被三棱錐四個表面截得的所有弧長之和為 ??? .

解析：如圖9，AP=2?，PN=4，則AN=2，∠APN=?，

∴∠APN=?-?=?，

∴?=?×4=?，同理?=??，

=??×2-？仔，?=?×4=?.

故球面與三棱錐的表面相交所得到的四段弧長之和等于?+?+？仔+?=3？仔，

鞏固題7.（?2020年全國新高考？玉卷第16題）已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°，以D1為球心，?為半徑的球面與側面BCC1B1的交線長為__________.

解析：如圖10，連接B1D1，易知VB1C1D1為正三角形，所以B1D1=C1D1=2.?分別取B1C1，BB1，CC1的中點M，G，H，連接D1M，D1G，D1H，則易得D1G=D1H=?=?，D1M⊥B1C1，且D1M=?.

由題意知G，H分別是BB1，CC1與球面的交點.?在側面BCC1B1內任取一點P，使MP=?，連接D1P，則：

D1P=?=?=?.

連接MG，MH，易得MG=MH=?，故可知以M為圓心，?為半徑的圓弧GH為球面與側面BCC1B1的交線.?由∠B1MG=∠C1MH=45°知∠GMH=90°，

所以GH的弧長為?×2？仔×?=?.

高考真題演練：

例1.（2020年高考全國1卷理數第10題）已知A，B，C為球O的球面上的三個點，⊙O1為△ABC的外接圓，若⊙O1的面積為4？仔，AB=BC=AC=OO1則球O的表面積為（??）

A.?64？仔???B.?48？仔???C.?36？仔???D.?32？仔

例2.（2020年全國2卷理數第10題）已知△ABC是面積為?的等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上.?若球O的表面積為16？仔，則O到平面ABC的距離為（???）

A.?????B.?????C.?1???D.

例3.（2019年全國1卷第12題）已知三棱錐P-ABC四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為（???）

A.?8?？仔??B.?4?？仔??C.?2?？仔??D.??？仔

例4.（2018年全國3卷第10題）設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為?9?，則三棱錐D-ABC體積的最大值為（???）

A.?12???B.?18????C.?24???D.?54

高考真題演練參考答案：

例1.?解析：如圖11所示，設球O的半徑為R，⊙O1的半徑為r，因為⊙O1的面積為4？仔，所以4？仔=？仔r2，

解得r=2，又AB=BC=AC=OO1，所以?=2r，解得AB=2?，

故OO1=2?，所以R2=O?+r2=（2?）2+22=16，

所以球O的表面積S=4？仔R2=64？仔.?故選A.

例2.?解析：由等邊三角形ABC的面積為?，得?AB2=?，得AB=3，則△ABC的外接圓半徑r=?×?AB=?AB=?.?設球的半徑為R，則由球的表面積為16？仔，得4？仔R2=16？仔，

得R=2，則球心O到平面ABC的距離d=?=1，?故選C.

例3.?解析：方法1：（還原長方體法）

∵?PA=PB=PC，△ABC為邊長為2的等邊三角形，

∴?P-ABC為正三棱錐，

∴?PB⊥AC，又E，F分別為PA、AB中點.

∴?EF?∥PB，∴?EF⊥AC，又EF⊥CE，CE∩AC=C，∴?EF⊥平面PAC，PB⊥平面PAC，∴∠APB=90°，∴?PA=PB=PC=?，∴?P-ABC為正方體一部分，2R=?=?，

即?R=?，∴?V=?？仔R3=?？仔×?=?？仔，故選D.?方法2：（余弦定理法）

設PA=PB=PC=2x，E，F分別為PA，AB中點，

∴?EF?∥PB，且EF=?PB=?x.

∵△ABC為邊長為2的等邊三角形，

∴?CF?=?又∠CEF=90°，

∴?CE=?，AE=?PA=x.

△AEC中余弦定理cos∠EAC=?，作PD⊥AC于D，∵?PA=PC，

QD為AC中點，cos∠EAC=?=?，∴??=?.

∴?2x2+1=2，∴?x2=??x=?，∴?PA=PB=PC=?，又AB=BC=AC=2，∴?PA，PB，PC兩兩垂直，∴?2R=?=?，∴?R=?，∴?V=?？仔R3=?？仔×?=?？仔，故選D.

解法3：（解三角形法）

設PA=PB=PC=2x，則CE=?，

在△ACP中，由中線長定理AC2+CP?2=2（AE2+CE2），

即4+4x2=2[x2+（3-x2）]，x2=?，PC=?，

PQ=?=?，

又r2=OQ2+QC2=（?）2+（?）2，解得r=?，

所以V=?？仔r3=?？仔·?·?=?？仔.

例4.?解析：作圖，D為MO?與球的交點，點M為三角形ABC的中心，判斷出當DM⊥平面ABC時，

三棱錐D-ABC體積最大，然后進行計算可得.?詳解：如圖14所示，

點M為三角形ABC的中心，E為AC中點，

當DM⊥平面ABC時，三棱錐D-ABC體積最大.

此時OD=OB=R=4，

∵?S△ABC=?AB2=9?，?∴?AB=6，

∵點M為三角形ABC的中心，∴?BM=?BE=2?.

∴?Rt△OMB中，有OM=??=2，

∴?DM=OD+OM=4+2=6.

∴（VD-ABC）max=?×9?×6=18?，故選B.

責任編輯 徐國堅