夯基固本回歸本質(zhì)
——2020年全國卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)18題解析

2021-10-17 08:59:08范倩楠

考試與招生 2021年9期

>>>范倩楠

(審稿：何柏林)

(本文責(zé)編：趙寧寧)

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要模塊之一.包括“空間幾何體”“點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系”“空間向量和立體幾何”等幾部分。高考立體幾何解答題具有較強(qiáng)的綜合性.重視基礎(chǔ)知識、基本技能和創(chuàng)新意識的考查.突出直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科核心素養(yǎng)的檢測.多數(shù)采用“一問證明、一問計(jì)算”的呈現(xiàn)方式.第一問主要考查點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的證明.第二問涉及角與距離或體積的計(jì)算。本文對2020年全國卷Ⅰ理科第18題的答題情況進(jìn)行分析.以期對立體幾何的備考提供參考。

一、高考原題

【2020年全國卷Ⅰ，理科數(shù)學(xué)18題】

(1)證明：PA⊥平面PBC；

(2)求二面角B-PC-E的余弦值.

解法示范：

(1)由題設(shè)知，△DAE為等邊三角形，設(shè)AE=1，

同理PA⊥PC，又PC∩PB=P，所以PA⊥平面PBC.

二、錯例典析

1.邏輯推理欠規(guī)范

2.空間直角坐標(biāo)系建立不妥當(dāng)

3.運(yùn)算出錯

三、備考建議

1.回歸教材

教材是落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要資源.也是歷年高考命題的重要素材。在立體幾何的教學(xué)中.要學(xué)會從課本的基本立體圖形中.發(fā)現(xiàn)和探索直線、平面平行(垂直)關(guān)系的判定和性質(zhì)。要善于從一般到特殊.從線到面再到體.完善立體幾何的研究路徑.踐行立體幾何的研究方法.從而發(fā)展學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2.重視“基本圖形”的作用,形成完善的知識與思想方法體系

對于學(xué)生來說.總感覺立體幾何圖形線條多.又處在不同平面內(nèi).難以發(fā)現(xiàn)要素之間的關(guān)系。實(shí)際上.空間圖形總有一些簡單的“基本圖形”.教學(xué)中應(yīng)重視基本圖形的作用.立足從“基本圖形”到“變式圖形”再到“綜合圖形”.就能形成完善的知識與方法體系。

3.規(guī)范書寫,發(fā)展邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

學(xué)生在立體幾何題解答過程中存在兩個突出問題:一是證明過程表述不規(guī)范.甚至是主觀臆斷；二是使用向量方法時經(jīng)常出現(xiàn)計(jì)算錯誤.將相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)、向量坐標(biāo)或平面的法向量求錯.導(dǎo)致失分。因此.對立體幾何定理性質(zhì)的學(xué)習(xí).在重視理解的同時還要強(qiáng)化表述和記憶.特別是“三種語言”——文字語言、符號語言、圖形語言之間的轉(zhuǎn)換。文字語言有助于記憶；符號語言有助于推理過程的正確書寫；圖形語言有助于從復(fù)雜問題情境中提取定理的基本模型。